2021学年15.1.2 分式的基本性质教案

第十五章 分式

15.1  分式

15.1.2  分式的基本性质

一、教学目标

1.理解并掌握分式的基本性质．

2.能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.

二、教学重难点

重点：分式的基本性质．

难点：运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]1.什么叫做分式？（一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式. 分式中，A叫做分子，B叫做分母.）

2.分式有意义和无意义的条件是什么？（分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式      才有意义.分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式无意义.）

3.分式值为零的条件是什么？（要使分式的值为零，则A=0，且B≠0.）

教师带领学生复习上节课所学的分式的相关知识.

【新知探究】

知识点1   分式的基本性质

[提出问题]下列两组分数相等吗？

（两者均相等）

你是怎么得到的结论？

[学生回答]学生根据小学学习过的分数的基本性质，能很快地说出解答过程:

[提出问题]依据是什么呢？

[学生回答]分数的基本性质.

[课件展示]教师利用多媒体展示分数的基本性质的详细概念：

分数的基本性质：

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变.

如，若数c≠0，则，.

一般地，对于任意一个分数，有，，其中a，b，c是数.

[提出问题]类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？

[归纳总结]分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.

上述性质可以用式子表示为：

其中A,B,C是整式.

[课件展示]教师利用多媒体展示分式的基本性质的示例过程：

[课件展示]教师利用多媒体展示如下做一做：

做一做：下列各式从左到右的变形一定正确的是　  ③   　.

[归纳总结]运用分式的基本性质的注意事项：

(1)分子分母同时进行； (2)分子、分母只能同乘或同除，不能进行同加或同减；(3)分子、分母同乘或同除同一个整式；(4)除式是不等于零的整式.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

[归纳总结]对于依据分式的基本性质进行填空的题目，首先要观察等号两边的已知分子（或分母）发生了怎样的变化，然后确定是采用乘法运算还是除法运算，最后对分式的分母（或分子）作相同的变形即可.

[课件展示]跟踪训练

下列各式从左到右的变形中，不正确的是（　D　）

A．＝﹣ B．＝ 

C．＝﹣ D．﹣＝

【解析】A.＝，故A正确．

2. ，故B正确．

C.，故C正确．

D.，故D错误．

故选D．

[归纳总结]分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的正负号，同时改变其中两处，分式的值不变. 用式子表示：

知识点2   分式的约分

[提出问题]什么是分数的约分？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道小题，并说明两题的运算过程叫分数的约分：

之后出示分数约分的概念：把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变，这个过程叫做分数的约分.

[课件展示]教师利用多媒体如下例1(1)中两道小题的运算过程：

[提出问题]根据分数的约分，由例1（1）你能想出如何对分式进行约分吗？

[学生思考]学生类比分数的约分的定义，思考、总结分式的约分的定义，之后教师点一名学生回答，两名学生补充.

[归纳总结]约分的定义：像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

最简分式的定义：像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．

[提出问题]怎么找公因式呢？

[学生思考]给学生思考时间，教师引导学生可从分子、分母数字系数和字母来考虑.之后教师点一名学生回答，两名学生补充.

[归纳总结]找公因式方法:

（1）找系数的最大公约数；

（2）找分子、分母相同因式的最低次幂；

（3）两者的乘积即为公因式.

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例2  约分：

（1）；     （2）；       （3）. 

【分析】对于（1），分子、分母都是单项式，就直接找公因式约分；对于（2）(3),分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分.

解：（1）； 

（2）  ；

（3）.

[课件展示]根据例2总结如下做题步骤：

分式的约分的一般步骤

（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的最低次幂的乘积；

（2）若分式的分子、分母中至少有一个是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.  

[课件展示]跟踪训练

约分：（1）；       （2）.

解：（1）. 

（2） .

[课件展示]根据跟踪训练中遇到的常见点，总结如下注意事项：

分式的约分的注意事项

（1）当分子或分母被整个约去时，分子或分母变为1，而不是0；

（2）注意发现分式的分子、分母的一些隐含的公因式，如x-5与5-x表面虽不相同，但通过提取“-”可发现含有公因式（x-5）；

（3）若分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式前面.

（4）约分的结果要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果是最简分式或整式.

知识点3   分式的通分

[提出问题]什么是分数的通分？

[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道小题，并说明两题的运算过程叫分数的通分：

之后出示分数通分的概念：根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数，叫做分数的通分. 

[课件展示]教师利用多媒体如下例1(2)中两道小题的运算过程：

[提出问题]根据分数的通分，由例1（2）你能想出如何对分式进行约分吗？

[学生思考]学生类比分数的通分的定义，思考、总结分式的通分的定义，之后教师点一名学生回答，两名学生补充.

[归纳总结]通分的定义：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.

[提出问题]为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫最简公分母.怎么找最简公分母呢？

[课件展示]教师利用多媒体展示示例：

[归纳总结]确定最简公分母的一般方法

（1）若各分母是单项式，最简公分母是各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂和所有不同字母及其指数的乘积；

（2）若各分母中有多项式，一般要先分解因式，再按照分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母.    

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例3  通分：

（1）；     （2）.

【分析】对于（1），分子、分母都是单项式，就直接找公因式约分；对于（2）(3),分子、分母都是多项式，先分解因式，再找公因式约分.

解：（1）最简公分母是2a2b2c.

  ； .

解：（2）最简公分母是(x-5)(x+5). 

；.

[提出问题]分式的约分与通分有什么联系和区别呢?

[归纳总结]约分和通分的联系与区别

联系：约分和通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，二者均不改变分式的值.

区别：约分是针对一个分式而言的，把分式的分子和分母的公因式约去，将分式化为最简分式或整式；而通分是针对多个异分母的分式而言的，将分式的分子和分母乘同一个适当的整式，使这几个异分母的分式化为同分母的分式.

【课堂小结】

【课堂训练】

1．（2021•广州模拟）下列分式中，最简分式是（　D　）

A． B． C． D．

2．（2021•石家庄一模）分式可变形为（　B　）

A． B．﹣ C． D．

3.（2021•衡阳模拟）下列各式从左到右的变形一定正确的是（　D　）

A．＝ B．＝x﹣y 

C．＝ D．＝

4．（2021•邢台模拟）若把x，y的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　A　）

A． B． C． D．

6.   约分：

解：

7.通分：；     （2）

解：（1）最简公分母是6x2yz，；.

（2）最简公分母是(x+y)2(x-y),

;.

8.先化简，再求值：

（1），其中a=-2，b=3.

（2），其中m=-4，n=2.

解：（1）                     

当a=-2，b=3时，原式=.

（2） 当m=-4，n=2时，原式=-5.

【教学反思】

本节课是在分数基本性质、分数约分和通分的基础上,学习分式基本性质、分式约分和通分。这一过程由学生自己学习、归纳,这样学生可以把新旧知识联系起来,学起来也不觉得困难,从而激起学生学习的积极性,同时也可以让学生体会到类比的思想。由学生自己归纳,体现了学生是学习的主人,可以培养学生的语言表达能力和总结知识的能力.整节课下来,效果还不错.同样也存在一些问题：课前应让学生进行因式分解的复习，对于该知识点，忘记的学生比较多,课堂上花费了很长时间复习；当分母是多项式且能分解因式时,往往没想以先分解因式；约分的结果有的不是最简分式或整式(公因式没找完).