初中数学人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题同步练习题

人教新版八年级上学期 13.4 最短路径问题

一．选择题（共7小题）

1．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　）

A．B． C．D．

2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为（　　）

A．30 B．39 C．60 D．78

3．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（　　）

A．A点处 B．D点处 

C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处

4．如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　）

A． B． C．12 D．15

6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

7．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD＝5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

二．填空题（共6小题）

8．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 　   　．

9．AD为等腰△ABC底边BC上的高，且AD＝8，腰AB的垂直平分线EF交AC于F，M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 　   　．

10．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为 　   　．

11．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　   　．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝16，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且FD⊥AB．若点P为线段DF上一动点，连接BP，EP，则△BPE周长的最小值是　   　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　   　．

三．解答题（共6小题）

14．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．

15．如图，B，C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．

（1）直接写出点B的坐标为 　   　；

（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）

16．如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，E为AB的中点，点M是AD上一个动点，请你补全图形，并求出当MB+ME的值最小时∠EMB的度数．

17．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．

（1）若∠ABC＝68°，求∠AED的度数；

（2）若点P为直线DE上一点，AB＝8，BC＝6，求△PBC周长的最小值．

18．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．

（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是 　   　度．

（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长度；

②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．

19．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，

（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；

（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P1，P2，连接P1P2交∠O的两边于A，B，连接PA，PB，此时△PAB的周长最小．

故选：D．

2．【解答】解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝13，

∵BC＝6，

∴AD＝10，

∴△ABC的面积为：BC•AD＝×6×10＝30，

故选：A．

3．【解答】解：连接BP，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴PB＝PC，

△PCE的周长＝EC+EP+PC＝EC+EP+BP，

当B、E、E在同一直线上时，

△PCE的周长最小，

∵BE为中线，

∴点P为△ABC的重心，即也是△ABC的三条高的交点，

故选：D．

4．【解答】解：连接AM，

∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，

∴AM＝CM，

∴CM+DM＝DM+AM，

即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，

∵AB＝AC，点D为BC的中点，

∴AD⊥BC，CD＝BC＝2cm，

∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，

∴AD＝8cm，

∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，

故选：D．

5．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，

∴AB＝＝15．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），

∴AE＝AC＝9．

∵EQ⊥AC，∠ACB＝90°，

∴EQ∥BC，

∴＝，即＝

∴EQ＝．

故选：B．

6．【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，

∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，

∴CE+EF的最小值C'F的长，

∴CC'⊥BD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠C'BG＝∠GBC，

在△C'BG和△CBG中，

，

∴△C'BG≌△CBG（ASA），

∴BC＝BC'，

∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，

∴∠ABC＝30°，BC'＝8，

在Rt△BFC'中，C'F＝BC'•sin30°＝8×＝4，

∴CE+EF的最小值为4，

故选：B．

7．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边的中线，

∴AD垂直平分BC，

∴点D与点B关于AD对称，

连接CE交AD于P，则此时，BP+EP的值最小，且等于CE的长，

∵点E是AB的中点，

∴CE垂直平分AB，

∴CE＝AD＝5，

∴BP+EP的最小值为5，

故选：B．

二．填空题（共6小题）

8．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，

∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N

∴MN＝ME，

∴CE＝CM+ME＝CM+MN的最小值．

∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，

∴×4•CE＝10，

∴CE＝．

即CM+MN的最小值为5．

故答案为：5

9．【解答】解：∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A，

∴AD的长为BM+MD的最小值，

∴BM+DM最小值为8，

故答案为：8．

10．【解答】解：如图，连接PE，

∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，

∴AC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACD＝∠DCE，

在△ACP和△ECP中，

∴△ACP≌△ECP（SAS），

∴AP＝EP，

∴AP+BP＝AP+EP，

当点P与点C重合时，AP+BP的值最小，正好等于BE的长，

所以AP+BP的最小值为：2×4＝8．

故答案为：8．

11．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，

∴点B关于AD的对称点B′在AC上，

过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，

由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，

过点B作BE⊥AC于E，

∵AC＝10，S△ABC＝25，

∴×10•BE＝25，

解得BE＝5，

∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，

∴AB＝AB′，

∴△ABB′是等腰三角形，

∴B′N＝BE＝5，

即BM+MN的最小值是5．

故答案为：5．

12．【解答】解：如图所示，

连接AE交DF于点P，

∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∵S△ABC＝16，BC＝4，

∴AE＝8，BE＝2，

∵D是AB的中点，FD⊥AB，

∴DF是AB的垂直平分线，

∴PB＝PA，

∴△BPE周长的最小值是AE+BE＝8+2＝10．

故答案为10．

13．【解答】解：作M点关于BC的对称点M'，作M点关于AC的对称点M''，连接M'M''，分别交AC于点N，交BC于点P，

由对称可得，MN＝M''N，MP＝M'P，

∴PM+MN+PN＝PM'+NP+M''N≥M'M''，

∴M'M''最小时，PM+MN+PN的值最小，

当M'M''⊥BC时，M'M''的值最小，

∴M点与A点重合时，M'M''⊥BC，

∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，

∴BC边上的高h＝，

∴M'M''＝2h＝，

∴PM+PN+MN的最小值是，

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

14．【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，

则BP＝B'P，

∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，

∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，

15．【解答】解：（1）∵B，C两点关于y轴对称，C（﹣a，﹣a﹣b），

∴B（a，﹣a﹣b），

故答案为：（a，﹣a﹣b）；

（2）作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，

∴BP＝B'P，

∴AP+BP＝AP+B'P＝AB，此时AP+PB的值最小．

16．【解答】解：如图所示，

∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分BC，

∴点B，C关于AD对称，

∴BM＝CM，

∴∠MBC＝∠MCB，

连接CE交AD于M，

则此时，MB+ME的值最小，

∵E为AB的中点，

∴CE是边AB的中线，

∴CE⊥AB，∠BCE＝ACB＝30°，

∴∠MBC＝30°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABM＝30°，

∴∠BME＝60°，

故∠EMB的度数为60°．

17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝68°，

∴∠C＝∠ABC＝68°，

∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝180°﹣68°﹣68°＝44°，

∵DE垂直平分AB，

∴∠ADE＝90°，

∴∠AED＝90°﹣∠A＝90°﹣44°＝46°；

（2）当点P与点E重合时，△PBC的周长最小，

理由：∵PB+PC＝PA+PC≥AC，

∴当点P与点E重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，

∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝AB+BC＝8+6＝14．

18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝70°，

∴∠A＝40°，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，

∴∠ANM＝90°，

∴∠NMA＝50°，

故答案为：50；

（2）①∵MN是AB的垂直平分线，

∴AM＝BM，

∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，

∵AB＝8，△MBC的周长是14，

∴BC＝14﹣8＝6；

②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，

理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，

∴P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，

∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．

19．【解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，

∴∠MNB＝2α，

∵MD∥OB，

∴∠AMD＝α，

∵NE平分∠MNC，

∴∠MNE＝∠ENC，

设∠MNE＝β，

∴∠CNB＝2α﹣2β，

∵MD∥OB，

∴∠MCN＝2α﹣2β，

∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，

∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，

∴∠MEN＝α﹣β，

∴2∠MEN＝∠MCN；

（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，

∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，

由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，

∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），

∵∠AOB＝20°，

∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，

∴∠OPM+∠OQN＝200°