【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 1.1《集合的含义与表示》培优分阶练（含解析）

1.1  集合的含义与表示

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1.下列选项能组成集合的是(　　)

A．著名的运动健儿  B．英文26个字母   C．非常接近0的数  D．勇敢的人

答案

解析 著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；

英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；

非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；

勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；

故选．

2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是(　　)

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

答案

3.下列所给关系正确的个数是(　　)

① ；  ② ；   ③  ；    ④ .

A．1　 　       B．2             C．3                D．4

答案 B

解析  ① ②对，故选.

4.若，则实数的值为  (　　)

A．        B．             C．或         D．或

答案 

解析 由，可得，则．

当时，，满足要求，

当时，，不满足元素的互异性，

．

故选：．

5.对集合用描述法来表示，其中正确的一个是(　　)

A．是小于的正奇数          B．且

C．且      D．且

答案

解析 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有；

中取负数，多了若干元素；中时多了这个元素，只有是正确的．

二、多选题

6.已知集合，集合，下列关系正确的是(   )　

A． B． C． D．

答案  

解析 集合，正确，

集合是由抛物线上的点组成的集合，正确，错误，正确，

故选：．

三、填空题

7.已知集合含有两个元素和，若，则实数       ．

答案或

解析 ， 或.

若，则，此时集合含有两个元素，，符合题意．

若，则，此时集合含有两个元素，，符合题意．

综上所述，满足题意的实数的值为或.

8.将集合用列举法表示为               .              

答案

解析 ，且，，为偶数且，

当时，，当时，当时，．

故答案为：．

9.在平面直角坐标系内第二象限的点组成的集合为_______________.

答案：.

四、解答题

10.集合是由方程的实数解构成的．

(1)若集合是空集，求的取值范围；

(2)若集合中只有一个元素，求的值．

答案  (1)   (2) 或

解析(1)集合是空集，即方程无实数解．

且，解得，

的取值范围是．

(2)集合中只有一个元素，即方程只有一个实数解，

当时，方程为一元一次方程，只有一个实数解，

当时，则一元二次方程有两个相等的根，

，解得，

综上所述或．

11.已知关于的不等式的解集为．

(1)时，求集合；

(2)若，求实数的取值范围．

答案  (1)   (2)

解析(1)将代入得：，解得：或．

．

(2)．，

．

12.用表示有限集的元素个数，对由正整数组成的集合，定义．

(1)设集合，，求；

(2)若，，求的最小值；

答案  (1)   (2)

解析(1)集合，，

共个元素，

；

(2)，即中有个元素，中有个元素，当计算的元素个数时，若能使得重复出现的数最多，则最小值

不妨令，，此种情况可中的每个元素与中的依次四个元素相加时中的元素每增大，只多增加一个元素．

此时共个元素，

故的最小值是．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1.若以正实数四个元素构成集合，以中四个元素为边长构成的四边形可能是(   )　

A．梯形　 　　B．平行四边形         C．菱形           D．矩形

答案

解析 根据集合元素的互异性，均不相等.

2.集合，，，P，，

设，则有   (   )　

A．        B．        C．          D．以上都不对

答案

解析 ，，，

设，，，，

，

又，.

3. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是(   )　

A．       B．     C．      D．

答案

解析 根据题意，分4种情况讨论；

①、全部为负数时，则也为负数，则，

②、中有一个为负数时，则为负数，则，

③、中有两个为负数时，则为正数，则，

④、全部为正数时，则也正数，则；

则；分析选项可得符合．

4.点的集合是指 (   )　

A．第一象限内的点集          B．第三象限内的点集

C．第一、第三象限内的点集    D．不在第二、第四象限内的点集

答案

解析 指和同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．故选

5. 已知集合，且，则下列结论正确的是(   )　

A．  B．  C．  D．

答案

解析 集合，

，故错误；

又，故错误；

又，故错误；故选.

(为什么？令，

)

二、多选题

6.设为实数，，记集合，，若分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是(   )　

A． B． 

C． D．

答案  

解析 ，，

，．

当，时，，；故可能，

当时，，不成立，

当时，当时，，故，与选项矛盾，故不可能，

当，，，；

当，，，；故可能

当，时，，；故可能

综上，都有可能发生，

故选：．

三、填空题

7.已知集合，，，若，则　 　．

答案

解析 集合，，，或，

，或，，．

8.已知非空集合满足：若，则，则当时，集合的所有元素之积等于　 　．

答案

解析 依题意，得当时，有，从而，，

于是集合的元素只有，，所有元素之积等于．

9.设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有           个.

答案 6

解析 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.因此符合题意的集合是：，共个集合.

四、解答题

10.已知集合．

(1)若是单元素集合，求集合；

(2)若中至少有一个元素，求的取值范围．

答案 (1) 当a＝0时，，当时，．  (2)

解析 (1)当时，，符合题意；

当时，方程应有两个相等的实数根，

则，即，解得，此时，符合题意．

综上所述，当时，，当时，．

(2)由(1)知，当时，，符合题意；

当时，方程应有实数根，

则，即，解得．

综上所述，若中至少有一个元素，则．

11.设是实数集的非空子集，称集合其中，且为集合的生成集．

(1)当时，写出集合的生成集；

(2)若是由个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在个正实数构成的集合，使其生成集，并说明理由．

答案 (1)   (2)  (3) 不存在

解析 (1)，，

(2)设，

不妨设，

因为，

所以中元素个数大于等于个，

所以生成集中元素个数的最小值为．

(3)不存在，理由如下：

假设存在个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合的生成集，

则必有，，其个正实数的和，

也有，，其个正实数的和，

相互矛盾，

所以假设不成立，

故不存在个正实数构成的集合，使其生成集．

12.已知集合是非空数集，且满足三个条件：

①恒有；②恒有；③．

(1)求证：恒有．

(2)求证：当且时，若则必有

(3)求证：恒有．

解析 (1)证明：因为恒有

所以令，则有

若令则即

所以，即．

①，恒有是成立的．

(2)证明：当且时，若，则恒有．

，恒有

令，对，有

若，则∈M．则

即当且时，若x∈M，则必有．

(3)证明，由(2)知，当时，若x∈M，则．

又，有．，

又有所以

即必有．

又时∈M，所以，则必有．

所以由

知

所以，

所以对恒有．

培优第三阶——高考沙场点兵

1.(2012•江西)若集合，，则集合中的元素的个数为(   )　

A． B． C． D．

答案

解析 由题意，集合，，，，，

，

集合中的元素的个数为

故选：．

2,(2005•湖北)设为两个非空实数集，定义集合．若

，，则中元素的个数是(   )　

A．6 B．7 C．8 D．9

答案

解析 ，，

当时，，；当时，，；

当时，，

，

故选：．

3.(2022•安徽模拟)已知集合，集合，则(   )　　

A．       B．      C．      D．

答案

解析 ，又，

，，又，

，，

故选：．

4.(2020•延庆区一模)已知集合，且，则的取值范围是　　．

答案

解析 因为，

，，

的取值范围是：．

5(2022•朝阳区二模)已知集合．对集合中的任意元素，定义，当正整数时，定义(约定．

(1)若，，求和；

(2)若满足 且，求的所有可能结果；

(3)是否存在正整数使得对任意都有？若存在，求出的所有取值；若不存在，说明理由．

答案  (1) ，   (2)

 (3)

解析 (1)由题意，，，，

，，，，

(2)由且，，

同理，或时，，

或时，，

或时，，

所以(1)等价于，则，

当，则为满足；当，则为满足，

当，则为满足，当，则为满足，

综上，的所有可能结果．

(3)存在正整数使且，理由如下：

由，

则，

所以，

若，，

所以，

若，则，，

，

所以，对都有，

当时，恒成立，

综上，所有取值为使成立．