小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形获奖作业课件ppt

第八单元数学广角——数与形

8.1 数学广角——数与形

【基础巩固】

一、选择题

1．在一个平面上有68个点，一共可以连（   ）条线段。

A．68 B．2278 C．2346 D．1190

2．观察下列一组按规律排列的数：1，，，，，…这一组数的第100个数是（   ）。

A． B． C．

3．古希腊的数学家毕达哥拉斯在没有纸笔的时代，用沙子在沙滩上画呀画，发现了数与形的规律。照下面的图形排列规律，第12组图形里共有（   ）个正方形的顶点。

A．48 B．37 C．24 D．36

4．如图，按下面的方式用小棒摆六边形。照这样的规律接着摆下去，第10个图形需要（   ）根小棒。

A．41 B．51 C．61

5．找规律：，，，，，（   ），……括号里的数是（   ）。

A． B． C．

二、填空题

6．按规律填空。

……

照这样摆下去，第10幅图需要(      )根小棒。第n幅图需要(      )根小棒。

7．探究规律，巧妙计算。

            (        )       (        )     ……

8．按规律填数：1，3，4，5，9，7，_____，_____。

9．下图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，那么第③个图案由________个基础图形组成，第⑩个图案由________个基础图形组成。

10．6个点可以连(        )条线，n个点可以连(        )条线。

三、计算题

11．找规律，直接写出后面各题的得数。

1234.5679×9＝11111.1111       1234.5679×36＝   

1234.5679×18＝22222.2222       1234.5679×45＝

1234.5679×27＝33333.3333       1234.5679×54＝

【能力提升】

四、解答题

12．（1）数一数下图有几个长方形？（列出算式并计算）

（2）仿照上面的分析方法想一想，一共有（   ）个长方形。

13．照这样画下去，第6个图形中黑色和白色方块各有多少块？第10个图形呢？

黑色 1块   2块       3块

白色：8块   13块      18块

【拓展实践】

14．小明用牙签搭六边形，如下图。

（1）数一数，上面四幅图每幅各用了多少根牙签？

（2）接着画下去，第五幅图将用多少根牙签？第八幅图呢？

（3）你能利用规律直接写成第n幅图一共要用多少根吗？

15．农夫将苹果树种在正方形果园里。为了保护苹果树不被风吹，他在苹果树的周围种了一些针叶树。在下图中，你可以看到农夫种植苹果树的列数n和苹果树数量及针叶树数量的规律。

（1）请你分别用含有n的式子表示苹果树和针叶树的数量。     

（2）当农夫种的苹果树列数为多少时，苹果树的数量会等于针叶树的数量？

16．数与形。

（1）仔细观察每幅图和它下面的算式之间的关系，根据发现的规律，接着画出后面的两个图形，并完成图形下面的算式。

（2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002－992＝（   ）＋（ ）＝（   ）

20202－20192＝（   ）＋（ ）＝（   ）

参考答案

1．B

【分析】每个点都可与其它点连成一条线段，这样就重复了一遍，点数×（点数－1）÷2＝线段数量，据此分析。

【详解】68×（68－1）÷2

＝68×67÷2

＝4556÷2

＝2278（条）

故答案为：B

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

2．B

【分析】通过观察不难发现，从1开始，各分数的分子为连续自然数，分母为连续奇数，第100个数就是，由此求解。

【详解】由分析可得：＝

故答案为：B

【点睛】关键是根据已知的数得出前后数之间的变化关系的规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。

3．B

【分析】根据题图可知，每增加一个正方形就增加3个顶点，据此可知，当有n个正方形时，就有4＋3（n－1）＝3n＋1个顶点，据此解答即可。

【详解】当有n个正方形时，就有（3n＋1）个顶点；

当n＝12时；

3n＋1

＝3×12＋1

＝36＋1

＝37

故答案为：B。

【点睛】明确每增加一个正方形就增加3个顶点是解答本题的关键，进而根据这一发现总结出规律。

4．B

【分析】看图，摆1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，摆2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，摆3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。据此，推理出第10个图形需要多少根小棒。

【详解】10×5＋1

＝50＋1

＝51（根）

所以，第10个图形需要51根小棒。

故答案为：B

【点睛】本题考查了数与形，有一定归纳总结能力是解题的关键。

5．A

【分析】观察这列数，发现分母是22，32，42，52，62，…，的规律排列的，分子是按照1，2，3，4，5，6，…，则括号里的数的分母是72，分子是6，据此解答即可。

【详解】括号里的数是。

故答案为：A。

【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据数的分子和分母找到排列规律。

6．     21     （1＋2n）

【分析】通过观察可知，三角形个数每次增加1个，所需小棒数每次增加2根，据此解答。

【详解】第1图小棒数：3＝3

第2图小棒数：5＝3＋1×2

第3图小棒数：7＝3＋2×2

第4图小棒数：9＝3＋3×2

……

第10图小棒数：21＝3＋9×2

第n图小棒数：1＋2n＝3＋（n－1）×2

【点睛】本题考查运用数形结合方法，探索数学规律。

7．         

【分析】每组算式中的两个分数的分子都是1，分母是连续的自然数，则得数的分子是减数的分母减被减数分母的差，分母是两个分母的乘积。

【详解】

【点睛】此题首先从形式上找出规律，再从运算的结果中进一步发现规律，最后推广到一般形式即可。

8．16     9

【分析】观察算式，1、4、9为奇数项，3、5、7为偶数项，找出规律：奇数项是连续的平方数，偶数项依次加2。据此解答。

【详解】12＝1

22＝4

32＝9

42＝16

3＋2＝5

5＋2＝7

7＋2＝9

所以按规律填数：1，3，4，5，9，7，16，9。

【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。

9．10     31

【分析】观察图形，发现第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，第③个图案由10个基础图形组成……发现规律：4＝1×3＋1，7＝2×3＋1，10＝3×3＋1……；据此找到规律并解答。

【详解】第①个图案中基础图形有4个，4＝1×3＋1；

第②个图案中基础图形有7个，7＝2×3＋1；

第③个图案中基础图形有10个，10＝3×3＋1；

……

第n个图形中基础图形有：（3n＋1）个；

第⑩个图形中基础图形有：

10×3＋1

＝30＋1

＝31（个）

【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。

10．15     #### n（n－1）÷2

【分析】从1个点出发，都可与其余各点连成一条直线，所以点的数量×（点的数量－1），相当于重复计算了一遍，再除以2就是线的数量，即线的数量＝点的数量×（点的数量－1）÷2，据此分析。

【详解】6×（6－1）÷2

＝6×5÷2

＝15（条）

n×（n－1）÷2＝ n（n－1）÷2＝n2÷2－n÷2＝（条）

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

11．44444.4444；55555.5555；66666.6666

【分析】由“1234.5679×9＝11111.1111，1234.5679×18＝22222.2222，1234.5679×27＝33333.3333”可以看出，第一个因数不变，第二个因数在第一个式子9的基础上分别乘2、乘3、乘4…根据积的变化规律得所得的积也乘2、乘3、乘4…据此即可直接写出各数的积。

【详解】根据规律，直接写出后几道题的得数：

1234.5679×9＝11111.1111   1234.5679×36＝ 44444.4444

1234.5679×18＝22222.2222    1234.5679×45＝55555.5555

1234.5679×27＝33333.3333    1234.5679×54＝66666.6666

12．（1）①有10个；②有3个；

（2）30

【分析】（1）①中横着数有10条线段，竖着数只有1条线段，有10×1＝10个长方形；②横着数有1条线段，竖着数有3条线段，有1×3＝3个长方形。

（2）横着数有10条线段，竖着数有3条线段，所以有10×3＝30个长方形。

【详解】（1）①10×1＝10（个）

②1×3＝3（个）

答：①有10个长方形，②有3个长方形。

（2）10×3＝30（个）

【点睛】通过前面两个图形找出数长方形的规律，然后再推断出第2题长方形的个数。

13．6块，33块；10块，53块

【分析】根据第几个图形

1     2     3     4   n

黑色：1块   2块    3块   4块    n块

白色：8块   13块    18块   23块 （3＋5n）块

  3＋5×1 3＋5×2  3＋5×3  3＋5×4    3＋5n

所以，第6个图形中黑色有6块，白色方块有33块；第10个图形中黑色有10块，白色方块有53块。

【详解】由分析得，

第6个图形中黑色有6块，白色方块有：

3＋5×6

＝3＋30

＝33（块）

第10个图形中黑色有10块，白色方块有：

3＋5×10

＝3＋50

＝53（块）

【点睛】此题考查的是找规律，解答此题关键是正确找出规律并用规律解决问题。

14．（1）6根；11根；16根；21根；

（2）26根；41根；

（3）（5n＋1）根

【分析】分析图形可知，每增加一个六边形就增加5根牙签，第1个图形一共用了6根牙签，第2个图形一共用了（6＋5）根牙签，第3个图形一共用了（6＋5×2）根牙签，第4个图形一共用了（6＋5×3）根牙签……则第n个图形一共用了[6＋5×（n－1）]根牙签，据此解答。

【详解】（1）第1幅图用了6根，第2幅图用了11根，第3幅图用了16根，第4幅图用了21根。

（2）第5幅图：6＋5×（5－1）

＝6＋5×4

＝6＋20

＝26（根）

第8幅图：6＋5×（8－1）

＝6＋40－5

＝46－5

＝41（根）

答：第五幅图将用26根牙签，第八幅图将用41根牙签。

（3）6＋5×（n－1）

＝6＋5n－5

＝（5n＋1）根

答：第n幅图一共要用（5n＋1）根。

【点睛】用含有字母的式子表示出图形变化的规律是解答题目的关键。

15．（1）n2；8n；（2）8

【分析】（1）观察图形可以发现，苹果树的数量为相应序号的平方，再求出各个图形中针叶树的棵树，用n表示出来即可；

（2）找出规律之后列出等式，解出方程即可。

【详解】（1）苹果树棵数：n2；针叶树棵数：8n   

（2）n2＝8n

n（n－8）＝0

n1＝8，n2＝0

n＞0，n＝0不合题，舍去。

n＝8

答：当农夫种的苹果树列数为8时，苹果树的数量会等于针叶树的数量。

【点睛】这是一道找规律的题目，需要明确苹果树的数量，针叶树的数量与苹果树的列数的关系。

16．（1）

＝5＋4

＝9；

＝6＋5

＝11

（2）100；99；199

 2020；2019；4039

【分析】观察可知，大正方形和空白正方形的边长依次增加1，相邻两个数的平方的差等于这两个数的和，据此分析。

【详解】（1）

（2）根据上面的规律，完成下面的算式。

1002－992＝100＋99＝199

20202－20192＝2020＋2019＝4039

【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。