2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）当堂达标检测题

函数专题：抽象函数及其性质的5种考法

一、抽象函数的赋值法

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：

1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

2、通过的变换判定单调性；

3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；

4、换为确定周期性.

二、判断抽象函数单调性的方法：

（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;

（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：

或;

②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：

或.

三、常见的抽象函数模型

1、可看做的抽象表达式；

2、可看做的抽象表达式（且）；

3、可看做的抽象表达式（且）；

4、可看做的抽象表达式.

题型一 求抽象函数的函数值

【例1】定义在上的函数满足，，则等于______．

【答案】2

【解析】∵，，

∴令，得，

再令，，得，

∴，∴．

故答案为2.

【变式1-1】设函数满足，且对任意、都有，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】对任意、都有，且，

令，得，

令，可得，，

因此，，故选：A.

【变式1-2】设函数满足，且对任意，都有，则=_________.

【答案】2021

【解析】令，得，

令得，即，

所以，

所以.

【变式1-3】满足对任意的实数a，b都有，且，则（    ）

A．2016        B．2020        C．2013        D．1008

【答案】A

【解析】由，，

令可得：，

所以：

故选：A.

【变式1-4】已知定义在R上的函数满足对任意实数x，都有，且，则________．

【答案】2021

【解析】由题意，函数满足对任意实数x，都有，且，

当且时，可得，

则，

所以．

故答案为：.

题型二 求抽象函数的解析式

【例2】已知函数对于一切实数、都有成立，且．

（1）求的值；（2）求的解析式．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令，，因为，，

所以，即；

（2）因为，

令，则，

所以.

【变式2-1】已知，对于任意实数、，恒成立，则的解析式为_________.

【答案】

【解析】令，则有，

再令，则.

【变式2-2】已知定义在上的函数满足：对于任意的实数，，都有，且，则函数的解析式为_____．

【答案】

【解析】令，则

所以由可得

因为，所以

故答案为：

【变式2-3】对任意实数，，都有，求函数的解析式．

【答案】

【解析】方法一：对任意实数,都成立,

令,得,

再令,得,

方法二：在已知式子中,令,得,

,

,

令,得

【变式2-4】已知函数对一切的实数，，都满足，且.（1）求的值；（2）求的解析式；

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）令则

（2）令则；

题型三 证明抽象函数的单调性

【例3】已知函数对∀x，y∈R，都有，当时，，证明函数在R上的单调性.

【答案】函数为R上的减函数

【解析】不妨设，

所以，

而，所以，，即，

故函数为R上的减函数．

【变式3-1】已知定义在R上的函数，当时，，且对任意的a，b∈R，有.

（1）求的值；

（2）根据定义证明是增函数；

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）（1，8].

【解析】（1）令a=b=0，则f(0)=f(0)•f(0)，解得f(0)=0，或f(0)=1，

若f(0)=0，令a>0，由题意得f（a）>1，

当f(a+0)=f(0)•f(a)=0，矛盾，故f(0)=0不成立，

显然f(0)=1，满足，故f(0)=1即为所求；

（2）证明：由（1）知，f(0)=1，令x<0，则－x>0，

所以由已知得f(0)=f(x－x)=f(x)•f(－x)=1，则，

故x<0时，0<f(x)<1，

设0<x1<x2，令a+b=x2，b=x1，则a=x2－x1>0，

所以f（x2）=f（x2－x1）•f（x1），可得，

所以f(x2)>f(x1)>1=f（0），即f(x)在（0，+∞）上单调递增；

任取x1<x2<0，则－x1>－x2>0，

由上可知，f(－x1)>f(－x2)>1，即，

所以f(x1)<f(x2)<1=f(0)，

综上所述，对任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)恒成立，故y=f(x)是增函数.

【变式3-2】定义在上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数，都有；② 当时，；③

（1）求和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

（3）求满足的的取值集合．

【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）得，则，

而，

且，则；

（2）取定义域中的任意的，，且，，

当时，，，

，

在上为减函数．

（3）由条件①及（1）的结果得，，

，

，，解得，

故的取值集合为.

【变式3-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，

（1）判断并证明的单调性；

（2）若，解不等式．

【答案】（1）函数在上为增函数；（2）．

【解析】（1）设是上任意两个不等的实数，且，则， ，

由已知条件当时，，

所以，即，

所以函数在上为增函数；

（2），

∴，

∴，

∴，

∴．

【变式3-4】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并给出证明；

（3）如果，求的取值范围.

【答案】（1）0；（2）函数是定义在上的减函数，详见解析；（3）.

【解析】（1）令，则，

∴；

（2）函数是定义在上的减函数，

设，且，则，

∴，

∵当时，

∴，即

∴，

∴函数是定义在上的减函数；

（3）∵

∴,又，

∴，

∴函数是奇函数，

∵，

∴，

∴，

又函数是定义在上的减函数，

∴，即，

∴的取值范围为.

题型四 证明抽象函数的奇偶性

【例4】已知函数对∀x，y∈R，都有，证明函数在R上的奇偶性.

【答案】为奇函数

【解析】因为函数的定义域为R，

令，所以，即，

令，所以，即，

所以函数为奇函数．

【变式4-1】已知函数对一切实数都有成立， 且.

（1）分别求和的值；

（2）判断并证明函数的奇偶性．

【答案】（1），；（2）是奇函数，证明见解析.

【解析】（1）因为函数对一切实数都有成立，，

所以当时，即，

令可得，所以，即

（2）令可得，所以，

所以，即，，

所以函数是奇函数.

【变式4-2】已知函数满足，当时，成立，且．求，并证明函数的奇偶性；

【答案】，证明见解析；

【解析】令，可得，

令，则，所以，

所以，

所以为奇函数.

【变式4-3】若对于任意实数，函数，都有，求证：为偶函数.

【解析】令，得，

令，得，

所以，即，

所以是偶函数.

题型五 求抽象函数的值域

【例5】定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ）

A．R        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，

且，

令，可得，

再令，可得，

又在上的值域为，因此在上的值域为

则在R上的值域是.故选：C

【变式5-1】函数的定义域为，且对任意，都有，且，当时，有.

（1）求，的值；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）求在，上的值域.

【答案】（1）f (1)=1，f (4)=3；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.

【解析】（1）可令时，=-；

令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；

（2）函数在上为增函数.

证明：当时，有，

可令，即有，则，

可得，

则在上递增；

（3）由在上为增函数，可得在递增，

可得为最小值，为最大值，

由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，

则的值域为.

【变式5-2】已知函数对于任意实数总有,当时, .求在上的最大值和最小值.

【答案】在上的最大值和最小值分别为和

【解析】任取且,则,

由时,,得,

由,

得,

所以在上是减函数；

令可得,

令可得,

令得,解得,

令可得,

由单调性可得在上的最大值和最小值分别为和.

【变式5-3】已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域．

【答案】

【解析】设，则，

∵当时，，∴，

∵，

∴，即，

∴为增函数

在条件中，令，则，

再令，则，

∴，故，为奇函数，

∴，又，

∴的值域为．