初中数学人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数练习

人教新版九年级上册《22.3 实际问题与二次函数》

一．选择题（共10小题）

1．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）

A．10s B．20s C．30s D．40s

2．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范围是（　　）

A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4

3．二次函数y＝﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5，则c的值是（　　）

A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．3

4．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　）

A．﹣ B．或﹣ C．2或﹣ D．2或﹣或﹣

5．若函数y＝x2﹣4x+c的最小值是4，则c＝（　　）

A．4 B．8 C．2 D．﹣4

6．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣5的最大值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

7．已知0≤x≤1，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（　　）

A．﹣6 B．0 C．2 D．4

8．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（　　）

A．有最大值2，有最小值﹣2.5 

B．有最大值2，有最小值1.5 

C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 

D．有最大值2，无最小值

9．二次函数y＝x2﹣4x﹣1在﹣1≤x≤1范围内的最小值是（　　）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣1 D．4

10．在函数y＝﹣2x2+3在﹣1≤x≤4内的最小值是（　　）

A．3 B．2 C．﹣29 D．﹣30

二．填空题（共12小题）

11．发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 　   　秒时炮弹位置达到最高．

12．假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）满足函数关系式y＝50t﹣t2，则经过　   　后，飞机停止滑行．

13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 　   　米．

14．小王想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．则S与x之间的函数关系式是 　   　．（不用写自变量的取值范围）

15．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是　   　．

16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　   　米．

17．已知二次函数y＝mx2+（m2﹣3）x+1，当x＝﹣1时，y取得最大值，则m＝　   　．

18．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是　   　米．

19．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD＝16，则四边形ABCD的面积最大值是 　   　．

20．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为　   　．

21．已知二次函数y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是　   　，最大值是　   　．

22．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 　   　．

三．解答题（共8小题）

23．脱贫攻坚取得重大胜利，是中国在2020年取得的最重要成就之一．家庭养猪是农村精准扶贫的重要措施之一．如图所示，修建一个矩形猪舍，猪舍一面靠墙，墙长13m，另外三面用27m长的建筑材料围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括建筑材料）．

（1）所围矩形猪舍的AB边为多少时，猪舍面积为90m2？

（2）所围矩形猪舍的AB边为多少时（AB为整数），猪舍面积最大，最大面积是多少？

24．如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．

（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；

（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；

（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？

25．在“扶贫攻坚”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价4.5元/kg，B原料单价的3元/kg，生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．

（1）设每盒产品的售价是x元（x是大于60的整数），每天的利润是W元，求W关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（2）在（1）的条件下，当产品利润为16000元时，求售价是多少元？

26．某商店以每件30元的价格购进一批商品，现以单价50元销售，每月可售出400件，经市场调查发现：每件商品销售单价每上涨1元，该商品平均每月的销售量就减少10件．设每件商品销售单价上涨了x元．

（1）若销售单价上涨了3元，则该商品每月销售量为 　   　件；

（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；

（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

27．冰墩墩（BingDwenDwen），是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，它将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会期间，某商家开始吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元，

规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可出售300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

（1）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；

（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

28．如图，某公路隧道横截面为抛物线形，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以点O为原点，OM所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若要搭建一个由矩形ABCD的三条边AD﹣DC﹣CB组成的“支撑架”，使C、D两点在抛物线上，A、B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

29．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，

∴函数有最大值，

当t＝﹣＝﹣＝20（秒），

即飞机着陆后滑行20秒能停下来，

故选：B．

2．【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，

∴当t＝2时，爆竹达到最大高度燃爆，

∴t的取值范围是0≤t≤2，

故选：B．

3．【解答】解：把二次函数y＝﹣x2﹣2x+c转化成顶点坐标式为y＝﹣（x+1）2+c+1，

又知二次函数的开口向下，对称轴为x＝﹣1，

故当x＝2时，二次函数有最小值为﹣5，

故﹣9+c+1＝﹣5，

故c＝3．

故选：D．

4．【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，

①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，

解得m＝﹣，不合题意，舍去；

②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，

解得m＝±，

∵m＝不满足﹣2≤m≤1的范围，

∴m＝﹣；

③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，

解得m＝2．

综上所述，m＝2或﹣时，二次函数有最大值4．

故选：C．

5．【解答】解：y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，

∴当x＝2时，函数有最小值﹣4+c，

∴﹣4+c＝4，

解得c＝8，

故选：B．

6．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣5中a＝﹣2＜0，

∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣5），有最大值﹣5，

即当x＝﹣1时，函数有最大值﹣5．

故选：C．

7．【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2．

∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大．

又∵0≤x≤1，

∴当x＝1时，y取最大值，y最大＝﹣2（1﹣2）2+2＝0．

故选：B．

8．【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，

∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，

故选：A．

9．【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5＝（x﹣2）2﹣5，

可见该二次函数图象的对称轴是直线x＝2，且在﹣1≤x≤1范围内y随x的增大而减小，

∴当x＝1时，y最小＝（1﹣2）2﹣5＝﹣4．

故选：B．

10．【解答】解：由图可知，当x＝4时，函数取得最小值y最小值＝﹣2×16+3＝﹣29．

故选：C．

二．填空题（共12小题）

11．【解答】解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，

∴抛物线的对称轴是直线x＝＝11，

∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．

故答案为：11．

12．【解答】解：由题意可知：滑行距离达到最大值时，飞机停止滑行，

y＝50t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+252，

当t＝25时，y可取得最大值，

即经过25s后，飞机停止滑行．

故答案为：25s．

13．【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，

﹣＜0，抛物线开口向下，

∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600，

∴飞机从落地到停下来共需20秒，

飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米），

∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），

故答案为：150．

14．【解答】解：∵矩形的一边长为x米，

∴另一边长为（30﹣x）米，

则矩形的面积S＝x（30﹣x）＝﹣x2+30x．

故答案为：S＝﹣x2+30x．

15．【解答】解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝2，

a＝﹣5＜0，函数有最大值，

当t＝2时，函数的最大值为s＝20×2﹣5×22＝20，

故答案为20m．

16．【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，

解得：x＝±4，

∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8（米）．

17．【解答】解：根据题意知，﹣＝﹣1，且m＜0，

整理该方程可得m2﹣2m﹣3＝0，

解得：m＝﹣1或m＝3（舍），

故答案为：﹣1．

18．【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，

∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，

∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，

∴顶点坐标为：（2，4），

∴喷水的最大高度为4米，

故答案为：4．

19．【解答】解：设AC＝x，四边形ABCD面积为S，则BD＝16﹣x，

则：S＝AC•BD＝x（16﹣x）＝﹣（x﹣8）2+32，

当x＝8时，S最大＝32；

所以AC＝BD＝8时，四边形ABCD的面积最大，

故答案为：32．

20．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣3）2+8，

∴当x＝3时，y取得最大值，最高度为8米，

当x＝1时，y＝；当x＝6时，y＝5；

∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5≤y≤8；

故答案为：5≤y≤8．

21．【解答】解：由题意可得：y＝2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1

∵开口向上，

∴当x＝1时，有最大值：ymax＝9，

当x＝﹣1时，ymin＝1．

故答案为1，9．

22．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，

解得：x1＝0，x2＝2．

∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，

∴a﹣1＝2或a＝0，

∴a＝3或a＝0，

故答案为：0或3．

三．解答题（共8小题）

23．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝27+1﹣2x＝（28﹣2x）m，

由题意得：x（28﹣2x）＝90，

整理得：x2﹣14x+45＝0，

解得：x1＝5，x2＝9，

当x＝5时，28﹣2x＝28﹣10＝18＞13，不合题意舍去，

当x＝9时，28﹣2x＝28﹣18＝10＜13，符合题意，

∴AB＝9m，

∴所围矩形猪舍的AB边为9m时，猪舍面积为90m2；

（2）设AB＝xm，则BC＝（28﹣2x）m，猪舍面积为Sm2，由题意得：

S＝x（28﹣2x）＝﹣2x2+28x＝﹣2（x﹣7）2+98，

∵﹣2＜0，

∴当x＝7时，S有最大值，最大值为98，

此时28﹣2x＝28﹣14＝14＞13，不合题意，

∴当X＝8时，28﹣2x＝28﹣16＝12＜13，

此时，S＝﹣2（8﹣7）2+98＝﹣2+98＝96（m2），

∴所围矩形猪舍的AB边为8m时，猪舍面积最大，最大面积是96m2．

24．【解答】解：（1）由题意可得，

y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，

即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+18x；

（2）当y＝72时，则﹣x2+18x＝72，

解得：x1＝6，x2＝12，

∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；

（3）由（1）知，y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81，

∵﹣1＜0，

∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为81，

∴当x＝9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81m2．

25．【解答】解：（1）根据题意知，生产每盒有机产品的成本为：2×4.5+3×4+9＝30（元），

∴W＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，

∴W关于x的函数解析式为：W＝﹣10x2+1400x﹣33000；

（2）由（1）知﹣10x2+1400x﹣33000＝16000，

整理得：x2﹣140x+4900＝0，

解得：x1＝x2＝70，

∴售价为70元时，利润为16000元．

26．【解答】解：（1）400﹣3×10＝370（件），

故答案为：370；

（2）y＝（50+x﹣30）•（400﹣10x）＝﹣10x2+200x+8000；

∴每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为：y＝﹣10x2+200x+8000；

（3）y＝﹣10x2+200x+8000＝﹣10（x﹣10）2+9000，

∵﹣10＜0，

∴当x＝10时，y取最大值，最大值是9000元，

此时销售单价为50+x＝50+10＝60（元），

答：当销售单价定为60元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000元．

27．【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，

当商家每天获利2400元时，（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，

整理得：x2﹣114x+3200＝0，

解得：x1＝64，x2＝50，

∵44≤x≤52，

∴x＝50，

答：当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；

（2）根据题意得：

w＝（x﹣40）y

＝（x﹣40）（﹣10x+740）

＝﹣10x2+1140x﹣29600

＝﹣10（x﹣57）2+2890，

∵﹣10＜0，

∴当x≤57时，w随x的增大而增大，

∵44≤x≤52，

∴当x＝52时，w最大，最大值为2640，

答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元．

28．【解答】解：（1）∵最大高度为6米，底部宽度OM为12米，

∴抛物线顶点P（6，6），M（12，0），

设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+6，将M（12，0）代入得：

0＝36a+6，解得a＝﹣，

∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+6，即y＝﹣x2+2x；

（2）设A（m，0），则B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m），D（m，﹣m2+2m）．

则“支撑架”总长：AD+DC+CB＝（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）

＝﹣m2+2m+12

＝﹣（m﹣3）2+15，

∵此二次函数的图象开口向下，

∴当m＝3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．

29．【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），

设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，

将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，

解得：a＝﹣，

故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；

（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，

∴这辆货车能安全通过．