数学第十三章 轴对称综合与测试达标测试

2022-2023年人教版数学八年级上册

第十三章《轴对称》单元检测卷

一              、选择题

1.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是(　　)

A.    B.    C.    D.

2.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是(     )

A．诚       B．信           C．友        D．善

3.下列图形是轴对称图形且有两条对称轴的是(　　)

A．①②      B．②③       C．②④      D．③④

4.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(    )

5.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；

②作直线MN交AB于点D，连接CD.

若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为(      )

A.90°                           B.95°                          C.100°                            D.105°

6.如图，公路BC所在的直线恰为AD的垂直平分线，则下列说法中：

①小明从家到书店与小颖从家到书店一样远；

②小明从家到书店与从家到学校一样远；

③小颖从家到书店与从家到学校一样远；

④小明从家到学校与小颖从家到学校一样远.

正确的是(    )

A.①③　   　B.②③　     　C.②④　　   　D.③④

7.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是(    )

A.100°                              B.80°                              C.60°                              D.40°

8.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（　　）

A.5m                  B.8m                  C.10m                  D.20m　

9.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）

A.直角三角形                B.钝角三角形                 C.等腰三角形                 D.等边三角形　

10.如图，已知D、E、F分别是等边 △ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　）

A.△DEF是等边三角形          B.△ADF≌△BED≌△CFE

C.DE=AB                                    D.S△ABC=3S△DEF

11.如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(　　)

A.6         B.8         C.9          D.10

12.如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(    )

A.30°        B.45°         C.60°        D.90°

二              、填空题

13.室内墙壁上挂一平面镜，明敏在平面镜内看到他背后墙上的时钟如图，则这时的实际时间是　   　.

14.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴.∠A=90°，∠AED=130°，

∠C=45°，则∠BFC的度数为　 　.

15.如图所示，点A、B、C、D中　　　　　关于x轴对称，　　　　关于y轴对称.

16.如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝　   　cm.

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝3，则DE的长为        .

18.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.

某同学分析图形后得出以下结论，上述结论一定正确的是　　　　　　(填代号).

①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.

三              、作图题

19.a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场.现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等.请用尺规画出O点位置(不写作法，保留作图痕迹).

四              、解答题

20.在直角坐标系中，已知点A(a＋b，2－a)与点B(a－5，b－2a)关于y轴对称.

(1)试确定点A，B的坐标；

(2)如果点B关于x轴的对称点是C，求△ABC的面积.

21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P(不写作法，保留作图痕迹).

(2)连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数.

22.如图，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线GD相交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：BE＝CF.

23.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F.

(1)求证：BD＝CE；

(2)求锐角∠BFC的度数.

24.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长.

25.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

26.如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.

（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.

（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

答案

1.D

2.D

3.A

4.A.

5.D.

6.B

7.A

8.A

9.D

10.D

11.C.

12.D；

13.答案为：3：40.

14.答案为：140°.

15.答案为：B和C；C和D

16.答案为：16

17.答案为：1.

18.答案为：①③④.

19.解：点O或点O′就是所求的点.

20.解：由题意，得a+b=5-a，2-a=b-2a，解得a=1,b=3.

∴点A的坐标是(4，1)，点B的坐标是(－4，1).

(2)∵点B关于x轴的对称点是C，

∴点C的坐标是(－4，－1).

∴AB=8，BC=2.

∴S△ABC=8.　

21.解：(1)如图，点P为所作；

(2)∵点P在AB的垂直平分线MN上

∴PA＝PB，

∴∠B＝∠PAB，

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB＝∠CAB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠CAB＋∠B＝90°，

即2∠B＋∠B＝90°，

∴∠B＝30°.

22.证明：连结BD，CD.

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.

∵DG垂直平分BC，

∴DB＝DC.

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，

∴BE＝CF；

23. (1)证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AE＝AD、AB＝AC，

又∵∠EAD＝∠BAC＝60°，∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，

即∠DAB＝∠EAC，

在△EAC和△DAB中，

∴△EAC≌△DAB，

即可得出BD＝CE.

(2)解：由(1)△EAC≌△DAB，可得∠ECA＝∠DBA，

又∵∠DBA+∠DBC＝60°，在△BFC中，∠ECA+∠DBC＝60°，∠ACB＝60°，

则∠BFC＝180°﹣∠ACB﹣(∠ECA+∠DBC)＝180°﹣60°﹣60°＝60°.

24.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC=AB=×4=2，

∵CD是△ABC的高，

∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，

故∠BCD=∠A=30°，

∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，

∴BD=1.

25.解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠BQD＝30°，

∴∠QPC＝90°，

设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，

∴QC＝QB+BC＝6+x，

∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，

∴PC＝QC，

即6﹣x＝(6+x)，解得x＝2，

∴AP＝2；

(2)当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变.理由如下：

作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，

∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，

∵点P、Q速度相同，

∴AP＝BQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，

∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，

∴∠APE＝∠BQF，

∴△APE≌△BQF(AAS)，

∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE＝0.5EF，

∵EB+AE＝BE+BF＝AB，

∴DE＝AB，

又∵等边△ABC的边长为6，

∴DE＝3，

∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变.

26.（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴AD+AB=AC；

（2）解：结论AD+AB=AC成立.

理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，

∵∠BAC=60°，

∴△CAE为等边三角形，

∴AC=CE，∠AEC=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∴△ADC≌△EBC，

∴DC=BC，DA=BE，

∴AD+AB=AB+BE=AE，

∴AD+AB=AC.