人教a版高中数学必修第一册复习课6三角恒等变换学案

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  复习课(六)　三角恒等变换考点一　三角函数的求值问题三角函数求值常见的有给角求值、给值求值、给值求角．给角求值通常找到所给角之间及与特殊角之间的关系，利用三角公式达到相消求值．给值求值最为重要，通常要寻求已知角与所求角的关系，用已知角表示未知角从而求解．给值求角在上面基础上求出所求角的一个三角函数值，再结合角的范围求出角．【典例1】　已知α，β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．[解]　∵0<α<，0<β<，∴－<α－β<，又tan(α－β)＝－，∴－<α－β<0.又∵cosα＝，0<α<，∴sinα＝.又tan(α－β)＝－＝，且sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1，∴sin(α－β)＝－，cos(α－β)＝从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝×－×＝.     变角是给值求值问题最为常见的技巧，因此对于角的常见变换要熟悉．常见的变角技巧有α＝(α＋β)－β，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝－，4α＝2·(2α)，＝2·等．另外还要熟悉一些互余、互补角的关系． [针对训练]1．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos的值．[解]　∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝ ＝，cos＝＝ ＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.考点二　三角函数式的化简与证明三角函数式化简的一般要求：(1)能求值的尽量求值．(2)化简的结果最简：次方数最低、三角函数名称最少，三角函数的证明题型比较少，主要也是考查三角恒等变换．【典例2】　化简：.[解]　解法一：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.解法二：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.   　三角函数式化简的基本技巧(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝·sin(α＋φ)，其中tanφ＝或asinα＋bcosα＝·cos(α－φ)，其中tanφ＝. [针对训练]2．求证：tan2x＋＝.[证明]　证法一：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．原式得证．证法二：右边＝＝＝＝＝＝tan2x＋＝左边．原式得证．考点三　三角函数的图象及变换三角函数的图象及变换是三角函数的重点内容，包括“知图求式”及平移伸缩变换．知图求式关键是初相φ的确定，图象变换注意变换的顺序是先平移再伸缩还是先伸缩再平移．【典例3】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？[解]　(1)由图象知A＝＝，k＝＝－1，T＝2×＝π，∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1.当x＝，2×＋φ＝，∴φ＝，∴所求函数解析式为y＝sin－1.(2)把y＝sinx向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象．  (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常利用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)由图象上的关键点确定φ时，若选取的是图象与x轴的交点，则要弄清这个点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可． [针对训练]3．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴的方程为(　　)A．x＝－   B．x＝－C．x＝   D．x＝[解析]　将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，故x＝－是其图象的一条对称轴的方程．[答案]　A4．将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ个单位长度，得到的函数为偶函数，则φ的值为(　　)A.  B.  C.  D.[解析]　将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移φ个单位得到g(x)＝sin2(x＋φ)的图象，g(x)为偶函数，故2φ＝＋kπ，k∈Z，又0≤φ≤，∴2φ＝，∴φ＝.[答案]　C考点四　三角函数的简单应用三角函数经过三角恒等变换化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，从而研究其图象性质是常见的热点题型．要结合三角函数的性质将ωx＋φ看成一个整体研究．【典例4】　已知函数f(x)＝2sincos－2cos2＋.(1)若f(θ)＝0，求的值；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[解]　(1)f(x)＝2sincos－2cos2＋＝sinx－＝sinx－cosx.∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，∴tanθ＝，∴＝＝＝＝－2＋.(2)由(1)知f(x)＝sinx－cosx＝2sin，∵x∈[0，π]，∴x－∈，当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．  研究三角函数的图象性质，通常是利用和差角公式、二倍角公式及其变形公式进行整理、化简，将原函数变为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，这是解答该类题目的关键所在． [针对训练]5．已知函数f(x)＝3sin2x＋2sinxcosx＋cos2x，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值与单调递增区间；(2)求使f(x)≥3成立的x的集合．[解]　(1)因为f(x)＝1＋2sin2x＋2sinxcosx＝1＋1－cos2x＋sin2x＝2＋2＝2＋2＝2＋2sin，所以当sin＝1时，函数f(x)取得最大值4.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由f(x)≥3得sin≥，则2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以使f(x)≥3成立的x的集合为.