人教a版高中数学必修第一册复习课5三角函数学案

这是一份人教a版高中数学必修第一册复习课5三角函数学案，共10页。
  复习课(五)　三角函数考点一　三角函数的概念设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则x＝cosα，y＝sinα，＝tanα.三角函数的概念是研究三角函数的基础．【典例1】　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[解]　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，当t>0时，r＝5t，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－；当t<0时，r＝－5t，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.综上可知，t>0时，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－；t<0时，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.  (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．[针对训练]1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝_____.[解析]　r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ为第四角限角，解得y＝－8.[答案]　－8考点二　同角三角函数的基本关系式和诱导公式由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础．【典例2】　已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－，求f(α)的值．[解]　(1)f(α)＝＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×＝，又∵<α<，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－.(3)∵α＝－＝－6×2π＋，∴f＝cos·sin＝cos·sin＝cos·sin＝×＝.  (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．[针对训练]2．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于(　　)A．－  B.  C．－  D.[解析]　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.[答案]　D3．若sinθ＝，则＋的值为________．[解析]　原式＝＋＝＋＝＝＝＝6.[答案]　6考点三　三角函数的图象与性质函数y＝sinx，y＝cosx的图象可用“五点法”作出，而识别函数的图象可考虑特殊点及三角函数的性质，要熟记y＝sinx、y＝cosx的单调性，区分y＝sinx及y＝tanx的周期及单调增区间，以图助数，数形结合．【典例3】　(1)函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的(　　)(2)若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为2π，且满足f(x)＝则f＝________.(3)已知f(x)＝sin2x＋cosx，x∈，则f(x)的值域为________．[解析]　(1)x∈[－π，π]故排除B，D，当x∈时，cosx<0，f(x)＝＝－tanx，故选C.(2)∵T＝2π，∴f＝f＝f＝cos(－)＝.(3)f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－2＋.∵x∈，∴cosx∈，∴f(x)∈.[答案]　(1)C　(2)　(3)(1)研究三角函数的图象可结合三角函数的定义域、值域、单调区间、特殊点等研究．(2)研究三角函数的奇偶性、单调性、最值等要注意定义域的限制．[针对训练]4．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)A．奇函数    B．偶函数C．既是奇函数又偶函数    D．非奇非偶函数[解析]　由题意，知sinx≠1，即f(x)的定义域为，此函数的定义域不关于原点对称．∴f(x)是非奇非偶函数．[答案]　D5．函数f(x)＝logcosx的单调递增区间是___________．[解析]　由cosx>0得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.∵<1，∴函数f(x)＝logcosx的单调递增区间即为u＝cosx，x∈(k∈Z)的单调递减区间，即2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.故函数f(x)＝logcosx的单调递增区间为(k∈Z)．[答案]　(k∈Z)课后作业(四十七)复习巩固一、选择题1．下列函数中，周期为4π的是(　　)A．y＝sin4x    B．y＝cos2xC．y＝tan    D．y＝sin[解析]　D中：T＝＝4π，故选D.[答案]　D2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是(　　)A．－4    B．±4  C.    D．4[解析]　∵tan600°＝＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝，∴a＝－4.[答案]　A3．若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)A．y＝2sin    B．y＝2sinC．y＝2sin    D．y＝2sin[解析]　因为T＝＝π，＝，y＝2sin，所以y＝2sin.故选D.[答案]　D4．对于函数f(x)＝sin2x，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)在上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2[解析]　因为f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，选B.[答案]　B5．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是(　　)A.   B.C.   D.[解析]　y＝－2sin，由＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴单调增区间为.[答案]　C二、填空题6．已知α∈，tanα＝2，则cosα＝_____________.[解析]　由tanα＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，联立得cos2α＝，由α∈知cosα<0，所以cosα＝－.[答案]　－7．函数y＝＋的定义域为______________．[解析]　依题意，得∴如图，可得函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．[答案]　[－4，－π]∪[0，π]8．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是__________________．[解析]　任取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝[答案]　f(x)＝三、解答题9．已知tanα＝－.(1)求2＋sinαcosα－cos2α的值；(2)求的值．[解]　(1)2＋sinαcosα－cos2α＝＝＝，把tanα＝－代入，得原式＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝－＝－tanα，把tanα＝－代入，得原式＝.10．用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y>1；②y<1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围．[解]　列表如下：x－π－0πsinx0－10101－2sinx131－11描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(1)由图象可知图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1，所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1.(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1,1)∪(1,3)．综合运用11．化简等于(　　)A．sin4－cos4    B．cos4－sin4C．－sin4－cos4    D．sin4＋cos4[解析]　原式＝＝＝|sin4－cos4|，因为π<4<π，所以cos4>sin4.所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故选B.[答案]　B12．函数y＝lncosx的大致图象是(　　)[解析]　∵lncos＝lncos＝ln<ln1＝0，故选A.[答案]　A13．在△ABC中，C>，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是(　　)A．f(cosA)>f(cosB)B．f(sinA)>f(sinB)C．f(sinA)>f(cosB)D．f(sinA)<f(cosB)[解析]　由题意，在△ABC中，由C>，可得0<A＋B<，从而可得，0<A<－B⇒sin0<sinA<sin<1，即0<sinA<cosB<1，根据题意函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，故f(sinA)>f(cosB)，即C正确．[答案]　C14．对于函数f(x)＝下列命题中正确的是(　　)A．该函数的值域是[－1,1]B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1D．当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋(k∈Z)时，f(x)<0[解析]　画出此函数的图象(图略)，由图象容易看出：该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π<x<2kπ＋，k∈Z时，f(x)<0，可知A，B，C不正确，故选D.[答案]　D15．函数f(x)＝1－2a－2acosx－2sin2x的最小值为g(a)(a∈R)．(1)求g(a)；(2)若g(a)＝，求a及此时f(x)的最大值．[解]　(1)∵f(x)＝2cos2x－2acosx－2a－1＝22－－2a－1，且cosx∈[－1,1]．当<－1时，则a<－2时，g(a)＝1；当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，g(a)＝－－2a－1；当>1，即a>2时，g(a)＝－4a＋1.∴g(a)＝(2)g(a)＝，则a＝－1.∴f(x)＝22＋，∴f(x)max＝5.