2022秋新教材高中数学课时跟踪检测二十一椭圆及其标准方程新人教A版选择性必修第一册

课时跟踪检测（二十一）  椭圆及其标准方程

1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　)

A．椭圆　　　　　　　　　 B．直线

C．线段  D．点

解析：选C　由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB.

2．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

解析：选D　法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C，故选D.

法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，

则解得故选D.

3．已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4  B．5

C．7  D．8

解析：选D　 焦距为4，则m－2－(10－m)＝2，所以m＝8.

4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)

A．2  B．6

C．4  D．12

解析：选C　由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.

5．“m>0且n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件   B. 必要不充分条件

C．充要条件   D. 既不充分又不必要条件

解析：选B　当m＝n>0时方程 mx2＋ny2＝1表示圆，故m>0且n>0⇒/ 方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，而方程mx2＋ny2＝1表示椭圆⇒m>0且n>0.

6．若焦点在x轴上的椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．

解析：由题意知解得则b2＝a2－c2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

7．若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________________.

解析：根据椭圆标准方程的形式，可知方程＋＝1表示椭圆的条件是解得1<m<7且m≠4，所以实数m的取值范围是(1,4)∪(4,7)．

答案：(1,4)∪(4,7)

8．已知中心是坐标原点的椭圆C过点，且它的一个焦点为(2,0)，则C的标准方程为________．

解析：根据题意，椭圆的一个焦点为(2,0)，则c＝2，设椭圆的方程为＋＝1，又由椭圆经过点，则有＋＝1，解得a2＝5，则椭圆的方程为＋y2＝1.

答案：＋y2＝1

9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．

解：∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，

∴2a＝4，a2＝4，

∵点是椭圆上的一点，

∴＋＝1，

∴b2＝3，∴c2＝1，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．

10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于12；

(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)．

解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝5,2a＝12，

所以a＝6，b2＝a2－c2＝36－25＝11，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

法一：由椭圆的定义知2a＝＋＝12，解得a＝6.又c＝2，所以b＝＝4.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

法二：因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.

又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

1．化简方程 ＋＝10为不含根式的形式是(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

解析：选C　 由题意可知方程表示点(x，y)与两个定点(0,3)和(0，－3)之间的距离之和为10，又两定点之间的距离为6，且6<10，符合椭圆的定义，即2a＝10,2c＝6，从而可求得b2＝16，相应椭圆方程为＋＝1.

2．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足·＝0的点P的个数为(　　)

A．0  B．2

C．3  D．4

解析：选B　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以点P即为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且半径为c＝＝2.又因为b＝2，所以点P为该椭圆与y轴的两个端点．

3.如图所示，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．

解析：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，

∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.

∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，

解得b2＝2，则a＝2b＝2.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

4．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________；当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围是________．

解析：由椭圆的方程为＋y2＝1，得c＝2，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．若∠F1PF2为直角，则·＝0，

即x＋y＝4，          ①

又＋y＝1，          ②

①②联立消去y得x＝，所以x0＝±.

若∠F1PF2为钝角，则·<0，

即x＋y<4，③　又＋y＝1，④

由③④，得－<x0<.

答案：±　

5．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．

解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，

由已知条件得解得

所以b2＝a2－c2＝12.

于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.

由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.

在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；

在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.

依题意有＝3，得b2＝12.

于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．

(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；

(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．

解：(1)由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝20，        ①

在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，

即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|.          ②

①2－②，整理得|PF1|·|PF2|＝.

所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin＝.

(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.

所以|PF1|＋|PF2|＝20，

所以|PF1|·|PF2|≤2＝100，

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝10时，等号成立．

所以|PF1|·|PF2|的最大值是100.