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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试优质教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试优质教案，共121页。
第3章:椭圆与方程
第1课：椭圆的标准方程
一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
二．概念梳理.
1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.
2.根据椭圆的定义可知：集合，，且 为常数.当时，集合P为_______；当时，集合P为 当时，集合P为 .
3.焦点在轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在轴上的椭圆的标准方程为 .其中满足关系为 .
三．典例分析.
例1.求下列椭圆的焦点坐标.
(1). (2).
(3). (4).
例2.已知方程.
(1) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
(2) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
(3) 若上述方程表示椭圆，求实数的取值范围.
例3.求下列椭圆的标准方程
1．两个焦点坐标分别为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10；
2.已知椭圆上点，且两焦点是；
3.经过两点；
4.与椭圆有相同焦点，且经过点.
四．练习题
1.椭圆与椭圆的焦距相等，则的值是
2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______.
3.椭圆，焦点在y轴上，则的取值范围是 .
4.椭圆的焦点坐标为
5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
(2) 中心在原点，且经过点，.
第2课：椭圆的焦点三角形初探
一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.
二．概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
(1). .
(2). 焦点三角形的周长为
(3)..
(4). 焦点三角形的面积为：.
①．当，即点P为短轴端点时，θ最大；
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
(5). 假设焦点的内切圆半径为，则.
三．典例分析.
例1．椭圆的两个焦点为,,点是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则的周长为( )
A． B． C． D．
例2.椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，则的最大值为_________.
例3.(1).椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，求.
(2).椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，则的面积为多少？
四.练习题.
1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6
3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
6．已知椭圆的两个焦点分别为， ，斜率不为的直线过点，且交椭圆于， 两点，则的周长为（ ）．
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（－4，0），C（4，0），顶点B在椭圆上，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求：
(1).的最大值与最小值；
(2).的最大值与最小值.
第3课：基于椭圆的轨迹问题研究
一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.
二．知识梳理:
1.定义法求轨迹方程的基本步骤:
2.代入法求轨迹方程的基本步骤:
三．典例分析.
1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.
例1.已知是两个定点，，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点Ａ的轨迹方程.
例2.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程.
例3.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.求曲线的方程.
2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.
例4.已知曲线M上的动点到定点距离是它到定直线距离的一半．
求曲线M的方程.
3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.
例5.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.求动点的轨迹的方程.
4.相关点法求轨迹.
例6.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足求动点的轨迹方程.
四.练习题
1．化简方程为不含根式的形式是（ ）
A. B. C. D.
2．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．求动点的轨迹方程.
5.在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点．求点的轨迹方程．
6.设为圆的动点，在轴的投影为，动点满足，动点的轨迹为.求的方程.
第4课：椭圆的简单几何性质
一． 学习目标
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
二． 知识梳理
标准方程
+=1（a＞b＞0）
+=1（a＞b＞0）
图
形
性 质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点
，，
，，
轴
长轴的长为，短轴的长为
离心率
，其中
三．典例分析
例.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴.焦点在轴上，，；⑵.焦点在轴上，，；
⑶.经过点，； ⑷.长轴长等到于，离心率等于．
四．练习题
1．已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为（，0），则椭圆的标准方程是_____．
4．设椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则值为___________
5．已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的方程为_____．
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴.经过点，；
⑵.长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶.焦距是，离心率等于．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
8．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程．（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
9.(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10.(2019年高考全国Ⅲ卷理数)设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
11.(2018年高考全国Ⅱ理数)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.(2017年高考全国Ⅲ理数)已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第5课：椭圆几何性质再探
一．学习目标：了解椭圆的焦半径公式，进一步加强椭圆几何性质的掌握与应用.
二．焦半径公式.
1.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
2.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
三．典例分析.
例1.椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，求.
例2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值．
例3．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4.已知点为椭圆上一个动点，点，则的最小值为______.
四．练习题
1．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
2．设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
A． B． C． D．
6．椭圆两个焦点分别是，，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是椭圆C：上的一个动点，点是圆E：上的一个动点，则的最大值是________.
8. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.
第6课：直线与椭圆的位置关系及弦长计算
一． 学习目标.
掌握直线与椭圆位置关系的判定方法以及能够应用弦长计算公式求解简单的弦长问题.
二．知识梳理.
1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
判定方法——代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：
△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交；
△＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切；
△＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．
2.弦长的一般形式
设A(),B()
弦长=
=
3.椭圆弦长:
相切条件：,
三．典例分析
例1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C，
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
例2.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，求弦长．
四．练习题
1.已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，
求弦AB的长.
2.已知椭圆及直线．（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
3.已知直线与椭圆相交于两点，当变化时，求的最大.
4.已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
面积为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．若,求直线的倾斜角.
第7课：椭圆的焦点弦
一． 学习目标：
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
二． 知识剖析
(1).椭圆其中两焦点为（过左焦点）（过右焦点）其中e是椭圆的离心率.
(2).椭圆（过左焦点）（过右焦点）
(3).若，则.
(4).若,找出或者（可正可负），利用构建，联立利用韦达定理求解）或者利用韦达定理分别解出
三． 例题分析
例1.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值．
例2.已知平面上的动点到定点 的距离与它到直线的距离之比等于.（1）求动点的轨迹 的方程；
（2）设，过点作直线与曲线 交于两点，且,若，求的取值范围.
第8课：中点弦问题--椭圆垂径定理
一．学习目标:掌握点差法，能够在不同情境中用点差法解决中点弦问题，会推导椭圆垂径定理.
二.知识梳理:
1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）
椭圆：交点在x轴上时
直线与椭圆相交于点A、B
设点A(),B() ∵A、B在椭圆上
∴……① 则
……② 即
①-②得： 即
则 （其中M为A、B中点，O为原点）
同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为
当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点
则
2.椭圆垂径定理：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于下的系数比上下的系数的相反数.
三.典例分析
例1.已知椭圆，弦的中点是,求弦所在的直线方程.
例2.已知椭圆直线不经过原点,且不平行于坐标轴,与C有两个交点,假设线段中点为,证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
四.练习题.
1．已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A． B．
C． D．
2.已知椭圆，椭圆内一点,则以为中点的弦所在的直线的斜率是
A. B.－ C.2 D.－2
3．若椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆交于A，B两点，若AB的中点，且直线AB的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．
6.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．
（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；
（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
7．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值．
8.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
第9课：面积计算
1.三角形面积
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积
处理方法：
①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）
=（直线为斜截式y=kx+m）
=
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。
例1.已知椭圆C:，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,求△OAB的面积.
2.四边形面积
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.
例2.平面直角坐标系中，过椭圆右焦点F的直线交与两点，为上的两点，且，
（1）若直线过点，求四边形的面积；
（2）求四边形面积的最大值.
练习题
1.已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(1).求的方程；
(2).设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
2.已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线交曲线于两点，求的面积.
第10课：椭圆离心率的计算
一．学习目标：掌握常见的离心率计算问题
二．知识梳理：离心率计算公式
三．典型例题
1.计算离心率
例1．(1)设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
(2)．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
(3)．设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若为直角三角形,则的离心率为
A． B． C． D．
2.计算离心率范围
例2.已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中求该椭圆离心率的范围.
小结：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
例3．设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四.练习题.
1.已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
2．已知椭圆的左右焦点分别为， ，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，求椭圆离心率e的取值范围.
第11课：椭圆综合问题研究
一． 学习目标:通过在角度关系的问题情境中的探究过程，进一步体会几何问题代数化，代数关系坐标化，联立方程设而不求的解析几何基本思想，提升逻辑分析和数学运算的核心素养.
二． 知识梳理：
1.斜率的定义：
2.斜率的坐标公式：
三．典例分析.
1.基于角度关系的情境.
例1.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
练习1.已知椭圆,点分别为椭圆的左顶点，上顶点，左焦点，若，求椭圆的离心率.
2.基于向量情境的问题.
例2.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值．
练习2．已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．
(1) 求椭圆D的标准方程；
(2) 过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝a交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求的值．
练习3.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．
（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
[解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
3.定值问题.
例3.已知椭圆经过，且离心率为.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点A),证明:.
4.定点问题.
例4.已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为–1，证明：过定点.
练习4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
附录:
解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考
1．平行四边形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)对边平行
斜率相等，或向量平行
(2)对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相平分
中点重合
2．直角三角形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)两边垂直
斜率乘积为－1，或向量数量积为0
(2)勾股定理
两点的距离公式
(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)
两点的距离公式
3．等腰三角形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)两边相等
两点的距离公式
(2)两角相等
底边水平或竖直时，两腰斜率相反
(3)三线合一(垂直且平分)
垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式
4．菱形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)对边平行
斜率相等，或向量平行
(2)对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相垂直平分
垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式、中点重合
5．圆条件的转化
几何性质
代数实现
(1)点在圆上
点与直径端点向量数量积为零
(2)点在圆外
点与直径端点向量数量积为正数
(3)点在圆内
点与直径端点向量数量积为负数
6．角条件的转化
几何性质
代数实现
(1)锐角，直角，钝角
角的余弦(向量数量积)的符号
(2)倍角，半角，平分角
角平分线性质，定理(夹角、到角公式)
(3)等角(相等或相似)
比例线段或斜率
第3章: 双曲线与方程
第1课：双曲线的标准方程
一． 学习目标
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；
2.掌握双曲线的定义和标准方程；
3.能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
二． 知识梳理
1.定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
设为双曲线上的任意一点,
若点在双曲线右支上,则；
若在双曲线的左支上,则；
因此得.
2.标准方程：焦点在轴上:
焦点在轴上:,
可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.
3.标准方程中的三个量满足
4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴
上或在轴上两种情形。若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.
三．典例分析
题型1 双曲线的定义及应用
例1.双曲线上一点到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）
A.到左焦点的距离为8 B.到左焦点的距离为15
C.到左焦点的距离不确定 D.这样的点不存在
【变式】双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离.
题型2.求双曲线方程
例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1），经过点；（2）经过点、；
（3）与双曲线有相同的焦点，且经过点.
题型3.判断曲线类型
例3.（1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线,求的取值范围；
（2）研究方程表示何种曲线.
题型4.焦点三角形
例4.双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线上,且,求的面积.
例5.（1）双曲线,过焦点的直线与该双曲线的同一支交于、两点,且，另一焦点为,则的周长为 （ ）
A. B. C. D.
（2）设与是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,则的面积是 （ ）
A.1 B. C.2 D.
题型5 双曲线的轨迹
例6. 在△ABC中，，，直线AB、AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹.
例7.已知圆和圆，动圆同时与圆,及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程.
题型6 双曲线的最值问题
例8.(1).为双曲线右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为______.
(2).设与是双曲线的两个焦点,点为双曲线内一点，点在双曲线的右支上，则的最小值为______.
四．练习题
1．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
2．已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A． B．84 C．3 D．21
5．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第2课：双曲线的几何性质
一． 学习目标
1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.
2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.
3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.
二． 知识梳理
1.范围、对称性
2.顶点
顶点：，特殊点：.
实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长.
3.渐近线
如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线.
4.离心率:焦点在轴：.
焦点在轴:___________.
5.焦点到渐近线的距离:
到直线的距离为.
三． 典例分析
例1.求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离
心率，渐近线方程.
例2. 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的
方程.
方法指导（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式，的值为正时焦点在轴上，为负时焦点在轴上.
例3. 如果双曲线的渐近线方程是，求离心率.
例4. 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
（1）过点，离心率.
（2）已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例5．双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
四．练习题
1.双曲线的顶点坐标是 （ ）
A. B.或
C. D.或
2.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
3.过点(2，-2)且与有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）
A. B.
C. D.
4．若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是
A． B． C． D．
6．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
9．直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为____________．
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_______
11．双曲线：的左、右焦点分别是，，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为________．
12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为 ．
第3课：直线与双曲线的位置关系
一． 学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路.
二． 知识梳理:
1. 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？
2. 当直线与椭圆相交时，如何求弦长？
3. 涉及弦的中点问题，如何解决？
三． 典例分析
例1.试讨论直线与双曲线的位置关系？
【变式】1.若双曲线与直线无交点，求离心率的范围.
2.若双曲线与直线相交于不同的两点，求离心率的范围.
例2.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求.
例3.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程为
A． B. C. D.
四．练习题
1．已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）
A． B． C．6 D．
3．已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A． B．
C． D．
4．分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．16
5．已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．2 D．
6．斜率为2的直线 过双曲线 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线：及直线：
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数值.
8．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点，
（1）求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的取值.
第4课：双曲线的离心率计算
一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.
二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法.
三：典例分析：
例1. 已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.
【变式】
1. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______
2. 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
例2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【变式】1.设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________（）.
2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B．2 C． D．
例3．已知点分别为双曲线的左右焦点，直线是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点，点在上的射影为，使得成立，求双曲线离心率的取值范围.
四．练习题
1．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，点是双曲线上的一点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P
满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是
A． B．
C． D．
6．设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点,若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的左、右点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于两点，若，则C的离心率为______.
12．过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为__________．
13．已知双曲线：，过双曲线的右焦点作的渐近线的垂线，垂足为，延长与轴交于点，且，则双曲线的离心率为__________．
第3章：抛物线与方程
第1课：抛物线的标准方程
一． 学习目标
1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.
2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.
4. 进一步体会数形结合的思想方法.
二． 知识梳理
1.抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.
（1）.定义可归结为”一动三定”：一个动点设为；一定点(即焦点)；一定直线(即
准线)；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为1）.
（2）.定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线。
（3）.抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
2.抛物线标准方程：
（1），焦点：，准线；
（2），焦集点：，准线；
（3），焦点：，准线；
（4），焦点：，准线.
三．典例分析
例1.根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1)焦点为（一2，0）； （2）准线为；
（3）焦点到准线的距离是4； （4）过点（1，2）.
例2. 若动圆与圆（外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A. B. C. D.
【变式】 已知圆与定直线，且动圆和圆外切并与直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程.
例3.已知抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到轴的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式】过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，如果，则线段的中点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
例4. 已知抛物线，点是抛物线上的动点，点的坐标为（12，6）.求点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值.
【变式】 定长为5的线段的两个端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离.
四．练习题
1．已知，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离是，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若动点到点的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（ ）
A．2028 B．2038 C．4046 D．4056
7．已知P为抛物线上的任意一点，记点P到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11.试在抛物线上求一点，使到点与到焦点的距离之和最小.
第2课：抛物线的几何性质
一. 知识梳理
1.几何性质
标准方程
图象
性
质
焦点
准线
范围
轴
轴
顶点
离心率
开口方向
向右
向左
类型
图象
类型
性
质
焦点
准线
范围
对称轴
轴
顶点
离心率
开口方向
向上
向下
2. 直线与抛物线位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
三．典例分析
例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公
共弦长等于，求这条抛物线的方程.
例2.讨论：过定点的直线与抛物线的交点个数.
【变式】过点作抛物线的弦，恰好被所平分，求弦所在直线的方程.
例3.设抛物线：的焦点为，是上的点．
（1）求的方程；
（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．
四．练习题
1．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A． B． C． D．
2．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，_________.
7．已知抛物线：上一点到焦点距离为1，
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点与抛物线交于两点，若，求直线的方程．
8．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|．
9．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的纵坐标为2，且.（1）求抛物线的标准方程；
（2）设抛物线的焦点为，若直线经过焦点，求直线的方程.
第3课：抛物线的焦点弦
1.学习目标.
(1).应用抛物线的定义，能够推导出焦点弦的常见性质.
(2).利用焦点弦的常用性质，在不同情境之中准确解决相关问题，进一步体会设而不求，整体代入的基本思想.
2.知识梳理:
(1).抛物线弦长计算的基本方法:设A(),B()
弦长=
=
若直线的斜率存在，假设直线方程为，代入，消去并化简整理得到：
，，最后利用韦达定理，代入弦长公式即可解得弦长.
(2).由于，故，
所以有：.
3.典例分析
案例分析.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，求线段的长度.
方法1.(弦长公式).
方法2.(抛物线定义).注意到直线经过抛物线的焦点，即焦点弦.
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
性质1.,.
性质2.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则.
性质3.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
性质4.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
性质7.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
四.练习题
1．设抛物线，过焦点作倾斜角为30°的直线交于两点，则（ ）
A． B．16 C．32 D．
2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则 ( )
A．9 B．6 C．7 D．8
3．已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )
A． B． C． D．
4．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且，则直线的斜率为
A． B． C． D．
9.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，线段的长度为_________.
11.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
12．已知抛物线：的焦点为，准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求；
（3）设点在抛物线上，且，求的面积（为坐标原点）.
13．已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．
（1）求的方程；
（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．
14．已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点 ，求直线与圆的方程．
微专题1. 圆的双切线模型
圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.
如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：
1.；.
2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.
3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.
4.平分.
5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.
6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：
.对使用均值不等式可得最小值.
图1
7.假设，圆的方程为（）
则切点弦的方程为：.
可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.
例1. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：考察性质5.
因为直线与圆相切，所以，且
所以四边形面积，
又，
所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，
由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，
所以，所以
所以四边形面积的最小值，故选：B
例2.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A． B． C． D．
解析：考察性质6.
如图所示：设，则
所以当且仅当时取“=”，故最小值为.
例3.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
解析：综合考察性质3，5,7.
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.
练习题.
1．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设为圆外一点，过引圆的切线，两切点分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，，，为切点.若的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
微专题2：椭圆的极点极线结构与应用
二，预备知识
此处先给出一些调和点列，完全四边形，极点与极线的常见结论.
1.调和点列[1]
直线上依次四点若满足则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别，若在无穷远处，则，即此时为中点.
2.完全四边形及调和性[1]
两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个顶点所构成的图形.
性质1[1]. 如图1，完全四边形中，设两两相交于，那么，与与成调和点列.
3.极点与极线[2]
如图2，若点在曲线内，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，交于点,则直线即为点所对应的极线.以椭圆为例，假设椭圆方程为，常见的一组极点和极线是点与直线，特别的，当点为椭圆的右焦点时，所对应的极线是. 如图2，此时是一个完全四边形.
图1 图2
三，问题证明与推广
此处仅直线斜率不为零的情况. 由预备知识，点的极线就是准线，如图3，假设直线与椭圆交于点，根据极点极线的定义，过的两条割线与，则是一个完全四边形，直线是关于椭圆的极线. 假设与极线交于点，根据完全四边形的性质，成调和点列，即，显然，平行于，即点在无穷远处，根据调和点列的性质，此时，故，即为的中点，证毕.
图3
这样，此题便从极点与极线的高观点下完成了证明，可以看到，上述证明过程中深刻地展现出了此问题背后的几何关系，也反映了试题的本源. 从这样的证明过程可以明显的看到，由于割线与准线的平行，所以导致了结论的出现. 因此，可以对此题目做一次推广，即
性质2 .已知椭圆 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
当然，此性质还可以推广到双曲线和抛物线，我们给出如下结论：
性质3. 已知双曲线 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
性质4. 已知椭圆 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
微专题3：斜率和与斜率乘积的定点定值
一．基本结论：设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
（1） 若，则有，
（2） 若，则直线过定点，
（3） 若，则有，
（4） 若，则直线过定点.
二．应用
1．已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
2.（2017高考）
已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
3.（2020山东）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.
5．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值．
6．已知平面内的两点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，若直线斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
参考答案
1．（1）抛物线的焦点为，
，，，，，椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，，
，即
整理得：代入①得：
到的距离
综上：为定值.
2．解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
3．【详解】（1）由已知得，l的方程为.
由已知可得，点的坐标为或.
所以的方程为或.
（2）当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故、的倾斜角互补，所以.
综上，.
4．【详解】
(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)设点.
因为AM⊥AN，∴，即,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.
代入椭圆方程消去并整理得：,
②,
根据,代入①整理可得：
将②代入，，
整理化简得,
∵不在直线上，∴，
∴，
于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.
代入得,
结合,解得,
此时直线MN过点,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.
由于，故由中点坐标公式可得.
故存在点，使得|DQ|为定值.
5．【详解】
解：（1）由题设知：，，结合，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题设知：直线的方程为，代入，
得：，
由已知，设，，
则，，
从而直线的斜率之和为
.
6．【详解】
解：（1）设，由题得，化简得，
经检验所求方程为
（2）由题知，
设直线方程为，设，
联立消去化简得，
由，化简得，
且，由题得，
整理得，
代入整理得：，解得或（舍），
所以直线过点.
微专题4：抛物线的阿基米德三角形
（2021全国乙卷21）已知抛物线的焦点，且与圆上的点的最短距离为.
（1）求；
（2）若点在上，为的切线，切点为，求面积的最大值.
解：（1）（过程略）.
（2）假设，，则切线：，切线
，最后将点分别代入上面方程中可得：①，这表明的方程为：.那么联立与抛物线方程可得：，则
，那么，设到直线的距离为，则. 故.由于点在圆上，故，代入上式得：，故当时，.
如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
证明：参见下面的例1.
结论2.直线的方程为.
证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.
进一步，设：，
则.
则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.
上述结论的逆向也成立，即：
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.
例2（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明：设,,则．又因为，所以.
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
练习题
1．已知抛物线：，过点作抛物线的两条切线，，，为切点，若直线经过抛物线的焦点，则抛物线的方程为（ ）结论1
A． B． C． D．
2．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）结论2
A． B．2 C．4 D．
3．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，设其中一个切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知点，直线过抛物线的焦点且交抛物线于两点，且恰好与抛物线相切，那么线段的中点坐标为_______.结论6
5.已知点，直线过抛物线的焦点且斜率为并交抛物线于两点，若，则_______.结论5
微专题5：平面几何的几个定理
1.梅涅劳斯定理：一直线与的三边、、或它们的延长线交于、、，则
练习用其它方式证明，此证法来源于张景中院士，共边定理，此外，梅涅劳斯定理的逆定理也成立，并常用来证明三点共线，梅涅劳斯定理则常用于求比例值。
2 塞瓦定理
塞瓦定理分为边元塞瓦和角元塞瓦定理
边元塞瓦定理：、、分别是的边、、上的点，且、、交于点，则
同样，塞瓦定理的逆定理也成立，并常用来证明三线共点。
角元塞瓦定理：条件同上，有
证明：, 联立相乘即可。
注：塞瓦定理与梅涅劳斯定理常一起搭配使用。
例1.（2021四川预赛）
3 关于切线和割线（圆幂定理）
（1） 为圆切线
证明方法如右图所示
（2） 切割线定理：
当然有割线定理：
（3） 相交弦定理：
（4）圆幂定理：过一定点向任作一直线，交于两点，则自定点到两交点的线段之积为常数
圆幂：叫做定对的幂。
（5）
例2.（2021新课标1卷）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足
，求直线与的斜率之和.
微专题6：彭赛闭合定理与双切线的处理
彭赛列闭合定理：平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.
特别地，当封闭多边形的边数等于时，即内接一条圆锥曲线，内切一条圆锥曲线，这就是2021年甲卷解析几何试题的命题背景.
2021全国甲卷20）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于两点，且. 已知点，且⨀与相切.
（1）求，⨀的方程；
（2）设是上的三个点，直线均与⨀相切，判断直线与⨀的位置关系，并说明理由.
解析：（1）的方程为；⨀：.
（2）直线与⨀相切.
例2（2020成都三诊）．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
（Ⅰ）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）（i）设点.
①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，
得.
.
令，整理得.
设直线，的斜率分别为，.∴
又，∴.
∴，即为圆的直径，∴.
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为.
∴，，也满足.
综上，有.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则
∴直线的方程为.
化简可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又点到直线的距离.
∴.
令，.则.
又，∴的面积的取值范围为.
第3章:椭圆与方程
第1课：椭圆的标准方程
一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程.
二．概念梳理.
1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距.
2.根据椭圆的定义可知：集合，，且 为常数.当时，集合P为_______；当时，集合P为 当时，集合P为 .
3.焦点在轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在轴上的椭圆的标准方程为 .其中满足关系为 .
三．典例分析.
例1.求下列椭圆的焦点坐标.
(1). (2).
(3). (4).
例2.已知方程.
(1) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
(2) 若上述方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
(3) 若上述方程表示椭圆，求实数的取值范围.
例3.求下列椭圆的标准方程
1．两个焦点坐标分别为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为10；
2.已知椭圆上点，且两焦点是；
3.经过两点；
4.与椭圆有相同焦点，且经过点.
四．练习题
1.椭圆与椭圆的焦距相等，则的值是
2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______.
3.椭圆，焦点在y轴上，则的取值范围是 .
4.椭圆的焦点坐标为
5.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；
(2) 中心在原点，且经过点，.
第2课：椭圆的焦点三角形初探
一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.
二．概念梳理:
焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，
(1). .
(2). 焦点三角形的周长为
(3)..
(4). 焦点三角形的面积为：.
①．当，即点P为短轴端点时，θ最大；
②．S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；
(5). 假设焦点的内切圆半径为，则.
三．典例分析.
例1．椭圆的两个焦点为,,点是椭圆上任意一点（非左右顶点）,则的周长为( )
A． B． C． D．
例2.椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，则的最大值为_________.
例3.(1).椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，求.
(2).椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，则的面积为多少？
四.练习题.
1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 6
3. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D.
4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5. 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（ ）
A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
6．已知椭圆的两个焦点分别为， ，斜率不为的直线过点，且交椭圆于， 两点，则的周长为（ ）．
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A（－4，0），C（4，0），顶点B在椭圆上，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆内有一点，、分别为其左右焦点，是椭圆上一点，求：
(1).的最大值与最小值；
(2).的最大值与最小值.
第3课：基于椭圆的轨迹问题研究
一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.
二．知识梳理:
1.定义法求轨迹方程的基本步骤:
2.代入法求轨迹方程的基本步骤:
三．典例分析.
1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.
例1.已知是两个定点，，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点Ａ的轨迹方程.
例2.已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程.
例3.已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线.求曲线的方程.
2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.
例4.已知曲线M上的动点到定点距离是它到定直线距离的一半．
求曲线M的方程.
3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.
例5.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.求动点的轨迹的方程.
4.相关点法求轨迹.
例6.已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足求动点的轨迹方程.
四.练习题
1．化简方程为不含根式的形式是（ ）
A. B. C. D.
2．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
3．已知定圆， ，动圆满足与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数．求动点的轨迹方程.
5.在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点．求点的轨迹方程．
6.设为圆的动点，在轴的投影为，动点满足，动点的轨迹为.求的方程.
第4课：椭圆的简单几何性质
一． 学习目标
1.掌握椭圆的对称性、范围、定点、离心率等简单性质.
2.能用椭圆的简单性质求椭圆方程.
3.能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
二． 知识梳理
标准方程
+=1（a＞b＞0）
+=1（a＞b＞0）
图
形
性 质
焦点
，
，
焦距
范围
，
，
对称性
对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点
顶点
，，
，，
轴
长轴的长为，短轴的长为
离心率
，其中
三．典例分析
例.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴.焦点在轴上，，；⑵.焦点在轴上，，；
⑶.经过点，； ⑷.长轴长等到于，离心率等于．
四．练习题
1．已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆C交于A，B两点．若的周长为8，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为（，0），则椭圆的标准方程是_____．
4．设椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则值为___________
5．已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为，点P在椭圆上，若，且的面积为4，则椭圆的方程为_____．
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴.经过点，；
⑵.长轴长是短轴长的倍，且经过点；
⑶.焦距是，离心率等于．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．
8．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程．（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．
9.(2019年高考全国Ⅰ卷理数)已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10.(2019年高考全国Ⅲ卷理数)设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
11.(2018年高考全国Ⅱ理数)已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.(2017年高考全国Ⅲ理数)已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第5课：椭圆几何性质再探
一．学习目标：了解椭圆的焦半径公式，进一步加强椭圆几何性质的掌握与应用.
二．焦半径公式.
1.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，，进一步，有
2.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有
三．典例分析.
例1.椭圆的左右焦点为、， 是椭圆上一点，且，求.
例2．已知焦点在轴上的椭圆的离心率，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，求的最大值和最小值．
例3．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F（3，0）为椭圆C的右焦点，则•的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4.已知点为椭圆上一个动点，点，则的最小值为______.
四．练习题
1．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2 B．3 C．6 D．8
2．设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与直线的交点为，椭圆的焦点为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的值可以是（ ）
A． B． C． D．
5．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是
A． B． C． D．
6．椭圆两个焦点分别是，，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是椭圆C：上的一个动点，点是圆E：上的一个动点，则的最大值是________.
8. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.
第6课：直线与椭圆的位置关系及弦长计算
一． 学习目标.
掌握直线与椭圆位置关系的判定方法以及能够应用弦长计算公式求解简单的弦长问题.
二．知识梳理.
1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.
判定方法——代数法。将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：
△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交；
△＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切；
△＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．
2.弦长的一般形式
设A(),B()
弦长=
=
3.椭圆弦长:
相切条件：,
三．典例分析
例1.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：，试问：当m取何值时，直线l与椭圆C，
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？
例2.已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，求弦长．
四．练习题
1.已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，
求弦AB的长.
2.已知椭圆及直线．（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
3.已知直线与椭圆相交于两点，当变化时，求的最大.
4.已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
面积为．
(1) 求椭圆的方程；
(2) 设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．若,求直线的倾斜角.
第7课：椭圆的焦点弦
一． 学习目标：
1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程；
2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题；
3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.
二． 知识剖析
(1).椭圆其中两焦点为（过左焦点）（过右焦点）其中e是椭圆的离心率.
(2).椭圆（过左焦点）（过右焦点）
(3).若，则.
(4).若,找出或者（可正可负），利用构建，联立利用韦达定理求解）或者利用韦达定理分别解出
三． 例题分析
例1.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值．
例2.已知平面上的动点到定点 的距离与它到直线的距离之比等于.（1）求动点的轨迹 的方程；
（2）设，过点作直线与曲线 交于两点，且,若，求的取值范围.
第8课：中点弦问题--椭圆垂径定理
一．学习目标:掌握点差法，能够在不同情境中用点差法解决中点弦问题，会推导椭圆垂径定理.
二.知识梳理:
1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解）
椭圆：交点在x轴上时
直线与椭圆相交于点A、B
设点A(),B() ∵A、B在椭圆上
∴……① 则
……② 即
①-②得： 即
则 （其中M为A、B中点，O为原点）
同理可以得到当焦点在y轴上，即椭圆方程为
当直线交椭圆于A、B两点，M为A、B中点
则
2.椭圆垂径定理：直线AB的斜率与中点M和原点O所成直线斜率的乘积等于下的系数比上下的系数的相反数.
三.典例分析
例1.已知椭圆，弦的中点是,求弦所在的直线方程.
例2.已知椭圆直线不经过原点,且不平行于坐标轴,与C有两个交点,假设线段中点为,证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
四.练习题.
1．已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A． B．
C． D．
2.已知椭圆，椭圆内一点,则以为中点的弦所在的直线的斜率是
A. B.－ C.2 D.－2
3．若椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆交于A，B两点，若AB的中点，且直线AB的倾斜角为，则此椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．
6.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．
（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；
（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
7．已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值．
8.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
第9课：面积计算
1.三角形面积
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积
处理方法：
①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）
=（直线为斜截式y=kx+m）
=
②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x轴或者y轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x轴或者y轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。
例1.已知椭圆C:，直线y=x+1交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,求△OAB的面积.
2.四边形面积
在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.
例2.平面直角坐标系中，过椭圆右焦点F的直线交与两点，为上的两点，且，
（1）若直线过点，求四边形的面积；
（2）求四边形面积的最大值.
练习题
1.已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
(1).求的方程；
(2).设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.
2.已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线交曲线于两点，求的面积.
第10课：椭圆离心率的计算
一．学习目标：掌握常见的离心率计算问题
二．知识梳理：离心率计算公式
三．典型例题
1.计算离心率
例1．(1)设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
(2)．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
(3)．设椭圆的两焦点分别为,以为圆心,为半径的圆与交于两点.若为直角三角形,则的离心率为
A． B． C． D．
2.计算离心率范围
例2.已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中求该椭圆离心率的范围.
小结：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
例3．设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
四.练习题.
1.已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
2．已知椭圆的左右焦点分别为， ，过的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是椭圆的焦点，点在椭圆上且满，则的面积为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7．椭圆短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，若该三角形内切圆的半径为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，求椭圆离心率e的取值范围.
第11课：椭圆综合问题研究
一． 学习目标:通过在角度关系的问题情境中的探究过程，进一步体会几何问题代数化，代数关系坐标化，联立方程设而不求的解析几何基本思想，提升逻辑分析和数学运算的核心素养.
二． 知识梳理：
1.斜率的定义：
2.斜率的坐标公式：
三．典例分析.
1.基于角度关系的情境.
例1.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
练习1.已知椭圆,点分别为椭圆的左顶点，上顶点，左焦点，若，求椭圆的离心率.
2.基于向量情境的问题.
例2.已知椭圆的两个焦点为，且经过点.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 过的直线与椭圆交于A,B两点(点A位于轴上方)，若,求直线的斜率的值．
练习2．已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．
(1) 求椭圆D的标准方程；
(2) 过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝a交于点M，直线l与椭圆D的另一交点为P，求的值．
练习3.设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．
（1）求椭圆的方程；（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
[解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．
(2)利用向量关系转化成相关的等量关系．
(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．
3.定值问题.
例3.已知椭圆经过，且离心率为.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点A),证明:.
4.定点问题.
例4.已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为–1，证明：过定点.
练习4.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，若点B在以线段MN为直径的圆上，证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．
附录:
解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”，牢固树立“转化”意识，那么就能顺利破解解析几何的有关问题．附几种几何条件的转化，以供参考
1．平行四边形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)对边平行
斜率相等，或向量平行
(2)对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相平分
中点重合
2．直角三角形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)两边垂直
斜率乘积为－1，或向量数量积为0
(2)勾股定理
两点的距离公式
(3)斜边中线性质(中线等于斜边一半)
两点的距离公式
3．等腰三角形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)两边相等
两点的距离公式
(2)两角相等
底边水平或竖直时，两腰斜率相反
(3)三线合一(垂直且平分)
垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式
4．菱形条件的转化
几何性质
代数实现
(1)对边平行
斜率相等，或向量平行
(2)对边相等
长度相等，横(纵)坐标差相等
(3)对角线互相垂直平分
垂直：斜率或向量
平分：中点坐标公式、中点重合
5．圆条件的转化
几何性质
代数实现
(1)点在圆上
点与直径端点向量数量积为零
(2)点在圆外
点与直径端点向量数量积为正数
(3)点在圆内
点与直径端点向量数量积为负数
6．角条件的转化
几何性质
代数实现
(1)锐角，直角，钝角
角的余弦(向量数量积)的符号
(2)倍角，半角，平分角
角平分线性质，定理(夹角、到角公式)
(3)等角(相等或相似)
比例线段或斜率
第3章: 双曲线与方程
第1课：双曲线的标准方程
一． 学习目标
1.经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程；
2.掌握双曲线的定义和标准方程；
3.能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.
二． 知识梳理
1.定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
设为双曲线上的任意一点,
若点在双曲线右支上,则；
若在双曲线的左支上,则；
因此得.
2.标准方程：焦点在轴上:
焦点在轴上:,
可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.
3.标准方程中的三个量满足
4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴
上或在轴上两种情形。若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。
因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.
三．典例分析
题型1 双曲线的定义及应用
例1.双曲线上一点到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）
A.到左焦点的距离为8 B.到左焦点的距离为15
C.到左焦点的距离不确定 D.这样的点不存在
【变式】双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离.
题型2.求双曲线方程
例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
（1），经过点；（2）经过点、；
（3）与双曲线有相同的焦点，且经过点.
题型3.判断曲线类型
例3.（1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线,求的取值范围；
（2）研究方程表示何种曲线.
题型4.焦点三角形
例4.双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线上,且,求的面积.
例5.（1）双曲线,过焦点的直线与该双曲线的同一支交于、两点,且，另一焦点为,则的周长为 （ ）
A. B. C. D.
（2）设与是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,则的面积是 （ ）
A.1 B. C.2 D.
题型5 双曲线的轨迹
例6. 在△ABC中，，，直线AB、AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹.
例7.已知圆和圆，动圆同时与圆,及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程.
题型6 双曲线的最值问题
例8.(1).为双曲线右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为______.
(2).设与是双曲线的两个焦点,点为双曲线内一点，点在双曲线的右支上，则的最小值为______.
四．练习题
1．设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
2．已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A． B．84 C．3 D．21
5．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第2课：双曲线的几何性质
一． 学习目标
1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.
2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.
3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.
二． 知识梳理
1.范围、对称性
2.顶点
顶点：，特殊点：.
实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长.
3.渐近线
如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线.
4.离心率:焦点在轴：.
焦点在轴:___________.
5.焦点到渐近线的距离:
到直线的距离为.
三． 典例分析
例1.求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离
心率，渐近线方程.
例2. 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的
方程.
方法指导（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式，的值为正时焦点在轴上，为负时焦点在轴上.
例3. 如果双曲线的渐近线方程是，求离心率.
例4. 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.
（1）过点，离心率.
（2）已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
例5．双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
四．练习题
1.双曲线的顶点坐标是 （ ）
A. B.或
C. D.或
2.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.3
3.过点(2，-2)且与有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）
A. B.
C. D.
4．若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是
A． B． C． D．
6．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
9．直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为____________．
10．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_______
11．双曲线：的左、右焦点分别是，，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为________．
12．设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为 ．
第3课：直线与双曲线的位置关系
一． 学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路.
二． 知识梳理:
1. 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？
2. 当直线与椭圆相交时，如何求弦长？
3. 涉及弦的中点问题，如何解决？
三． 典例分析
例1.试讨论直线与双曲线的位置关系？
【变式】1.若双曲线与直线无交点，求离心率的范围.
2.若双曲线与直线相交于不同的两点，求离心率的范围.
例2.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求.
例3.已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程为
A． B. C. D.
四．练习题
1．已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）
A． B． C．6 D．
3．已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )
A． B．
C． D．
4．分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点．若为等边三角形，则的面积为（ ）
A．8 B． C． D．16
5．已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．2 D．
6．斜率为2的直线 过双曲线 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知双曲线：及直线：
（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；
（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数值.
8．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点，
（1）求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的取值.
第4课：双曲线的离心率计算
一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.
二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法.
三：典例分析：
例1. 已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心率.
【变式】
1. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为______
2. 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
例2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【变式】1.设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________（）.
2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B．2 C． D．
例3．已知点分别为双曲线的左右焦点，直线是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点，点在上的射影为，使得成立，求双曲线离心率的取值范围.
四．练习题
1．已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，点是双曲线上的一点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
3．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P
满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是
A． B．
C． D．
6．设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点,若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线的左、右点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于两点，若，则C的离心率为______.
12．过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为__________．
13．已知双曲线：，过双曲线的右焦点作的渐近线的垂线，垂足为，延长与轴交于点，且，则双曲线的离心率为__________．
第3章：抛物线与方程
第1课：抛物线的标准方程
一． 学习目标
1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.
2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题.
4. 进一步体会数形结合的思想方法.
二． 知识梳理
1.抛物线定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.
（1）.定义可归结为”一动三定”：一个动点设为；一定点(即焦点)；一定直线(即
准线)；一定值1（即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为1）.
（2）.定义中的隐含条件：焦点不在准线上。若在上，抛物线退化为过且垂直于的一条直线。
（3）.抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
2.抛物线标准方程：
（1），焦点：，准线；
（2），焦集点：，准线；
（3），焦点：，准线；
（4），焦点：，准线.
三．典例分析
例1.根据下列条件，求抛物线的标准方程：
（1)焦点为（一2，0）； （2）准线为；
（3）焦点到准线的距离是4； （4）过点（1，2）.
例2. 若动圆与圆（外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A. B. C. D.
【变式】 已知圆与定直线，且动圆和圆外切并与直线相切，求动圆的圆心的轨迹方程.
例3.已知抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到轴的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【变式】过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，如果，则线段的中点到准线的距离等于（ ）
A． B． C． D．
例4. 已知抛物线，点是抛物线上的动点，点的坐标为（12，6）.求点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值.
【变式】 定长为5的线段的两个端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离.
四．练习题
1．已知，点P为抛物线上一动点，点P到直线的距离是，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．3
2．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．若动点到点的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（ ）
A．2028 B．2038 C．4046 D．4056
7．已知P为抛物线上的任意一点，记点P到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线，是抛物线上一点，为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11.试在抛物线上求一点，使到点与到焦点的距离之和最小.
第2课：抛物线的几何性质
一. 知识梳理
1.几何性质
标准方程
图象
性
质
焦点
准线
范围
轴
轴
顶点
离心率
开口方向
向右
向左
类型
图象
类型
性
质
焦点
准线
范围
对称轴
轴
顶点
离心率
开口方向
向上
向下
2. 直线与抛物线位置关系
将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；
若
①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点；
②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．
三．典例分析
例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公
共弦长等于，求这条抛物线的方程.
例2.讨论：过定点的直线与抛物线的交点个数.
【变式】过点作抛物线的弦，恰好被所平分，求弦所在直线的方程.
例3.设抛物线：的焦点为，是上的点．
（1）求的方程；
（2）若直线：与交于，两点，且，求的值．
四．练习题
1．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A． B． C． D．
2．已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与抛物线相交于，两点，为的焦点，若，则点到抛物线的准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为抛物线的焦点， 为抛物线上三点，当时，_________.
7．已知抛物线：上一点到焦点距离为1，
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点与抛物线交于两点，若，求直线的方程．
8．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB|．
9．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是y轴，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的纵坐标为2，且.（1）求抛物线的标准方程；
（2）设抛物线的焦点为，若直线经过焦点，求直线的方程.
第3课：抛物线的焦点弦
1.学习目标.
(1).应用抛物线的定义，能够推导出焦点弦的常见性质.
(2).利用焦点弦的常用性质，在不同情境之中准确解决相关问题，进一步体会设而不求，整体代入的基本思想.
2.知识梳理:
(1).抛物线弦长计算的基本方法:设A(),B()
弦长=
=
若直线的斜率存在，假设直线方程为，代入，消去并化简整理得到：
，，最后利用韦达定理，代入弦长公式即可解得弦长.
(2).由于，故，
所以有：.
3.典例分析
案例分析.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，求线段的长度.
方法1.(弦长公式).
方法2.(抛物线定义).注意到直线经过抛物线的焦点，即焦点弦.
抛物线的焦点弦具有丰富的性质，它是对抛物线定义的进一步考察，也是抛物线这节中最重要的考点之一，下面罗列出常见的抛物线焦点弦性质:
性质1.,.
性质2.已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则.
性质3.抛物线的通径
(1).通径长为.
(2).焦点弦中，通径最短.
(3).通径越长，抛物线开口越大.
性质4.
性质5.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则.
性质6.以焦点弦为直径的圆与准线相切.
性质7.抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
四.练习题
1．设抛物线，过焦点作倾斜角为30°的直线交于两点，则（ ）
A． B．16 C．32 D．
2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则 ( )
A．9 B．6 C．7 D．8
3．已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )
A． B． C． D．
4．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．
5．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，以、为直径的圆分别与轴相切于点，，则（）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且，则直线的斜率为
A． B． C． D．
9.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
10．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，弦的中点到抛物线的准线的距离为5，线段的长度为_________.
11.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
12．已知抛物线：的焦点为，准线方程是.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求；
（3）设点在抛物线上，且，求的面积（为坐标原点）.
13．已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．
（1）求的方程；
（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．
14．已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．
（1）证明：坐标原点在圆上；
（2）设圆过点 ，求直线与圆的方程．
微专题1. 圆的双切线模型
圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 尽管如此，在实际应用中，学生对该模型中的相关几何结论的理解和使用仍然显得办法不多，因此，本文将系统的梳理一下圆的双切线模型中的常见结论及应用，希望提升同学们对这类问题的解决能力.
如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质：
1.；.
2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小.
3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）.
4.平分.
5.，当半径给定，四边形最小等价于最小.
6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得：
.对使用均值不等式可得最小值.
图1
7.假设，圆的方程为（）
则切点弦的方程为：.
可以看到，该模型中的很多几何量最终都可以建立为的函数从而求得最小值，这是应该注意的地方.下面我们将通过几个例子详细展示圆的双切线模型在高考以及模考中的应用，进一步体会相关结论的用途.
例1. 若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解析：考察性质5.
因为直线与圆相切，所以，且
所以四边形面积，
又，
所以当最小时，最小，四边形面积的最小值，
由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，
所以，所以
所以四边形面积的最小值，故选：B
例2.已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A． B． C． D．
解析：考察性质6.
如图所示：设，则
所以当且仅当时取“=”，故最小值为.
例3.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
解析：综合考察性质3，5,7.
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
我们在平时解析几何的教学与备考中，应该更加深入地总结出一些常见常考的解析几何模型及应用，这样就更好地展示出了解析几何的生命力，使得学生可以从几何与代数多角度来研究问题，提高学生的数学素养.
练习题.
1．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．设为圆外一点，过引圆的切线，两切点分别为和，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，，，为切点.若的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
微专题2：椭圆的极点极线结构与应用
二，预备知识
此处先给出一些调和点列，完全四边形，极点与极线的常见结论.
1.调和点列[1]
直线上依次四点若满足则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别，若在无穷远处，则，即此时为中点.
2.完全四边形及调和性[1]
两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个顶点所构成的图形.
性质1[1]. 如图1，完全四边形中，设两两相交于，那么，与与成调和点列.
3.极点与极线[2]
如图2，若点在曲线内，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，交于点,则直线即为点所对应的极线.以椭圆为例，假设椭圆方程为，常见的一组极点和极线是点与直线，特别的，当点为椭圆的右焦点时，所对应的极线是. 如图2，此时是一个完全四边形.
图1 图2
三，问题证明与推广
此处仅直线斜率不为零的情况. 由预备知识，点的极线就是准线，如图3，假设直线与椭圆交于点，根据极点极线的定义，过的两条割线与，则是一个完全四边形，直线是关于椭圆的极线. 假设与极线交于点，根据完全四边形的性质，成调和点列，即，显然，平行于，即点在无穷远处，根据调和点列的性质，此时，故，即为的中点，证毕.
图3
这样，此题便从极点与极线的高观点下完成了证明，可以看到，上述证明过程中深刻地展现出了此问题背后的几何关系，也反映了试题的本源. 从这样的证明过程可以明显的看到，由于割线与准线的平行，所以导致了结论的出现. 因此，可以对此题目做一次推广，即
性质2 .已知椭圆 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
当然，此性质还可以推广到双曲线和抛物线，我们给出如下结论：
性质3. 已知双曲线 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
性质4. 已知椭圆 内一点，过点做直线与椭圆交于两点，已知，直线分别交直线于，则恰为线段的中点.
微专题3：斜率和与斜率乘积的定点定值
一．基本结论：设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
（1） 若，则有，
（2） 若，则直线过定点，
（3） 若，则有，
（4） 若，则直线过定点.
二．应用
1．已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
2.（2017高考）
已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线不经过点且与相交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
3.（2020山东）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在上，且，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.
5．如图，椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值．
6．已知平面内的两点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率乘积为，设点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设是与轴正半轴的交点，过点作两条直线分别与交于点，若直线斜率之积为，求证：直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.
参考答案
1．（1）抛物线的焦点为，
，，，，，椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，，
，即
整理得：代入①得：
到的距离
综上：为定值.
2．解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
3．【详解】（1）由已知得，l的方程为.
由已知可得，点的坐标为或.
所以的方程为或.
（2）当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故、的倾斜角互补，所以.
综上，.
4．【详解】
(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
(2)设点.
因为AM⊥AN，∴，即,①
当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1.
代入椭圆方程消去并整理得：,
②,
根据,代入①整理可得：
将②代入，，
整理化简得,
∵不在直线上，∴，
∴，
于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点.
当直线MN的斜率不存在时，可得,如图2.
代入得,
结合,解得,
此时直线MN过点,
由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）.
由于，故由中点坐标公式可得.
故存在点，使得|DQ|为定值.
5．【详解】
解：（1）由题设知：，，结合，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由题设知：直线的方程为，代入，
得：，
由已知，设，，
则，，
从而直线的斜率之和为
.
6．【详解】
解：（1）设，由题得，化简得，
经检验所求方程为
（2）由题知，
设直线方程为，设，
联立消去化简得，
由，化简得，
且，由题得，
整理得，
代入整理得：，解得或（舍），
所以直线过点.
微专题4：抛物线的阿基米德三角形
（2021全国乙卷21）已知抛物线的焦点，且与圆上的点的最短距离为.
（1）求；
（2）若点在上，为的切线，切点为，求面积的最大值.
解：（1）（过程略）.
（2）假设，，则切线：，切线
，最后将点分别代入上面方程中可得：①，这表明的方程为：.那么联立与抛物线方程可得：，则
，那么，设到直线的距离为，则. 故.由于点在圆上，故，代入上式得：，故当时，.
如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1.直线过抛物线的焦点.
证明：参见下面的例1.
结论2.直线的方程为.
证明：参见下面的例1.也可由极点与极线得到.
进一步，设：，
则.
则，显然由于过焦点，代入可得.我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系.
上述结论的逆向也成立，即：
结论3.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：.这就证明了该结论.
结论4..
证明：由结论3，，.那么.
结论5..
证明：,则.由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上.且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴.
例2（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB过定点：
（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明：设,,则．又因为，所以.
故，整理得.
设，同理得.
,都满足直线方程.
于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，
当时等式恒成立．所以直线恒过定点.
（2）由（1）得直线的方程为.
由，可得，
于是
.
设分别为点到直线的距离，则.
因此，四边形ADBE的面积.
设M为线段AB的中点，则，
由于，而，与向量平行，所以，解得或.
当时，；当时
因此，四边形的面积为3或.
练习题
1．已知抛物线：，过点作抛物线的两条切线，，，为切点，若直线经过抛物线的焦点，则抛物线的方程为（ ）结论1
A． B． C． D．
2．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（ ）结论2
A． B．2 C．4 D．
3．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，设其中一个切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4.已知点，直线过抛物线的焦点且交抛物线于两点，且恰好与抛物线相切，那么线段的中点坐标为_______.结论6
5.已知点，直线过抛物线的焦点且斜率为并交抛物线于两点，若，则_______.结论5
微专题5：平面几何的几个定理
1.梅涅劳斯定理：一直线与的三边、、或它们的延长线交于、、，则
练习用其它方式证明，此证法来源于张景中院士，共边定理，此外，梅涅劳斯定理的逆定理也成立，并常用来证明三点共线，梅涅劳斯定理则常用于求比例值。
2 塞瓦定理
塞瓦定理分为边元塞瓦和角元塞瓦定理
边元塞瓦定理：、、分别是的边、、上的点，且、、交于点，则
同样，塞瓦定理的逆定理也成立，并常用来证明三线共点。
角元塞瓦定理：条件同上，有
证明：, 联立相乘即可。
注：塞瓦定理与梅涅劳斯定理常一起搭配使用。
例1.（2021四川预赛）
3 关于切线和割线（圆幂定理）
（1） 为圆切线
证明方法如右图所示
（2） 切割线定理：
当然有割线定理：
（3） 相交弦定理：
（4）圆幂定理：过一定点向任作一直线，交于两点，则自定点到两交点的线段之积为常数
圆幂：叫做定对的幂。
（5）
例2.（2021新课标1卷）在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点，且满足
，求直线与的斜率之和.
微专题6：彭赛闭合定理与双切线的处理
彭赛列闭合定理：平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.
特别地，当封闭多边形的边数等于时，即内接一条圆锥曲线，内切一条圆锥曲线，这就是2021年甲卷解析几何试题的命题背景.
2021全国甲卷20）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于两点，且. 已知点，且⨀与相切.
（1）求，⨀的方程；
（2）设是上的三个点，直线均与⨀相切，判断直线与⨀的位置关系，并说明理由.
解析：（1）的方程为；⨀：.
（2）直线与⨀相切.
例2（2020成都三诊）．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.
（Ⅰ）∵椭圆的左焦点，∴.
将代入，得.
又，∴，.
∴椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）（i）设点.
①当直线，的斜率都存在时，设过点与椭圆相切的直线方程为.
由，消去，
得.
.
令，整理得.
设直线，的斜率分别为，.∴
又，∴.
∴，即为圆的直径，∴.
②当直线或的斜率不存在时，不妨设，
则直线的方程为.
∴，，也满足.
综上，有.
（ii）设点，.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由，消去，得.
.
令，整理得.
则
∴直线的方程为.
化简可得，即.
经验证，当直线的斜率不存在时，
直线的方程为或，也满足.
同理，可得直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.
∴直线的方程为.
由，消去，得.
∴，.
∴
.
又点到直线的距离.
∴.
令，.则.
又，∴的面积的取值范围为.
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