高中人教A版 (2019)3.1 椭圆课时作业

课时跟踪检测（二十二）  椭圆的简单几何性质

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．   D．

解析：选C　∵a2＝4＋22＝8，

∴a＝2，∴e＝＝＝.

2．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)

A．a2＝2b2  B．3a2＝4b2

C．a＝2b  D．3a＝4b

解析：选B　因为椭圆的离心率e＝＝，

所以a2＝4c2.

又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.

3．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)

A．＋＝1   B．＋y2＝1

C．＋＝1  D．x2＋＝1

解析：选A　依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.

4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋y2＝1

解析：选C　依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是＋＝1.故选C.

5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是(　　)

A．   B．

C．   D．

解析：选D　∵＝2，∴||＝2||.

又∵PO∥BF，∴＝＝，

即＝，∴e＝＝.

6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，则该椭圆的离心率是________；△ABF2的周长是________．

解析：由题意得a＝2，c2＝a2－b2＝2，∴e＝＝.

△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.

答案：　8

7．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．

解析：如图，AB＝2c＝4，

∵点C在椭圆上，

∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，

∴e＝＝＝.

答案：

8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为_________.

解析：由题意，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则有＋＝1，解得y＝3，因为＝(x0＋1, y0)，＝(x0, y0),

所以·＝x0(x0＋1)＋y

＝x0(x0＋1)＋3＝＋x0＋3，

此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0＝－2，

因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.

答案：6

9．求经过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．

解：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．

解：椭圆方程可化为＋＝1，

由m>0，易知m>，

∴a2＝m，b2＝.

∴c＝＝ .

由e＝，得 ＝，解得m＝1，

∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.

∴a＝1，b＝，c＝.

∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，

两焦点坐标分别为F1，F2，

顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.

1．[多选]若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值可能为(　　)

A．－21  B．21

C．－   D.

解析：选BC　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝9，b2＝4＋k，得c2＝5－k.由＝＝，得k＝－；

当焦点在y轴上时，a2＝4＋k，b2＝9，得c2＝k－5.

由＝＝，得k＝21.

2．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则实数m的取值范围是(　　)

A．∪   B．

C．   D．

解析：选A　在椭圆x2＋my2＝1中，当0<m<1时，a2＝，b2＝1，c2＝a2－b2＝－1，所以e2＝＝＝1－m，又<e<1，所以<1－m<1，解得0<m<；当m>1时，a2＝1，b2＝，c2＝1－，e2＝＝1－，又<e<1，所以<1－<1，解得m>，综上可知，实数m的取值范围是∪.

3．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道分为三个阶段：绕地阶段、变轨阶段、绕月阶段，绕地阶段时的运行轨道是以地心F1为一个焦点的椭圆，近地点A离地面的距离为m，远地点B离地面的距离为n，地球的半径为R，则卫星运行轨道的短轴长为________________．

解析：∵“嫦娥一号”探月卫星的运行轨道是以地心F1为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则|AF1|＝a－c，|BF1|＝a＋c，∴

又b2＝a2－c2＝2－2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝，

∴短轴长为2b＝2.

答案：2

4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

解：(1)不妨设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，

|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.

在△PF1F2中，由余弦定理可知，

4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn

＝4a2－3mn≥4a2－3·2

＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．

所以≥，即e≥.

又0＜e＜1，所以e的取值范围是.

(2)证明：由(1)知mn＝b2，

所以S△PF1F2＝mnsin 60°＝b2，

即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．

5．设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为1的直角三角形．

(1)求该椭圆的离心率和标准方程；

(2)点M为该椭圆上任意一点，求|MA|的取值范围．

解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．

因为△AB1B2是直角三角形，|AB1|＝|AB2|，

所以∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得b＝，

结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，

所以离心率e＝.

在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.

由题设条件S△AB1B2＝1得b2＝1，从而a2＝5b2＝5，

因此所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知A(0,1)．设点M的坐标为(x0，y0)，

因为点M为椭圆上任意一点，代入椭圆方程得x＝5－5y.

所以|MA|2＝x＋(y0－1)2＝－4y－2y0＋6

＝－42＋，

因为－1≤y0≤1，所以0≤|MA|2≤.

所以|MA|的取值范围为.