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高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 章末复习 教案
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第三章 圆锥曲线的方程 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 椭圆的标准方程、简单的几何性质例1（1）已知为椭圆：的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【解析】由已知，，因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，由椭圆定义得，又所以， 解得，所以四边形面积.【答案】例1（2）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .【解析】方法一：设过点的直线方程为：当斜率存在时，，即由题意，，由，切点为，又当斜率不存在时，直线方程为，切点为，故直线,则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为焦点，，即椭圆方程为 方法二：（数形结合）设点，则有直线，作图分析可得，又切点故直线，即，则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为右焦点，，故 椭圆方程为 【答案】例1（3）已知椭圆,直线为圆的一条切线，记椭圆的离心率为．若直线的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则的大小为__________.【解析】如图，设直线与圆相切于点，椭圆的右顶点为，则由题意，知为直角三角形，且【答案】例1（4）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是_____________.【解析】由已知由椭圆的几何性质知，，所以，即又，所以．【答案】重点2 双曲线的标准方程、简单的几何性质例2（1）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．【解析】如图，设动圆半径为动圆同时与圆及圆分别外切于，又两圆外切，所以,所以动点的轨迹为双曲线的左支, 其中所以点的轨迹方程为, 故选 D例2（2）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，，因为,由余弦定理 ，，解得，所以，故选A例2（3）设、分别为双曲线的左、右焦点.若双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【解析】如图，过作于，由题意知则而 ，则 双曲线的渐近线方程为，即，故选C例2（4）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A．2 B． C． D．【解析】由已知，双曲线渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，点到直线的距离，即，解得，所以，故选A 重点3 抛物线的标准方程、简单的几何性质例3（1）动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【解析】点在直线上，所以到点和直线的距离相等的点一定在过点，且与直线垂直的直线上．故选D例3（2）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到y轴的距离为（ ）A． B．1 C． D．【解析】设，由抛物线定义，得，所以，故线段的中点到轴的距离为，故选C例3（3）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，由抛物线的对称性可知，所以，代入抛物线方程，所以，焦点坐标为，故选B.例3（4）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．如果直线的斜率为，那么（ ）A. B. 8 C. D. 16【解析】方法一：抛物线的焦点，直线AF的方程为，所以得点、，从而，故选B方法二： 如图，轴，又， 又由抛物线定义得为等边三角形，令与轴的交点为，则在中，，故选B二、拓展思维，熟知方法重点4 直线与圆锥曲线的位置关系例4（1）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【解析】（1）设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或. 由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以，又，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.例4（2）已知椭圆设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．【解析】设 （1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知由，整理得 当时，上式当且仅当，即时等号成立当时，，综上所述，，此时，例4（3）已知椭圆若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【解析】设，由 得 ， （1） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，, 即 ，即，解得，且满足.当时，有，直线过定点与已知矛盾；当时，有，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为例4（4）已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】方法一：(方程组法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，由题意，设由，设，的中点为，则 ， ①，又点在直线上，代入①解得 ，为所求方法二：(点差法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则 , 又 ①又点在直线上， ② 解得在椭圆内，，为所求三、感悟问题，提升能力1. 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由 得 ① 依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故 ，解得 所以实数的取值范围为（2）设则由①可得 ， ②假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 ，所以，所以 将及②代入，得 解得 或（舍去）因此存在，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点.2. 抛物线的顶点为坐标原点．焦点在x轴上，直线交于两点，且．已知点，且与l相切．（1）求，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【解析】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径，所以的方程为（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上，若直线与圆相切，则直线与圆相切.
第三章 圆锥曲线的方程 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 椭圆的标准方程、简单的几何性质例1（1）已知为椭圆：的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【解析】由已知，，因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，由椭圆定义得，又所以， 解得，所以四边形面积.【答案】例1（2）若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .【解析】方法一：设过点的直线方程为：当斜率存在时，，即由题意，，由，切点为，又当斜率不存在时，直线方程为，切点为，故直线,则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为焦点，，即椭圆方程为 方法二：（数形结合）设点，则有直线，作图分析可得，又切点故直线，即，则与轴的交点即为上顶点坐标，与轴的交点即为右焦点，，故 椭圆方程为 【答案】例1（3）已知椭圆,直线为圆的一条切线，记椭圆的离心率为．若直线的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，则的大小为__________.【解析】如图，设直线与圆相切于点，椭圆的右顶点为，则由题意，知为直角三角形，且【答案】例1（4）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是_____________.【解析】由已知由椭圆的几何性质知，，所以，即又，所以．【答案】重点2 双曲线的标准方程、简单的几何性质例2（1）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A． B． C． D．【解析】如图，设动圆半径为动圆同时与圆及圆分别外切于，又两圆外切，所以,所以动点的轨迹为双曲线的左支, 其中所以点的轨迹方程为, 故选 D例2（2）已知是双曲线的两个焦点，为上一点，且，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，，因为,由余弦定理 ，，解得，所以，故选A例2（3）设、分别为双曲线的左、右焦点.若双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【解析】如图，过作于，由题意知则而 ，则 双曲线的渐近线方程为，即，故选C例2（4）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）A．2 B． C． D．【解析】由已知，双曲线渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，点到直线的距离，即，解得，所以，故选A 重点3 抛物线的标准方程、简单的几何性质例3（1）动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【解析】点在直线上，所以到点和直线的距离相等的点一定在过点，且与直线垂直的直线上．故选D例3（2）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到y轴的距离为（ ）A． B．1 C． D．【解析】设，由抛物线定义，得，所以，故线段的中点到轴的距离为，故选C例3（3）设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，由抛物线的对称性可知，所以，代入抛物线方程，所以，焦点坐标为，故选B.例3（4）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．如果直线的斜率为，那么（ ）A. B. 8 C. D. 16【解析】方法一：抛物线的焦点，直线AF的方程为，所以得点、，从而，故选B方法二： 如图，轴，又， 又由抛物线定义得为等边三角形，令与轴的交点为，则在中，，故选B二、拓展思维，熟知方法重点4 直线与圆锥曲线的位置关系例4（1）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【解析】（1）设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或. 由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故所以，又，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.例4（2）已知椭圆设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．【解析】设 （1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．由已知由，整理得 当时，上式当且仅当，即时等号成立当时，，综上所述，，此时，例4（3）已知椭圆若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．【解析】设，由 得 ， （1） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，, 即 ，即，解得，且满足.当时，有，直线过定点与已知矛盾；当时，有，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为例4（4）已知椭圆：在椭圆上是否存在两点关于直线对称，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】方法一：(方程组法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，由题意，设由，设，的中点为，则 ， ①，又点在直线上，代入①解得 ，为所求方法二：(点差法) 设椭圆上存在两点关于直线对称，的中点为，则 , 又 ①又点在直线上， ② 解得在椭圆内，，为所求三、感悟问题，提升能力1. 已知直线与双曲线的右支交于不同的两点（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）由 得 ① 依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，故 ，解得 所以实数的取值范围为（2）设则由①可得 ， ②假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点，则 ，所以，所以 将及②代入，得 解得 或（舍去）因此存在，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点.2. 抛物线的顶点为坐标原点．焦点在x轴上，直线交于两点，且．已知点，且与l相切．（1）求，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【解析】（1）依题意设抛物线，，所以抛物线的方程为，与相切，所以半径，所以的方程为（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，与圆相切，，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上，若直线与圆相切，则直线与圆相切.
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