高中数学3.2 双曲线当堂检测题

课时跟踪检测（二十五）  双曲线的简单几何性质

1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于(　　)

A．   B．

C．2  D．4

解析：选D　双曲线x2－my2＝1的实轴长为2，虚轴长为2，由双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，可得2＝4，解得m＝4.

2．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)

A．  B．2

C．  D．2

解析：选D　∵e＝＝＝，∴＝1.

∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.

∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝＝2.

3．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　)

A．－＝1   B．－＝1

C．－＝1   D．－＝1

解析：选D　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，

即－＝1.

4．斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．(1，)  D．(，＋∞)

解析：选D　因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以>，

所以e＝＝ >.

所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．

5．已知双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是(　　)

A．(－12,0)  B．(－∞，0)

C．(－3,0)  D．(－60，－12)

解析：选A　显然m<0，所以a2＝4，b2＝－m，c2＝a2＋b2＝4－m，

因为e∈(1,2)，所以e2∈(1,4)，所以＝∈(1,4)，所以m∈(－12,0)．

6．焦点为(0,6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________.

解析：由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为－y2＝λ(λ<0)，所以－＝1.所以－λ－2λ＝36，所以λ＝－12.故双曲线方程为－＝1.

答案：－＝1

7．若直线y＝x－4与双曲线－＝1相交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：将直线方程y＝x－4代入－＝1，整理得2x2－24x＋57＝0，则有x1＋x2＝12，x1·x2＝.由弦长公式得|AB|＝·＝·＝2.

答案：2

8．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝________.

解析：由渐近线方程可知双曲线为等轴双曲线，所以b2＝2，所以双曲线方程为－＝1，代入点P的坐标可得y＝1，由c＝2可知，F1(－2,0)，F2(2,0)．所以·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝0.

答案：0

9．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|＝10，求|PF2|.

解：(1)由题意知，2a＝6，＝，解得a＝3，c＝5，

故b＝＝4.

所以双曲线C的标准方程为－＝1.

(2)因为a＋c＝8，|PF1|＝10＞8，所以点P可能在双曲线的左支上也可能在双曲线的右支上．

①若点P在双曲线的左支上，

则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝16;

②若点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝4.

综上，|PF2|＝16或4.

10．双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率．

解：由l过两点(a,0)，(0，b)，

设l的方程为bx＋ay－ab＝0.

由原点到l的距离为c，得＝c.

将b＝代入，平方后整理，得

162－16×＋3＝0.令＝x，

则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.

因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.

因为0<a<b，故e＝＝＝ >，

所以离心率e为2.

1．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A．2sin 40°  B．2cos 40°

C．   D．

解析：选D　由题意可得－＝tan 130°，

所以e＝＝＝

＝＝.

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)

A．  B．3

C．2  D．4

解析：选B　法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x．设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN⊥ON，如图所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，则|ON|＝.

在Rt△OMN中，

|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.故选B.

法二：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2,0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，

由得

所以M，所以|OM|＝ ＝，

所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.

3．(2020·郑州一中月考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线上，且异于A，B两点．O为坐标原点，若直线PA，PB的斜率之积为，则双曲线的离心率为________．

解析：由题意设A(－a,0)，B(a,0)，P(x，y)，

由点P在双曲线上，得－＝1，即＝，

由kPA·kPB＝，得·＝＝.

所以＝.

所以该双曲线的离心率e＝ ＝.

答案：

4．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．

(1)求双曲线的离心率；

(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．

解： (1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx，则＝4，解得k＝.

若双曲线焦点在x轴上，则＝，e＝；

若双曲线焦点在y轴上， 则＝，e＝，

故所求双曲线的离心率为e＝或e＝.

(2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)，

由PF1⊥PF2，得·＝0，

所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，即c＝5，

由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25，所以a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.

5. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线C的方程为

－＝1(a>0，b>0)，

由已知得a＝，c＝2.

又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，

故双曲线C的方程为－y2＝1.

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k2≠且k2<1.        ①

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)

＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2

＝(k2＋1)·＋＋2＝，

于是>2，解此不等式得<k2<3.        ②

由①②得<k2<1.

故k的取值范围是∪.