2021学年1.2 空间向量基本定理习题

课时跟踪检测（三）  空间向量基本定理

1．已知{a，b，c}是空间一组基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是(　　 )

A．a　　　　　　　　　 B．b

C．c   D．p－2q

解析：选C　因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面．

2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p q，q⇒p.

3．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是(　　 )

A．＝＋＋

B．＝＋

C．＝＋＋

D．＝2－

解析：选C　对于选项A，由＝x ＋y ＋z  (x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B、D，易知，，共面，故选C.

4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　 )

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

解析：选C　根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.

5．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则=(　　 )

A．a－b＋c  B．－a＋b＋c

C．a＋b－c   D．a＋b－c

解析：选B　＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.

6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，b的关系是__________.

解析：∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0，

∴a⊥b.

答案：a⊥b

7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.

解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，

于是有解得

答案：2　－2

8.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{，，}为基底，则＝________.

解析：＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－－＋.

答案：－－＋

9.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.

(1)试用a，b，c表示向量；

(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．

解：(1)＝＋＋

＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)

＝a＋b＋c.

(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c

＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，

∴|a＋b＋c|＝，

∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.

10．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)试用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋z c，求实数x，y，z的值．

解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)＝(－＋)

＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，

∴x＝，y＝－，z＝－1.

1．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　 )

A．－1  B．0

C.   D. 1

解析：选C　因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.

2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：选C　如图，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.

由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.

3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ e2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________.

解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，

∴e1，e2，e3为不共面的向量．

又∵λe1＋μ e2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，

∴λ2＋μ2＋v2＝0.

答案：0

4.如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.

(1)证明：A，E，C1，F四点共面；

(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值.

解：(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝＋，

所以A，E，C1，F四点共面．

(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，

所以x＝－1，y＝1，z＝，

所以x＋y＋z＝.

5．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．

解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k

＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.

∵{i，k，j}是一组基底，

∴i，j，k不共面．

∴解得

故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．