高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化测试题，共4页。

1．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1)上的图象，则f(2 020)＋f(2 021)＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
2．f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝( )
A．－5 B．－eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5) D．5
3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝( )
A．5.5 B．－5.5
C．－2.5 D．2.5
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
5．设f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.
6．如图是一单摆，摆球从点B到点O，再到点C用时1.6 s(不计阻力)．若从摆球在点B处开始计时，经过1 min后，请估计摆球相对于点O的位置．
[提能力]
7．[多选题]给出定义：若m－eq \f(1,2)A．y＝f(x)的定义域是R，值域是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
B．点(k,0)是y＝f(x)的图象的对称中心，k∈Z
C．函数y＝f(x)的周期为1
D．函数y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上是增函数
8．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋a，－1≤x<0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－x))，0≤x<1))a∈R，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))，则f(5a)的值是________．
9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
[战疑难]
10．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，则称函数y＝f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y＝f(x)的“似周期”．现有下面三个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y＝f(x)的“似周期”为－1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f(x)＝x是“似周期函数”；
③函数f(x)＝2－x是“似周期函数”；
其中是真命题的有________(填满足条件的序号)．
课时作业1 周期变化
1．解析：由图象知f(1)＝1，f(－1)＝2，
由题意知f(2 020)＋f(2 021)＝f(3×673＋1)＋f(3×673＋2)
＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(－1)＝1＋2＝3.故选A.
答案：A
2．解析：∵f(x＋2)＝eq \f(1,fx)，∴f(x＋4)＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,\f(1,fx))＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的函数
∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
又f(－1)＝eq \f(1,f－1＋2)＝eq \f(1,f1)＝－eq \f(1,5)，故选B.
答案：B
3．解析：∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，
∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝－eq \f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的一个周期为4.
∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(5.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5，∴故选D.
答案：D
4．解析：f(x)的图象如图，当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)，
故x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.
答案：C
5．解析：由题意可知f(8)＝f(8－10)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(14)＝f(14－15)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
∴f(8)－f(14)＝－2－(－1)＝－1.
答案：－1
6．解析：由题意知，该摆球摆一个来回需用时3.2 s，
因为1 min＝60 s＝(18×3.2＋2.4) s，而2.4 s－1.6 s＝0.8 s，
所以1 min后摆球在点O处．
7．解析：由题意知，{x}－eq \f(1,2)答案：AC
8．解析：∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－\f(1,2)))＝eq \f(1,10)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,2)＋a，
∴－eq \f(1,2)＋a＝eq \f(1,10)，解得a＝eq \f(3,5)，
∴f(5a)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋eq \f(3,5)＝－eq \f(2,5).
答案：－eq \f(2,5)
9．解析：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2
又f(x)是奇函数
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)
又f(x)是周期为4的周期函数
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
故当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
10．解析：若函数y＝f(x)的“似周期”为－1，则f(x－1)＝－f(x)＝f(x＋1)，即它是周期为2的周期函数，①正确；若f(x)＝x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x∈R满足f(x＋T)＝x＋T＝Tf(x)＝Tx，显然不可能，②错误；若f(x)＝2－x是“似周期函数”，则存在非零常数T，对任意x∈R满足f(x＋T)＝2－(x＋T)＝Tf(x)＝T·2－x，即2－T＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))T＝T，而已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，y＝x的图象有一个交点，即非零常数T存在，所以③正确．
答案：①③