八年级上册 数学 第十一章 专题11.4 三角形角度的计算（挑战压轴）（含解析）

（挑战压轴）专题11.4 三角形中角度的计算
【直击考点】

【模型梳理】
【类型一 “8字形”】

【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【类型二 “飞镖形”】



【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【类型三 “风筝形”】

【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P
【典例分析】
【考点1 “8字形”】
【典例1】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．








【变式1-1】如图所示，∠α的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式1-2】如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【变式1-2】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　 　 （用α、β表示∠P，不必证明）


【变式1-4】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是　 　；
（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝　 　；
（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
（4）如图4，如果∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数．











【考点2 “飞镖型”】
【典例2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．


【变式2-1】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．15° C．30° D．25°
【变式2-2】如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACD的度数．


【变式2-3】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．


【考点3 “风筝型”】
【典例3】探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 　
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系
是 　
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．



【变式3-1】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．40° B．80° C．90° D．140°
【变式3-2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
【变式3-3】（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置时，你能求出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．



【变式3-4】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
【课后巩固】
1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（　　）

A．33° B．23° C．27° D．37°
2．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　）

A．180° B．90° C．270° D．240°
3．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．42° B．46° C．52° D．56°
4．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．32° B．45° C．60° D．64°
5．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°
6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　°．

7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°．

8．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．





9．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．

10．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：

（1）在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 　 　．
（2）在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
（3）在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
（4）如图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　 　．






11．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．


12．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD＝∠B﹣∠D；
（2）将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由；
（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；
（4）在图4中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n×90°，则n＝　　．




（挑战压轴）专题11.4 三角形中角度的计算答案
【直击考点】

【模型梳理】
【类型一 “8字形”】

【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【类型二 “飞镖形”】



【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【类型三 “风筝形”】

【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P
【典例分析】
【考点1 “8字形”】
【典例1】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；
②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；
③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；
④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；
⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；
⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6个，
故答案为：6；

（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；

（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．

【变式1-1】如图所示，∠α的度数是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，
∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D
∴30°+20°＝40°+α，
∴α＝10°
故选：A．

【变式1-2】如图1我们称之为“8字形”，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　 　度
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°．
（3）∠1+∠D＝∠P+∠3①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
如图3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
①+②得：
∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．

【变式1-2】【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　 　 （用α、β表示∠P，不必证明）

【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：，
①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D
∴∠P＝（∠B+∠D）＝26°．
（3）如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD 的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P＝（∠B+∠D）＝×（36°+16°）＝26°；
（4）∠P＝α+β；
故答案为：∠P＝α+β．
【变式1-4】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是　 　；
（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝　 　；
（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；
（4）如图4，如果∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数．

【解答】解：（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，设∠PCD＝x，∠ADP＝y，
∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，
∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，
∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，
∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，
∴∠COD＝2∠P，
∵∠COD+∠A+∠B＝180°，
∴2∠P+∠A+∠B＝180°，
∴∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；
故答案为：90°﹣（∠A+∠B）；
（3）如图3，延长CM、DN交于点P，
由（2）知：∠P＝90°﹣（∠A+∠B），
∵∠A+∠B＝80°，
∴∠P＝50°，
∴∠PMN+∠PNM＝130°，
∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；
（4）如图4，延长CM、DN交于点P，
设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，
同理得：∠P＝y﹣x，
∠COD＝3y﹣3x，
∴∠COD＝3∠P，
∴3∠P+∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠B＝n°，
∴∠P＝，
∴∠PMN+∠PNM＝180°﹣＝120n°，
∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120n°）＝240°﹣n°．


【考点2 “飞镖型”】
【典例2】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，将点P移到AB、CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；
（3）根据（2）的结论求图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．

【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D．
延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；

（2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
连接QP并延长，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；

（3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．


【变式2-1】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．15° C．30° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
【变式2-2】如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，求∠ACD的度数．

【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝25°+45°＝70°．
【变式2-3】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　50　°．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．

【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
过点A、D作射线AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案为：50；
②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．

【考点3 “风筝型”】
【典例3】探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于 　 　
A.90°B.135°C.270° D.315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系
是 　
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．
【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故选C；

（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，
故答案是：220°；

（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A；

（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF
∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF
∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【变式3-1】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．40° B．80° C．90° D．140°
【答案】B
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，
则∠1﹣∠2＝80°．
故选：B．

【变式3-2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．2∠A＝∠1﹣∠2 B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）
C．3∠A＝2∠1﹣∠2 D．∠A＝∠1﹣∠2
【答案】A
【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠3＝（180°﹣∠1），
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，
∠CED＝∠3+∠A，
∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，
∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，
整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，
∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，
∴2∠A＝∠1﹣∠2．
故选：A．

【变式3-3】（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A′的位置时，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置时，你能求出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的数量关系吗？并说明理由．

【解答】解：（1）如图，根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），
∵∠A+∠3+∠4＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1+∠2；


（2）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180+∠2），
∵∠A+∠3+∠4＝180°，
∴∠A+（180﹣∠1）+（180+∠2）＝180°，
整理得，2∠A＝∠1﹣∠2；

（3）根据翻折的性质，∠3＝（180﹣∠1），∠4＝（180﹣∠2），
∵∠A+∠D+∠3+∠4＝360°，
∴∠A+∠D+（180﹣∠1）+（180﹣∠2）＝360°，
整理得，2（∠A+∠D）＝∠1+∠2+360°．
【变式3-4】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．

（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是　 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）图1中，2∠A＝∠1+∠2，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A；

（2）2∠A＝∠2，如图

∠2＝∠A+∠EA′D＝2∠A，
故答案为：2∠A＝∠2；

（3）如图2，2∠A＝∠2﹣∠1，
理由是：∵延DE折叠A和A′重合，

∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A＝∠2﹣∠1．











【课后巩固】
1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（　　）

A．33° B．23° C．27° D．37°
【答案】B
【解答】解：如图，延长CD交AB于E，
∵∠C＝38°，∠A＝37°，
∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，
∵∠BDC＝98°，
∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．
故选：B．

2．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　）

A．180° B．90° C．270° D．240°
【答案】A
【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，
由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，
在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，
即五角星的五个内角之和为180°．
故选：A．

3．如图，在△ABC中，∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．42° B．46° C．52° D．56°
【答案】D
【解答】解：
∵∠B＝28°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D＝∠B＝28°，
∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠B+∠2+∠D，
∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝28°+28°＝56°，
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．32° B．45° C．60° D．64°
【答案】D
【解答】解：如图所示：
由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，
∴∠1﹣∠2＝64°．
故选：D．


5．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）

A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，
由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，
∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，
∴∠2＝∠C+∠3＝100°，
故选：C．

6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　°．

【答案】360
【解答】解：如图，延长DE交AB于点G，

由三角形外角性质可知：
∠1＝∠F+∠DEF，∠2＝∠1+∠A，
∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A，
∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知：
∠B+∠C+∠D+∠2＝360°，
∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．
故答案为：360．
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°．

【答案】180
【解答】解：如图，设线段BD，BE分别与线段AC交于点N，M．

∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°，
故答案为：180．
8．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．

【答案】360
【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．


故答案为：360．
9．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°．
（1）李叔叔量得∠BCD＝142°，根据李叔叔量得的结果，你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；
（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．

【解答】解：（1）不合规格．理由如下：
连接AC并延长到点E，则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°，故不合格．

（2）根据第（1）小题的求解过程，不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．

10．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：

（1）在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 　 　．
（2）在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
（3）在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
（4）如图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　 　．

【解答】解：（1）结论：∠A+∠C＝∠B+∠D．
理由：如图1中，∵∠AOC＝∠AOB，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D．
故答案为：∠A+∠C＝∠B+∠D；

（2）∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，
即∠P＝（∠C+∠B），
∵∠C＝100°，∠B＝96°
∴∠P＝（100°+96°）＝98°；

（3）结论：∠P＝（β+2α）．
理由：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠BAP＝∠BAC，∠BDP＝∠BDC，
∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，
∴∠C﹣∠P＝∠BDC﹣∠BAC，∠P﹣∠B＝∠BDC﹣∠BAC，
∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，
∴∠P＝（∠B+2∠C），
∵∠C＝α，∠B＝β，
∴∠P＝（β+2α）；

（4）∵∠B+∠A＝∠1，∠C+∠D＝∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠F+∠E＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．


11．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝　 　°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．

【解答】解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，
，
根据外角的性质，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50．

②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；

③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度数为63°．
12．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，求证：∠BPD＝∠B﹣∠D；
（2）将点P移到AB、CD内部，如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？不必说明理由；
（3）在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明你的结论；
（4）在图4中，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n×90°，则n＝　　．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BOD，
而∠BOD＝∠BPD+∠D，
∴∠B＝∠BPD+∠D，
即∠BPD＝∠B﹣∠D；
（2）（1）中的结论不成立，∠BPD＝∠B+∠D．
作PQ∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（3）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD．理由如下：
连接QP并延长到E，如图3，
∵∠1＝∠B+∠BQP，∠2＝∠D+∠DQP，
∴∠1+∠2＝∠B+∠BQP+∠D+∠DQP，
∴∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD；
（4）连接AG，如图4，
∵∠B+∠F＝∠BGA+∠FAG，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G＝（5﹣2）×180°＝6×90°，
∴n＝6．
故答案为6．