高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时当堂检测题

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6.4.3 第2课时 正弦定理 (精讲）一、必备知识分层透析知识点1：正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）知识点2：解决几何问题的常见公式三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).二、重点题型分类研究题型1: 已知两角及任意一边解三角形1．（2022·全国·高三专题练习（理））在中，角所对的边分别是，若，，，则等于（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为cos A＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故选：C2．（2022·全国·高一课时练习）在中，，，，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】在中，由正弦定理可知即.故选：A.3．（2022·河北衡水中学模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（       ）A．2 B． C． D．1【答案】D【详解】因为且，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故选：D．4．（2022·河南·永城高中高二期中（文））在中，，，，则AC边的长等于（     ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由正弦定理，得．故选：C．5．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图所示，平面四边形中，，，，，，则的长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由正弦定理，，即，故，所以，所以，所以由余弦定理，.故选：D．6．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二阶段练习（文））中，内角，，所对边分别为，，，，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，因，则是锐角，由，解得，由正弦定理得：，所以.故选：D题型2：已知两边和其中一边的对角解三角形1．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）在中，角对应的边分别为若，，，则等于（    ）A． B． C．或 D．3【答案】A【详解】由正弦定理可知，；因为，，，所以；因为，所以或（舍）.故选：A.2．（2019·广西·南宁市第四中学高二期中（文））中，，，，则的面积等于（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【详解】解：∵，，，∴由正弦定理可得，∵，可得或120°，∴或30°，∴或．故选：D．3．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）中，若，，，则等于（   ）A．或 B． C． D．【答案】C【详解】在中，由正弦定理可得即，解得：，因为，所以，可得，故选：C.4．（2022·甘肃兰州·高二期中（理））在中，，则的面积为（    ）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【详解】由正弦定理知：，即，故，又，即，则或，当时，，则的面积为；当时，，则的面积为；故选：B.5．（2022·河南·高二期中（理））在中，若，，，则（    ）A．30° B．60° C．120° D．60°或120°【答案】D【详解】在中，由正弦定理得，所以，又，所以或120°.故选：D.题型3：判断三角形解的个数1．（2022·全国·高一课时练习）满足条件，，的三角形的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在【答案】B【详解】在中，因为，，，由正弦定理 ，可得，因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.故选：B.2．（2022·内蒙古·铁路一中高二期中）在中，，，，则的解的个数为（   ）A．1 B．2 C．无解 D．无法确定【答案】A【详解】在中，由正弦定理可得：，所以，因为，所以，所以角是锐角，进而可得角和边都是唯一的，所以的解的个数为，故选：A.3．（2022·河南洛阳·高二期中（理））在中，，，，则此三角形解的情况是（    ）A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解【答案】D【详解】根据正弦定理有，则.此三角形无解.故选：D.4．（2022·河南·高二阶段练习）在中，，，，则此三角形（    ）A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定【答案】C【详解】因为，所以顶点到的距离，因为，所以此三角形有两解.故选：C5．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））已知中，，那么满足条件的（    ）A．有两个解 B．有一个解 C．无解 D．不确定【答案】A【详解】由题可知：∵，∴．∴A有两个解即满足条件的有两个解．故选：A．题型4：判断三角形的形状1．（2022·贵州金沙·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（    ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【详解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A．2．（2022·全国·高一课时练习）在中，若，则的形状是（    ）．A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】A【详解】因为，由正弦定理，可得，又由，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为直角三角形.故选：A.3．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））若中，角的对边分别是，．则的形状是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由正弦定理以及，得，所以，所以．故选：C．4．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知，，分别是三个内角，，的对边，，则一定是（    ）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【详解】在三角形ABC中，根据正弦定理，可化为：，即.因为在上为增函数，所以A=B=C.所以一定是等边三角形.故选：D5．（2022·辽宁沈阳·高三阶段练习）在中，内角所对的边分别为的面积为若，则的形状一定是（    ）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．锐角三角形【答案】C【详解】因为.所以，所以的形状一定是等腰三角形.故选：C6．（2022·云南·峨山彝族自治县第一中学高三阶段练习（理））若满足，且，则的形状为（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形【答案】B【详解】由正弦定理，以及，可得代入，可得故故为直角三角形故选：B题型5：利用正弦定理求范围或最值1．（2022·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知，即由正弦定理化简得即故选：.2．（2022·江苏·苏州中学高一阶段练习）在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为的面积等于，所以，由正弦定理得，所以，因为，所以，因为，所以由正弦定理得,可得，所以，因为，所以，所以，所以，所以故选：D3．（2022·黑龙江·大庆教师发展学院二模（文））已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由于 ，， ，且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ， 由于 ，所以 ，，故 .故选：A4．（2022·湖南·周南中学高二开学考试）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）（1）根据正弦定理，由得，又因为，所以，又因为，所以，又因为，所以（2）根据正弦定理∴，∴ 故其中（）又.当时，取最大值5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期末（文））在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（1）解：因为，所以，即，因为为锐角，所以，所以，又，所以；（2）解：在锐角中，，所以，所以，所以，因为，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范围是．题型6：正弦定理的综合应用1．（2022·全国·模拟预测）如图，在中，，分别为边，上的点，满足，，，．（1）求的大小；【答案】（1）；（1）在中，因为，所以，且，解得，所以在中，由正弦定理得，即，又因为为钝角，所以为锐角，所以．2．（2022·江苏·高三阶段练习）记△ABC的内角的对边分别为，已知，，点是边上一点，且满足，．（1）求；【答案】（1）（1）因为，所以，所以为锐角，由，得，所以，．在中，3．（2022·上海长宁·一模）已知三个内角所对的边分别为（1）若，求的面积；【答案】（1）（1）解：因为，所以，因为， 所以，因为，所以，所以的面积为.4．（2022·河南·漯河高中高二期中）已知的内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；【答案】（1）；（1）由正弦定理得：，代入，∴，又，∴，而，则，∴，故.题型7：综合运用正弦定理、余弦定理解三角形1．（2022·贵州贵阳·高三阶段练习（理））如图，在圆内接中，角所对的边分别为，满足.（1）求的大小；（2）若点是劣弧上一点，，，，求线段的长.【答案】（1）（2）（1）已知，根据正弦定理可得：，∴，因为，∴.∴，∴.（2）在中，由余弦定理可得，由，可得，又，所以，所以，在中，由正弦定理可得，∴.2．（2022·全国全国·模拟预测）如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）（2）（1）由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为．3．（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）如图，在中，内角所对的边为，已知，，（1）求角；（2）求边.【答案】（1）C=45°（2）（1）解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；（2）解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，所以由正弦定理有，即，解得.4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）.（1）在三角形中，∵，∴，在中，由正弦定理得，又，，，∴.（2）∵，∴，，又的面积为，∴，∵，∴，∴，在中，由余弦定理得，∴，在中，由正弦定理得∴.题型8：与三角形面积有关的问题1．（2022·云南红河·模拟预测（文））中，角所对的边分别为，若，，，则的面积为（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.2．（2022·河南开封·高三阶段练习（理））的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由正弦定理知,所以故选：D3．（2022·甘肃·兰州一中高三阶段练习（文））在中，角，，所对的边分别为，，，且.的面积为，外接圆面积的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，由正弦定理得，，又三角形中，所以，，所以．，所以，，当且仅当时，等号成立，此时是等边三角形，最小，由知外接圆半径最小，从而面积最小，．故选：A．4．（2022·重庆·临江中学高三阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】解：，，由正弦定理可得，，，的面积．故选：A．5．（2022·广西·东兰县高级中学高二阶段练习（文））已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为(    )A． B． C．4 D．【答案】A【详解】由余弦定理可得，所以.所以．故选：A．