数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时复习练习题

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时复习练习题，文件包含643第3课时余弦定理正弦定理应用举例精练解析版-精讲精练2022-2023学年高一数学同步精讲精练人教A版2019必修第二册docx、643第3课时余弦定理正弦定理应用举例精练原卷版-精讲精练2022-2023学年高一数学同步精讲精练人教A版2019必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知，两地间的距离为10km，，两地间的距离为20km．若测得，则，两地间的距离为（ ）
A．10kmB．kmC．kmD．km
【答案】D
【详解】
由题意可知，
结合余弦定理可得，
所以，故，
所以A，C两地间的距离为，
故选；D
2．（2022·四川·成都七中高二开学考试（理））如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为45°，则塔高（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，
在中，，
所以塔高．
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习（理））江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（ ）

A．50mB．55.5m
C．57.4mD．60m
【答案】C
【详解】
在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为.
故选：C
4．（2022·河北大名·高一期中）如图，一艘船上午8：00在处测得灯塔在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东75°处，且与它相距海里，则此船的航行速度是（ ）
A．16海里/小时B．15海里/小时
C．海里/小时D．海里/小时
【答案】A
【详解】
由图可知，，
则，得，
所以该船的航行速度为（海里/小时）．
故选：A
5．（2022·广东潮州·高一期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，，并在处测得塔顶的仰角为45°，则塔高（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，
在中，，
所以塔高.
故选：D.
6．（2022·北京丰台·高一期中）如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A．5千米B．千米C．4千米D．千米
【答案】B
【详解】
根据题意可知，.
在中，由正弦定理得,即.
故选:B
7．（2022·全国·高一课时练习）当太阳光与水平面的倾斜角为时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（ ）
A．150°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【详解】
设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得
，
所以，
因为，
所以当，即时，取得最大值，
所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，
故选：B
8．（2022·广东·执信中学高三期中）《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8，代表阴阳太极图的圆的半径为2，则每块八卦田的面积为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，
设等腰三角形的腰长为，
由正弦定理可得，解得，
所以三角形的面积为，
则每块八卦田的面积为.
故选：A.
二、填空题
9．（2022·广西玉林·模拟预测（理））如图，无人机在离地面的高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为___________.
【答案】 m
【详解】
在中，，由图知，即，
在中，由正弦定理得，
∵，
∴m，
在中，.
故答案为： m
10．（2022·河南商丘·高二阶段练习（文））如图所示，一架敌方侦察机向正东方向匀速飞行抵近我方侦察，地面雷达首次探测到该侦察机时其在北偏西75°方向，仰角为，2后侦察机飞行到北偏东方向，假设该侦察机保持3的飞行高度不变，则其飞行速度为___________.
【答案】
【详解】
解：如图所示，在Rt△ABD中可知∠ABD=30°，AD=3，所以.在△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=135°，
根据正弦定理可得，所以该侦察机的飞行速度为.
故答案为：．
11．（2022·河南·漯河高中高二期中）如图，为了测量某湿地，两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点，，．从点测得，从点测得，，从点测得．若测得，（单位：百米），则，两点的距离为 ____________.
【答案】3（百米）
【详解】
根据题意，在中，，，，
则，则，
在中，，，，
则，
则有，变形可得，
在中，，，，
则，
则；
故答案为：3（百米）
12．（2022·山东邹城·高一期中）某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高，现选择点和另一座山的山顶（点）作为测量观测点，从测得点的仰角，点的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高______．
【答案】米
【详解】
在中，，，，
所以可得，
在中，，，
所以，
由正弦定理可得：，即，
所以可得，
在中，，
所以（米）；
故答案为：米．
三、解答题
13．（2022·新疆·克拉玛依市独山子第二中学高三阶段练习）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，.
（1）求氢能源环保电动步道的长；
（2）若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
（1）
（2）选①：，花卉种植区域总面积为；选②：，花卉种植区域总面积为.
（1）
因为，，所以，因为，，所以由余弦定理得：，因为，所以
（2）
选①：；在△ABC中，由正弦定理得：，因为，所以，由（1）知：，代入上式得：，解得：，且，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
选②：，在△ABC中，由余弦定理得：，解得：或（舍去），因为，所以，所以，因为，所以，故，所以花卉种植区域总面积为
14．（2022·河南·高二期中（理））周口市广播电视塔位于周口市区七一路和周口大道交叉口处，该塔有效地解决了周口市广播电视无线信号覆盖范围小、信号质量差的问题.发射塔由塔座、塔身、井道、塔楼和天线等个主要部分组成（如图1所示），其中天线为传统的四边形空间桁架结构，横截面层层缩进，在外形上有着芝麻开花节节高的吉祥寓意.国庆假期，章阳同学在取得有关部门许可的前提下，利用无人机对广播电视塔进行拍照与摄像.章阳同学在地面点处测得塔楼的仰角为，无人机在处沿仰角为的方向飞行米后到达处，测得，且，，，，五个点都在同一平面内（如图2所示）.
（1）求塔楼到地面的高度；
（2）如果广播电视塔的天线的长是米，无人机从到的飞行过程中，在点处观看天线的视角为（即），为了拍摄到天线最为清晰的图像，要求视角最大.若点处距离地面的高度为米，那么为何值时，无人机拍摄到天线的图像最清晰？
【答案】
（1）米
（2）
（1）
因为，所以，.
又，，所以.
连结，过点作，垂足为，
则
.
在中，因为，
所以，
即塔楼到地面的高度是米.
（2）
过作，垂足为，因为，所以，
因为在上，，所以.
所以，.
所以
，.
令，则，.
所以
，
当且仅当，即时取等号.
此时，，因此，当米时，视角最大，无人机拍摄到天线的图像最清晰.
B应考能力
15．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，有四座城市其中在的正东方向，且与相距，在的北偏东方向，且与相距，在的北偏东方向，且与相距，一架飞机从城市出发，以的速度向城市飞行，飞行了，接到命令改变航向，飞向城市，此时飞机距离城市有（ ）
A．120kmB．kmC．kmD．km
【答案】D
【详解】
设15min后飞机到了处，则，
由题意，，
，，
，所以，所以，
从而，于是
，，
中，，
．
故选：D．
16．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，气球的高度是，
所以
所以，
由正弦定理可得，，，
所以.
故选：C
17．（2022·全国·模拟预测（文））如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台，已知射线，为湿地两边夹角为的公路（长度均超过千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，且千米，若要求观景台与两接送点所成角与互补且观景台在的右侧，并在观景台与接送点，之间建造两条观光线路与，则观光线路之和最长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：在中，因为，，
所以，
又与互补，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
因为，
所以，
所以，当且仅当时，取等号，
所以观光线路之和最长是4.
故选：B.
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，，，点在线段上．
（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
【答案】
（1）；
（2）.
（1）
解：因为，
由正弦定理可得，
，则，故，则为锐角，所以，，
，则，
在中，由正弦定理得，，解得．
（2）
解：设，则，，则，
即，可得，故，
由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，由正弦定理可得，故，
因为，
所以，
C新素养 新题型
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
【答案】ABC
【详解】
因为，所以，
即，
由，可得，所以或，
又因为，可得．所以，故正确；
若四点，，，共圆，则四边形对角互补，由正确，可得，
在中，因为，，
所以，故正确；
等边中，设，，
在中，由余弦定理得，
由于，，可得，
所以，
因为，，，所以，
所以四边形面积的最大值为，无最小值，故正确，错误.
故选：．
20．（2022·全国·高一课时练习）重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】ACD
【详解】
A：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；
B：在△、△都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求的高度，错误；
C：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；
D：由，可得：，结合由正弦定理求，再由可求的高度，正确；
故选：ACD
21．（2022·重庆市实验中学高三阶段练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆的高度，选取与旗杆底部(点)在同一水平面内的两点与(，，不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：，，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆的高度的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】ACD
【详解】
对于A，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故A正确．
对于B，知道，则可沿变化，故不可求的高度，
故B错误．
对于C，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故C正确．
对于D，如图所示，设，，，，
在中，，
在中，，
在中，①，
在中，，
即②，由①②可构建关于的方程，
故可求的高度，故D正确．
故选：ACD．
22．（2022·浙江省诸暨市第二高级中学高三期中）在中，，，则的外接圆面积___________，周长的最大值为___________.
【答案】
【详解】
因为在ABC中，，，
所以，
解得，
所以ABC的外接圆面积是，
所以，
所以ABC周长为，
，
，
，
因为，
所以，
当，即时，ABC周长求得最大值为.
故答案为：，