人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时随堂练习题

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知识点1：基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
知识点2：仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
知识点3：方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角的范围是.
知识点4：方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)，
例：(1)北偏东：(2)南偏西：

知识点5：坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即.
二、重点题型分类研究
题型1:测量距离问题
1．（2022·全国·高一课时练习）已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为40nmile/h，1h后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距________nmile．
【答案】
【详解】
由题意，，
，
由正弦定理，即，解得．
故答案为：．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，隔河看两目标与，但不能到达，在岸边先选取相距km的，两点，同时，测得，，，（在同一平面内），则=______km..
【答案】
【详解】
在△ACD中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD=km.
在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.
∴BC=.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2=()2+2－2×××cs75°=3+2+=5，
∴AB=(km)
故答案为：
3．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小海在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶20海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西45°方向，则、两岛屿的距离为____海里．
【答案】20
解：如图所示：
连接AB，由题意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，
∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得，，
解得AD＝20，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴BD＝，CD＝20．
在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝BD，
所以△ABD为等边三角形，所以，AB＝20．
故答案为：20
4．（2022·重庆实验外国语学校高一期中）如下图，四边形中，且在的正东方向上，在的南偏东方向上，在的北偏东方向上，则________.
【答案】
【详解】
由题设，延长交于，易知△为等边三角形，
∴，
∴△中，.
故答案为：
5．（2022·河南三门峡·高三阶段练习（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得m，，，，则两点的距离为______m．
【答案】
【详解】
解：易知在中，，
为等腰三角形，则，
在中，，，
所以由正弦定理得，即，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，即，两点的距离为，
故答案为：．
6．（2022·广东电白·高一期中）如图，某海轮以的速度航行，若海轮在点测得海面上油井在南偏东，向北航行后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为沿北偏东的航向再行驶到达点，则，间的距离是________．
【答案】
【详解】
海轮向北航行后到达点，则
由题意，在中， 又则,
由正弦定理可得：,即
在中， ，
所以
故答案为：
7．（2022·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）如图所示，为了测量、两岛屿的距离，小明在处观测到、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿的距离为___________海里.
【答案】
【详解】
由题意可知：，，，
，，
在中，，
由正弦定理可得：，即，
所以，
在中，，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以、两岛屿的距离为海里，
故答案为：.
8．（2022·福建福州·高一期中）如图，某景区的山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，发现张角；从处攀登3千米到达处，回头看索道，发现张角；从处再攀登4千米到达处，则索道的长为___________千米.
【答案】
【详解】
解：在中，千米，，
得中，千米，（千米）
在中，千米，

（千米）
千米．
故答案为：．
题型2：测量高度问题
一、单选题
1．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，某人先在塔的正西方点处测得塔项的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进到达点处，在处测得塔项的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【答案】B
【详解】
设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
2．（2022·河南·永城高中高二期中（文））山坡上的一棵树被台风吹断，如图，折断部分与残存树干成角，残存树干与山坡构成的角，若m，则这棵树原来的高度为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
【答案】A
【详解】
中，，，，
由正弦定理，得．
所以，，
所以m
故选:A．
3．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习）某烟花厂按以下方案测试一种“烟花”的垂直弹射高度：在处（点在水平地面下方，为与水平地面的交点）进行该烟花的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距30米，，其中到的距离为70米.在地测得处的俯角为，最高点的仰角为，则该烟花的垂直弹射高度约为（参考数据：≈2.446）（ ）
A．40米B．56米C．65米D．113米
【答案】C
【详解】
在中，由余弦定理：.
因为，所以，
又因为，所以，
于是，.
故选：C.
4．（2022·山东师范大学附中高三阶段练习）圣·索菲亚教堂（SaintSphiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为：12m，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取）（ ）
A．42.5mB．45mC．51mD．56.4m
【答案】D
【详解】
如图所示，在中，，
在中，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又由，
在中，可得.
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）5G是中国的一张名片，据报道，中国在5G时代领先德国的时间至少在两年以上.某地为加强5G网络建设拟修建一信号塔.如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，.且，，三点在同一水平线上，点，，，，在同一平面内，斜坡的坡比为，米.某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为（人的身高忽略不计），则信号塔的高度为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，）
A．54米B．58米C．76米D．85米
【答案】D
【详解】
，.
在中，（米）.
在中，，，
由正弦定理得，
所以，
在中，
（米）.
故选：D.
6．（2022·河南宋基信阳实验中学高三阶段练习（理））大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】C
【详解】
在中，，，，
由正弦定理，所以（米），
在中，，
所以（米）
故选：C.
题型3：测量角度问题
1．（2022·北京·清华附中高一期中）如图，是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔，．若某科研小组在坝底点测得，坝底至塔顶距离米，则大坝的坡角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，，，
在中，由正弦定理可得
，
即，解得，
由，
所以，
所以大坝的坡角的余弦值为.
故选：D
2．（2022·江西南昌·高一期中）两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东，灯塔在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东B．北偏西C．南偏东D．南偏西
【答案】B
【详解】
由题可知，、、位置如图，排除ACD，
故选：．
3．（2022·全国·高一课时练习）如图，两座灯塔和与河岸观察站的距离相等，灯塔在观察站南偏西，灯塔B在观察站南偏东，则灯塔在灯塔的（ ）
A．北偏东B．北偏西C．南偏东D．南偏西
【答案】D
【详解】
∵ ，∴，
∵ ，∴ ，∴，
∴灯塔A在灯塔B的南偏西
故选：D
4．（2022·山西·永济市涑北中学校高一阶段练习）一艘游船从海岛出发，沿南偏东的方向航行8海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了16海里到达海岛.若游船从海岛出发沿直线到达海岛V，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（ ）
A．北偏东，B．北偏东，12
C．北偏东，D．北偏东，12
【答案】C
【详解】
据题意知，在中，，海里，海里，
∴，
∴海里，又，∴，∴，∴航行的方向和路程分别为北偏东70°，海里.
故选：C.
5．（2020·广东·高一期末）如图，，两船相距10海里，船在船南偏西45°方向上，船向正南方向行驶，船以船速度的倍追赶船，船若用最短的时间追上船，船行驶的角度为（ ）
A．南偏西B．南偏西C．南偏东D．南偏东
【答案】B
【详解】
设船的速度为，船的速度为，经过时，船在点追上船，
则，，，如图所示：
在中，由正弦定理得：，
所以.
因为，所以，
则船行驶的角度为南偏西.
故选：B
题型4：综合应用题
1．（2022·贵州黔西·高二期中（文））为了测量一个不规则湖泊两端，之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的，两点，点在点的正东方向上，且，，，四点在同一水平面上.从点处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上.
（1）求，两点之间的距离；
（2）以点为观测点，求点的方位角.
【答案】
（1） （2）北偏东方向
（1）
解：由已知得，，
所以,.
在中，由正弦定理得.
同理，在中，，，所以，
由正弦定理得.
可以计算出，
在中，，
所以.
（2）解：如图所示，作，
由（1）知，，所以，
即点C在点D的北偏东75°方向上.
2．（2022·湖北·高一期末）一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛．
（1）求的长；
（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行？
【答案】
（1）n mile（2）沿北偏东的方向航方向航行.
（1）
解：由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以n mile．
（2）
解：根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行 n mile即可到达C处.
3．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）如图，在凸四边形中，为对角线.已知， ，，.
（1）判断的形状特点；
（2）若，求.
【答案】
（1）等腰三角形或者直角三角形
（2）
（1）
解：中，，
由正弦定理得：，
所以，
所以或，
故为等腰三角形或者直角三角形.
（2）
解：中，由正弦定理得：，解得.
，由（1）知为等腰直角三角形，.
由凸四边形条件得，
再由正弦定理得，解得.
另解：（2）中，由余弦定理得：
，解得.
，由（1）知为等腰直角三角形，.
由凸四边形条件得，
即，故.
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，哈三中某研究性学习小组同学为测量哈尔滨防洪纪念塔的高度及塔顶相对取景点与的张角.（其在一水平面上，纪念塔垂直水平面点，且三点共线），小组同学在仰角分别为，若米.
（1）求防洪纪念塔的高度.
（2）求.
【答案】
（1）米；（2）.
（1）
设米，
在中，，则，
在中，，则，而，即，解得，
所以防洪纪念塔的高度是米.
（2）
连接DF，如图，
由(1)及已知有，
在中，由余弦定理得：，即，
则，在中，，由余弦定理得：
，
在中，，由余弦定理得：
，
所以.
5．（2022·江苏·海安市曲塘中学高三期末）如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．
（1）求 (用表示)；
（2）求三角形面积的最小值．
【答案】
（1）（2）
（1）
解：在直角三角形中，，
所以， ；
因为，所以，
即；
在中，因为
（2）
在直角三角形中，因为，所以；
在中，因为，
所以由正弦定理得，，即；
在直角三角形中，
，其中，且；
又因为在线段上，所以，且；
故当时， ．
6．（2022·全国·高一课时练习）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从乘缆车到，在处停留1min后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260m，经测量，，.
（1）求索道的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】
（1）1040m（2）（3）
（1）
由题意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的长为1040m.
（2）
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了，乙距离A处，
由余弦定理得
，
因为，即，
则当时，甲、乙两游客之间距离最短.
（3）
由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，
设乙步行的速度为，
由题意得，
所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.