初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程巩固练习

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 2.3用公式法求解一元二次方程讲义同步教材划重点知识点01公式法解一元二次方程当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．知识点02一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．（3）当<0时，方程没有实数根．知识点03用公式法解一元二次方程的步骤公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）确定、、的值；（3）计算的值；（4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．【点石成金】（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：. ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.知识点04一元二次方程根的判别式的逆用    在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点石成金】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.【典例分析】1．解方程：．【答案】，【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可．【详解】解：原方程可化为：，∴，∴，∴，∴，．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．【变式1-1】解方程：          【答案】x1，x2；【分析】利用公式法求解即可；【详解】解：，，，∴∵，∴原方程有两个不相等的实数根，∴，∴，；【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，掌握基本求解方法是解题关键．【变式1-2】用公式法解下列方程：   【答案】∵∴∴∴2.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：（1）；（2）．【答案】（1）没有实数根；（2）有两个不相等的实数根【分析】（1）根据根的判别式即可判断；（2）根据根的判别式即可判断；【详解】解：（1）由题得： ∴原方程没有实数根；      （2）由题得：          ∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题主要考查一元二次方程方程根的情况判断，解题的关键是熟知根的判别式的性质特点．3．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．【答案】（1）；（2）当时，【分析】（1）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到k≠0，且△＞0，然后解两个不等式即可得到实数k的取值范围；（2）根据（1）中k的取值范围，任取一k的值，然后解方程即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根∴∴（2）答案不唯一当时，∴或解得：【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；也考查了直接开平方法解一元二次方程．4．下图是嘉淇同学用配方法推导一元二次方程在时的求根公式的过程．由于，方程变形为．……………………第一步．第二步．…………第三步．……………第四步．……………第五步（1）嘉淇同学从第________步开始出现错误，直接写出一元二次方程在时的求根公式．（2）用配方法解方程．【答案】（1）四，；（2），，见解析．【分析】（1）第四步开方时出错；（2）根据配方法，解题即可．【详解】解：（1）由于，方程变形为故方程在时的求根公式为：，故答案为：四；（2）．【点睛】本题考查解一元二次方程—公式法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【跟踪训练】1．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可．【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，，故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数．2．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．【详解】根据题意可知，即解得：．故选D．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的意义是解题关键．3．一元二次方程的根的情况是（  ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】C【分析】计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．【详解】∵a＝１，b=-3，c=4而 ∴一元二次方程没有实数根故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．4．求方程x2﹣x﹣6＝0的根的情况是（　　）A．没有实根 B．两个不相等的实数根C．两个相等的实数根 D．无法确定【答案】B【分析】根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案．【详解】解：根据题意得：△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，即该方程有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．5．下列方程中，没有实数根的是（　　）A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．kx2﹣x﹣k＝0【答案】C【分析】分别计算出各项中方程根的判别式的值，找出小于0的选项即可．【详解】A、∵，，，∴，此方程有两个相等的实数根，B、∵，，，∴，此方程有两个不相等的实数根，C、∵，，，∴，此方程没有实数根，D、∵，，，∴，此方程有两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，即，解题的关键是熟练掌握：当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，可得该方程有两个相等的实数根；当时，原方程无实数根．6．下列关于一元二次方程的说法正确的是　　A．该方程只有一个实数根B．该方程只有一个实数根C．该方程的实数根为，D．该方程的实数根为，【答案】D【分析】用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，求出一元二次方程的解即可．【详解】解：，△，故原方程有两个不相等的实数根，解得，．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉一元二次方程根的判别式，以及学会解一元二次方程．7．在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（    ）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【答案】D【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线不经过第一象限，∴m=0或m＜0，当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=，∵m＜0，∴-4m＞0, ∴1-4m＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．8．对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（    ）A．有一个实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【答案】C【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可．【详解】解：根据题意：，由：，故：，即：，，方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可．9．函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论．【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＜0．在方程中，△=，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键．10.用公式法解下列方程：   【答案】∵∴∴∴11.用公式法解下列方程．(1) x2+3x+1=0；        (2)；   (3) 2x2+3x-1=0．【解析】 (1) a=1，b=3，c=1∴=．∴x1=，x2=．(2)原方程化为一般形式，得．∵，，，∴．∴，即，．(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0∴x=∴x1=，x2=．【总结】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c的值并计算的值；(3)若是非负数，用公式法求解．