初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第1课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：先让学生尝试用配方法解方程，学生自主动手解答.

用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.

预设：

方程两边都除以 2，得x2 - 2x - 3= 0.

移项，得 x2 - 2x = 3.

配方，得 x2 - 2x +1= 3+1，    

即  (x - 1)2 = 4.

两边开平方，得  x - 1= ±2.

∴  x1= 3，x2= -1.

追问：你能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？

预设：

①化：二次项系数化为 1 ；

②移：将常数项移到等号右边；

③配：配方，使等号左边成为完全平方式；

④开：等号两边开平方；

⑤解：求出方程的解.

教师强调②③两步的顺序可以调换，没有强制要求.

追问：你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)吗？

独立解答，举手回答.

思考回答

复习用配方法解一元二次方程的步骤，为本节课的学习做准备.

环节二 探究新知

【探究】

教师活动：通过用配方法解一般形式的一元二次方程，引导学生完成求根公式的推导过程，从而得出用公式法解一元二次方程.

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2 + bx + c = 0 (a≠0) ，请用配方法解此方程.   

预设：

方程两边都除以 a，得

配方，得

移项，得

思考：此时能直接开方吗？

    因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当b2 - 4ac ≥ 0 时，是一个非负数，此时两边才可以开平方.

开方，得

，

    即：.

【归纳】

对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）

当b2 - 4ac ≥ 0 时 时，它的根是：

.

用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.叫做求根公式.

利用配方法尝试独立解方程，交流讨论.

与教师一起归纳总结.

鼓励学生完成公式的推导过程,一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过互相交流，让学生加深印象，有助于认识和理解求根公式.

明确求根公式及公式法的概念.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 解方程

(1) x2 -7x-18 = 0；(2) 4x2 +1=4x.

分析：

(1) ①找对应系数

     a=1，b=-7，c=-18；

②判断b2 - 4ac≥0；

③代入求根公式即可.

(2) ①化一般形式:4x2-4x+1=0；

②找对应系数：

    a=4，b=-4，c=1；

③判断b2 - 4ac≥0；

④代入求根公式即可.

解：(1)这里a = 1，b = -7，c = -18.

∵  b2 -4ac = (-7)2 - 4×1× (-18)= 121 > 0，

(2) 将方程化为一般形式，得

      4x2-4x+1=0.

 a = 4，b = -4，c =1.

∵ b2 -4ac = (-4)2 - 4×4×1=0，

【议一议】

(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？ 你是怎么想的呢？

预设： a = 1，b = -2，c =3.

∵ b2 -4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8＜0

根据求根公式的条件知：无法使用求根公式.

x2 -2x + 3 = 0配方，得(x-1)2 =-2.

由于任何实数的平方都不能是负数，因此这个方程没有实数根.

(2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0），当 b2-4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？

预设：当 b2-4ac < 0 时，方程无实数根.

【归纳】

对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）

当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当 b2-4ac =0 时，方程有两个相等的实数根；

当 b2-4ac ＜0 时，方程无实数根；

把 b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示.

明确例题的做法

独立思考，交流讨论

让学生在探究过程中进一步理解用公式法解一元二次方程的基本思路及步骤，培养学生的应用意识.

通过探究 b2-4ac＜0的情况，引出对方程的根的探讨，总结归纳得出Δ=b2 -4ac是一元二次方程的根的判别式.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.不解方程，判断下列方程的根的情况:

(1) 2x2+ 5 = 7x；                     

(2)4x(x-1)+3 = 8.

2.用公式法解下列方程：

(1) 2x2 - 9x + 8 = 0；

(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ；

(3) 16x2 + 8x = 3；

(4) x(x-3) + 5 = 0 .

3.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈. 问户高、广各几何.”大意是说: 已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？(1尺=10寸，1丈=10尺)

答案：

1.解：(1) 将方程化成一般形式：

    2x2-7x + 5 = 0；

Δ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0

∴方程有两个不相等的实数根.

  (2) 将方程化成一般形式：

       4x2-4x + 3 = 0；

Δ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 =-24 ＜0

∴方程没有实数根.

2.解：(1) a = 2，b = -9，c = 8.

∵  b2 -4ac = (-9)2 - 4×2×8= 17 > 0，

(2)a = 9，b = 6，c = 1.

∵b2 -4ac = 62 - 4×9×1=0，

(3) 将方程化为一般形式，得

      16x2+8x-3=0

 a = 16，b = 8，c = -3.

∵ b2 -4ac = 82 - 4×16×（-3）= 256 > 0，

(4)将方程化为一般形式，得

 x2-3x+5=0

 a = 1，b = -3，c = 5.

∵  b2 -4ac = (-3)2 - 4×1×5= -11 > 0，

∴ 方程没有实数根.

3.解:设门的高为 x 尺，根据题意得

x2 + (x - 6.8)2 = 102

即  2x2 - 13.6x - 53.76 ＝ 0.

解这个方程，得

x1＝－2.8(舍去)，x2＝9.6．

∴ x - 6.8 = 2.8.

答:门的高是 9.6 尺，宽是 2.8 尺.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第43页 习题2.5 第1、2、4题.

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.