2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 数学北师大版九年级上册学案

3　用公式法求解一元二次方程

第1课时

【旧知再现】

1．一元二次方程的一般形式为：__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____．

2．用配方法解一元二次方程的五个步骤是：①移项，②化1，③__配方__，④开方，⑤求解．

【新知初探】

阅读教材P41—P43完成下面问题：

1．一元二次方程的求根公式

当b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x＝____．

2．一元二次方程根的判别式的定义

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是__b2－4ac__，通常用“Δ”表示．

3．一元二次方程的根与根的判别式b2－4ac的关系

【质疑判断】

1．方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac＝17.(　√　)

2．方程x2－4x＋4＝0只有一个实数根．(　×　)

3．一元二次方程有实数根的条件是b2－4ac>0.(　×　)

　用公式法求解一元二次方程

【教材P42例题补充】——用公式法解方程的通法

　(2021·宜宾模拟)解方程：x2＋4x－2＝0.

【完善解答】

【归纳提升】

公式法解一元二次方程的四个步骤

1．化：若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).

2．定：确定a，b，c的值．

3．算：计算b2－4ac的值．

4．求：若b2－4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2－4ac＜0，则原方程没有实数根．

变式一：巩固 用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值．对于方程－4x2＋3＝5x，下列叙述正确的是(B)

A．a＝－4，b＝5，c＝3    B．a＝－4，b＝－5，c＝3

C．a＝4，b＝5，c＝3    D．a＝4，b＝－5，c＝－3

变式二：提升 (2021·茂名期末)用公式法解方程：

 (x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.

【解析】原方程可化为x2＋2x－3＝0，

∴a＝1，b＝2，c＝－3，

∴b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，

∴x＝＝，

∴x1＝1，x2＝－3.

　根的判别式及应用

【教材P42“议一议”补充】——由方程根的情况，确定方程中字母的取值范围

 (2021·天津期中)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋(m－4)2＝0有两个相等的实数根．

(1)求m的值．

(2)求此方程的根．

【自主解答】(1)根据题意得Δ＝4m2－4(m－4)2＝0，解得m＝2.

(2)把m＝2代入x2＋2mx＋(m－4)2＝0，得x2＋4x＋4＝0，(x＋2)2＝0，解得x1＝x2＝－2.

【归纳提升】

b2－4ac的两种作用

1．不解方程判断一元二次方程解的情况

(1)b2－4ac>0时，方程有两个__不相等__的实数根；

(2)b2－4ac＝0时，方程有两个__相等__的实数根；

(3)b2－4ac<0时，方程__没有__实数根．

2．由一元二次方程根的情况，确定方程中字母的

__取值范围__．

变式一：巩固 (2021·眉山期中)一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情况是 (D)

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．无实数根

变式二：提升 (2021·连云港期中)已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

【解析】见全解全析

【火眼金睛】

解方程x2＝7x＋6.

【正解】将方程化为一般形式为x2－7x－6＝0.

∵a＝1，b＝－7，c＝－6，

∴Δ＝(－7)2－4×1×(－6)＝73>0，

∴x＝，

∴x1＝，x2＝.

【一题多变】

　已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程x2－2ax＋c2－b2＝0有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是(C)

A．等腰三角形    B．等边三角形

C．直角三角形    D．钝角三角形

【母题变式】

【变式一】(变换条件及问法)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象经过第(A)

A．二、三、四象限　　　　B．一、三、四象限

C．一、二、四象限      D．一、二、三象限

【变式二】(变换条件及问法)(2019·丹东中考)等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是(B)

A．8　　　　B．9　　　　C．8或9　　　　D．12

难题拆解

　(2021·福州期中)已知关于x的一元二次方程x2＋(k＋2)x＋k－1＝0，求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．

层层剖析——清障碍

拆解一：该方程的判别式Δ＝__k2＋8__．

拆解二：由非负数的性质可知该方程的Δ__＞__0，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根．

水到渠成——破难题

【自主解答】∵x2＋(k＋2)x＋k－1＝0是关于x的一元二次方程，

∴a＝1，b＝k＋2，c＝k－1，

∵Δ＝b2－4ac＝(k＋2)2－4(k－1)＝k2＋8.

又∵k2≥0，

∴k2＋8＞0，∴Δ＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．

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