数学八年级上册第十一章 三角形综合与测试精练

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第11章《三角形》章末培优训练卷一．选择题1．如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度α为（　　）A．30° B．40° C．45° D．60°2．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝115°，则∠A＝（　　）A．50° B．45° C．65° D．70°3．小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）A．100° B．110° C．120° D．130°4．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F、BE平分∠ABC交AC于点E，AF与BE相交于点O，AD是BC边上的高，若∠C＝50°，BE⊥AC，则∠DAF的度数为（　　）A．10° B．12° C．15° D．20°5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）A．10° B．15° C．30° D．40°6．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则BC长的可能值有（　　）个．A．4 B．5 C．6 D．77．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（　　）A．60° B．10° C．45° D．10°或60°8．如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（　　）A．2° B．4° C．8° D．16°二．填空题9．如图，在△ABC中，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若∠M＝119°，则∠A＝　   　°．10．如图①，我们知道，光线射向一个平面镜被反射后，两条光线与平面镜的夹角相等（∠1＝∠2）．如图②，光线照射到平面镜甲上，会反射到平面镜乙，然后光线又会射到平面镜甲上，……．若∠α＝55°，∠γ＝75°，则∠β＝　   　°．11．如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2＝　   　．12．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的4倍，我们把这个三角形叫做“四倍角三角形”在一个“四倍角三角形”中有一个内角为40°，则另外两个角分别为 　   　．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）若∠C＝60°，∠BAC＝80°，求∠ADB的度数；（2）若∠BED＝60°，求∠C的度数．  14．如图，AD、BC交于点O，BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线．（1）求证：∠A+∠ABO＝∠C+∠CDO；（2）若∠A＝40°，∠C＝50°，求∠E的度数．  15．问题探究：（1）如图1，AB∥CD，求证：∠E＝∠B+∠D．（2）如图2，AB∥CD，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∠E＝56°，则∠BGD的度数为 　   　．问题迁移：（3）如图3，AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠F：∠CED＝1：3，请求出∠F的度数．    16．在△ABC中，（1）如图1，BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？（2）如图2，BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？（3）如图3，BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，求∠P与∠A之间的关系？（请选择其中一道小题写出详细过程）    17．已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，AE、BF交于点G． （1）如图1：若∠C＝60°，求∠AGB的度数；（2）如图2：点D是AE延长线上一点，连接BD、CD，∠ADC＝∠ABG+∠BAG，求证：CD∥BF；（3）如图3：在（2）的条件下，过点G作GK∥AB，交BD于点K，点M在线段DC的延长线上，连接KM，若∠ACB＝∠BDA，∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，∠M＝16°，求∠BAC的度数．   18．如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．（1）试说明∠BDC＝90°+∠A．（2）过点D任意作直线MN，分别交射线AB和射线AC于点M和N，①如图2，当点M、N分别在边AB、AC上时，求∠MDB+∠NDC的度数（用含∠A的代数式表示）；②当点M、N在射线AB、射线AC上时，∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．      参考答案一．选择题1．【解答】解：∵72÷8＝9，∴360°÷9＝40°．∴每次旋转的角度α＝40°．故选：B．2．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB．∵∠EBC+∠FCB+∠BDC＝180°，∠BDC＝115°，∴∠EBC+∠FCB＝65°．∴∠ABC+∠ACB＝130°．∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∴∠A＝50°．故选：A．3．【解答】解：如图，∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，∴∠EFD＝∠AFC＝70°，∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，故选：B．4．【解答】解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，∠ABE＝∠CBE，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴∠BAC＝∠C＝50°，∴∠ABC＝190°﹣∠BAC﹣∠C＝80°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠BAC＝25°，∵BE⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝10°∴∠DAF＝∠BAF﹣∠DAB＝15°，故选：C．5．【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．故选：B．6．【解答】解：∵△ABC的周长为22，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴2＜BC＜22﹣BC，解得2＜BC＜11，又∵△ABC的三边长均为整数，△ABM的周长比△ACM的周长大2，∴AC＝为整数，∴BC边长为偶数，∴BC＝4，6，8，10，即BC的长可能值有4个，故选：A．7．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，∠BCD的度数为60°或10°，故选：D．8．【解答】解：∵△ABC的内角平分线BP与外角平分线CP1交于P1，∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，∴∠P1＝∠A＝128°＝64°，同理∠P2＝∠P1＝32°，∴∠P6＝2°，故选：A．二．填空题9．【解答】解：∵∠M＝119°，∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣119°＝61°，∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠MBC+∠MCB）＝122°，∴∠A＝180°﹣122°＝58°，故答案为：58．10．【解答】解：如图，由题意知：∠α＝∠1＝55°，∠β＝∠2，∠γ＝∠3＝75°，∵∠1+∠3+∠4＝180°，∴∠4＝50°，∵∠2+∠4+∠β＝180°，∴∠β＝65°，故答案为：65．11．【解答】解：如图，由折叠的性质得：∠D＝∠C＝47°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+94°，则∠1﹣∠2＝94°．故答案为：94°．12．【解答】解：在△ABC中，不妨设∠A＝40°．①若∠A＝4∠C，则∠C＝10°，∠B＝130°．②若∠C＝4∠A，则∠A＝160°（不合题意）．③若∠B＝4∠C，则∠B＝112°，∠C＝28°，综上所述，另外两个角的度数为130°，10°或112°，28°．故答案为：130°，10°或112°，28°．三．解答题13．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠DAC＝∠BAC＝40°，∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝60°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝100°；（2）∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝60°，∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝60°，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝120°，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝60°．14．【解答】（1）证明：∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠C+∠CDO+∠COD＝180°，又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠ABO＝∠C+∠CDO； （2）解：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，则∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，∴∠A+x+∠C+y＝∠E+y+∠E+x，即2∠E＝∠A+∠C，∵∠A＝40°，∠C＝50°，∴2∠E＝∠A+∠C＝90°，∴∠E＝45°．15．【解答】（1）证明：如图1，过E点作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D；（2）解：由（1）可得：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠BGD＝∠ABG+∠CDG，∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点G，∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDE＝2∠CDG，∴∠ABE+∠CDE＝2（∠ABG+∠CDG），即∠E＝2∠BGD，∵∠E＝56°，∴∠BGD＝28°，故答案为：28°；（3）解：由（1）可得：∠F＝∠AEF+∠CDF，∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，∴∠AEC＝2∠AEF，∠EDC＝2∠CDF，∴∠AEC+∠EDC＝2（∠AEF+∠CDF）＝2∠F，∵AB∥CD，∴∠AEC+∠CED+∠EDC＝180°，即2∠F+∠CED＝180°，∵∠F：∠CED＝1：3，∴∠CED＝3∠F，∴2∠F+3∠F＝180°，解得∠F＝36°．16．【解答】解：（1）∵BP、CP为∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠CBP＝，∠BCP＝．∴∠CBP+∠CBP＝．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．∴∠PBC+∠PCB＝．∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣＝90°+．（2）∵∠P+∠PBC＝∠PCD，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC．∵BP、CP为∠ABC和∠ACE的角平分线，∴∠PCD＝，∠PBC＝．∴∠P＝＝．（3）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A．∵BP、CP为∠CBD和∠BCE的角平分线，∴∠CBP＝，∠BCP＝．∴＝．∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣＝90°﹣．17．【解答】（1）证明：如图1，∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，∴，，在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠C＝180°，∠C＝60°，∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABF+∠BAE＝∠ABC+∠BAC＝（∠ABC+∠BAC）＝×120°＝60°，∴∠AGB＝180°﹣60°＝120°；（2）证明：如图2，∵∠BGD是△ABG得一个外角，∴∠BGD＝∠BAG+∠ABG，∵∠ADC＝∠BAG+∠ABG，∴∠BGD＝∠ADC，∴CD∥BF；（3）解：如图3，∵∠BED＝∠AEC，∠ACB＝∠BDA，∴∠CAE＝∠DBE，∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，设∠ABF＝∠CBF＝α，∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝β，∴∠AEC＝2α+β，∵∠ABC+∠BAE＝2∠DKM，∴，∵GK∥AB，∴∠BGK＝∠ABG＝α，∴∠GKD＝∠GBK+∠BGK＝2α+β，∴，∵GB∥DM，∠M＝16°，∴∠GBK+∠MDK＝180°，∵∠GBK+∠GKB+∠BGK+∠MKD+∠KDM+∠M＝360°，∠BKG+∠MKD＝180°﹣∠GKM，∴180°+180°﹣∠GKM+∠BGK+∠M＝360°，∴∠GKM＝∠BGK+∠M，∴，∴β＝32°，∴∠BAC＝2×32°＝64°．18．【解答】（1）证明：∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；（2）①由（1）得，∠BDC＝90°+∠A，∵∠MDB+∠NDC＝180°﹣∠BDC，∴∠MDB+∠NDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A．②（i）如图1，当点M在AB延长线上，点N在边AC上时，∵∠MDB+∠MDC＝∠BDC，∠MDC+∠NDC＝180°，∴∠MDB﹣∠NDC＝∠BDC﹣180°，∵∠BDC＝90°+∠A，∴∠MDB﹣∠NDC＝90°+∠A﹣180°＝∠A﹣90°，∴2∠NDC﹣2∠MDB+∠A＝180°；（ii）如图2，当点M在边AB上，点N在AC延长线上时，∵∠MDB+∠BDN＝180°，∠BDN+∠NDC＝∠BDC，∴∠MDB﹣∠NDC＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC＝90°+∠A，∴∠MDB﹣∠NDC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，∴2∠MDB﹣2∠NDC+∠A＝180°；（iii）当点M和点N分别在边AB和边AC上时，由①得，∠MDB+∠NDC＝90°﹣∠A，即2∠MDB+2∠NDC+∠A＝180°；综上所述，2∠NDC﹣2∠MDB+∠A＝180°或2∠MDB﹣2∠NDC+∠A＝180°或2∠MDB+2∠NDC+∠A＝180°．