2020-2021学年6 利用相似三角形测高习题

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.6利用相似三角形测高》达标测试题（附答案）

一．选择题（共10小题，满分40分）

1．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（　　）

A．2米 B．3米 C．米 D．米

2．如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（　　）

A．8米 B．10米 C．18米 D．20米

3．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）

A．8m B．9m C．16m D．18m

4．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长是（　　）

A． B． C．7cm D．6cm

5．如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5m的标准视力表制作了一个测试距离为3m的视力表．如果标准视力表中“E”的高a是72.7mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（　　）

A．121.17mm B．43.62mm C．43.36mm D．29.08mm

6．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8cm，6cm，则实像CD的高度为（　　）

A．4cm B．4.5cm C．5cm D．6cm

7．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（　　）

A．15m B．m C．m D．14m

8．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD＝10米，则旗杆高度DE为（　　）

A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米

9．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液面AB＝（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm

10．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共8小题，满分32分）

11．如图，小明在B时测得直立于地面的某树的影长为12米，A时又测得该树的影长为3米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 　   　米．

12．如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为 　   　m．

13．如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是 　   　m．

14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 　   　cm．

15．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，且Rt△ABC与△AEM在同一个平面内．已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为 　   　米．

16．如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼顶部．如果王青眼睛与地面的距离KL＝1.6m，同时量得LM＝0.4m，MS＝5m，则楼高TS＝　   　m．

17．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点．当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 　   　cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 　   　cm．

18．如图，为了估测笔直的公路l旁边矩形场地ABCD的面积，在公路l上依次确定点E，F，M，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上，∠CMN＝∠AFE，并测得EF＝20米，FM＝10米，MN＝15米，∠ANE＝45°，则矩形场地ABCD的面积为 　   　米2．

三．解答题（共6小题，满分48分）

19．西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼晴与地面的距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

20．如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，求树高CD．

21．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．

（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．

23．一块材料的形状是等腰△ABC，底边BC＝120cm，高AD＝120cm．

（1）若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（如图1），则这个正方形的边长为多少？

（2）若把这块材料加工成正方体零件（如图2，阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？

24．在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫作四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫作四边形ABCD的边AB上的完全相似点．

（1）解决问题：如图，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，添加一个与∠DCE有关的条件，使得点E是四边形ABCD的边AB上的完全相似点，直接写出这个条件．

参考答案

一．选择题（共10小题，满分40分）

1．解：由题意知：AB∥CD，

则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，

∴△ABE∽△CDE，

∴，

∴，

∴CD＝3米，

故选：B．

2．解：如图，CD＝2m，BD＝12m，

∵，

∴DE＝1.5CD＝3，

∵，

∴AB10．

∴旗杆的高度为10m．

故选：B．

3．解：根据题意得∠APB＝∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP＝∠CDP＝90°，

∴Rt△ABP∽Rt△CDP，

∴，即，

解得：CD＝8．

答：该古城墙CD的高度为8m．

故选：A．

4．解：∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB．

∴DE：AB＝CD：AC．

∴40：60＝DE：10．

∴DEcm．

∴小玻璃管口径DE是cm．

故选：A．

5．解：如图，依题意得△OAB∽△OCD

则，

即，

解得：b＝43.62．

故选：B．

6．解：∵AB∥CD，

∴△OAB∽△OCD，

∴，

∴，

∴CD＝4.5

答：实像CD的高度为4.5cm，

故选：B．

7．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，交MN于点E．

则CF＝DB＝50，CE＝0.65，

∵MN∥AB，

∴△CMN∽△CAB．

∴，

∴AB．

∴旗杆AB的高度约为米，

故选：C．

8．解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°，

∵∠ACB＝∠DCE，

∴△ABC∽△EDC，

∴，

，

∴DE＝7.5，

故选：A．

9．解：如图：∵CD∥AB，

∴△CDO∽ABO，

∴，

∵OC＝8cm，OA＝4cm，CD＝6cm，

∴，

∴AB＝3（cm），

故选：B．

10．解：∵四边形CDEF是正方形，

∴CD＝ED，DE∥CF，

设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，

∵DE∥CF，

∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∴，

∴，

∴x，

∴正方形CDEF的边长为．

故选：B．

二．填空题（共8小题，满分32分）

11．解：根据题意，作△DFC，

则树高为CE，∠DCF＝90°，ED＝3米，FE＝12米，

∵∠DCF＝90°，∠DEC＝∠FEC＝90°，

∴∠D+∠F＝∠D+∠DCE，

∴∠DCE＝∠F，

∴Rt△DEC∽Rt△CEF，

∴，即EC2＝ED•EF，

∴EC2＝3×12＝36，

∴EC＝6，

答：树的高度为6米．

故答案为：6．

12．解：设眼睛到目标的距离为xm，

∵OE＝80cm＝0.8m，AB＝0.2Cm＝0.002m，CD＝50cm＝0.5m，

∴BEAB＝0.001m，DF＝0.25m，

∵AB∥CD，

∴△OBE∽△ODF，

∴，

即，

解得x＝200．

答：眼睛到目标的距离OF为200m，

故答案为：200．

13．解：由题意得，，

解得h＝2.4．

答：他的球拍击球的高度是2.4m，

故答案为：2.4．

14．解：∵AB∥CD，

∴△OAB∽△OCD，

∴，

∴，

∴CD＝4.5，

答：实像CD的高度为4.5cm，

故答案为：4.5．

15．解：∵∠CAB＝∠EAM，∠ACB＝∠AEM＝90°，

∴△ACB∽△AEM，

∴，

∴，

∴EM＝12.5，

∵四边形ADNE是矩形，

∴AD＝EN＝1.5米，

∴MN＝ME+EN＝12.5+1.5＝14（米）．

故旗杆MN的高度为14米，

故答案为：14．

16．解：根据题意，

∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS，

∴△KLM∽△TSM，

∴，即．

∴TS＝20．

故答案是：20．

17．解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，

由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，

∴∠QMB＝30°，

∵Q点是AB中点．

∴QBAB＝10cm，

∴BM＝2QB＝20cm，QMQB＝10cm，

∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，

∴△BCE是等边三角形，

∴BC＝6cm，

∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，

∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），

∴PFFM＝18（cm），

∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18cm，

∴PM＝2PF＝36cm，

∴PQ＝PM﹣QM＝361026（cm），

当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，

∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，

∴∠N＝75°﹣60°＝15°，

∵∠QMB＝30°，

∴∠MQN＝15°，

∴∠MQN＝∠N＝15°，

∴MQ＝MN＝10cm，

∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，

如图，过点Q作QH⊥BM于点H，

设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MHxcm，

∴NH＝MN+MH＝（2xx）cm，

∴tan15°，

∴tan15°2，

∴P′F＝（2）（54+10）＝（78﹣34）cm，

∴PP′＝PF﹣P′F＝18（78﹣34）＝（5278）cm．

故答案为：18；（5278）cm．

18．解：过点C作CH⊥l，垂足为H，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，延长QB交AE于点P，

∵AE⊥l，BF⊥l，

∴∠AEN＝∠BFN＝90°，

∴四边形BFHQ和四边形BPEF是矩形，

∴BF＝QH＝PE，BP＝EF，QB＝HF，

∵EF＝20米，FM＝10米，MN＝15米，

∴FN＝MN+FM＝25米，EN＝EF+FM+MN＝45米，

∵∠ANE＝45°，

∴△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，

∴AE＝EN＝45米，BF＝FN＝25米，

∴ANAE＝45米，BNBF＝25米，

∴AB＝AN﹣BN＝452520米，

∵∠CMN＝∠AFE，∠AEF＝∠CHM＝90°，

∴△FAE∽△MCH，

∴，

∴设MH＝4x米，CH＝9x米，

∴CQ＝CH﹣QH＝（9x﹣25）米，QB＝HF＝HM+MF＝（4x+10）米，

∵AP＝AE﹣PE＝45﹣25＝20米，BP＝EF＝20米，∠APB＝90°，

∴△APB是等腰直角三角形，

∴∠ABP＝45°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBQ＝180°﹣∠ABP﹣∠ABC＝45°，

∵∠CQB＝90°，

∴△CQB是等腰直角三角形，

∴CQ＝QB，

∴9x﹣25＝4x+10，

∴x＝7，

∴CQ＝BQ＝38米，

∴BCBQ＝38米，

∴矩形ABCD的面积＝20381520平方米，

故答案为：1520．

三．解答题（共6小题，满分48分）

19．解：根据题意，得∠ACB＝∠DCE．

∵AB⊥BE，DE⊥BE，

∴∠ABC＝∠DEC＝90°．

∴△ABC∽△DEC．

∴．

∵BC＝48米，CE＝2米，DE＝1.5米，

∴．

解得AB＝36．

答：雕塑的高度AB是36米．

20．解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：

由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，

∵EH⊥CD，EH⊥AB，

∴四边形EFDH为矩形，

∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米，

∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米），

∵EH⊥CD，EH⊥AB，

∴AG∥CH，

∴△AEG∽△CEH，

∴，

∴，

解得CH＝4.8，

∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）．

答：树高CD为6.5米．

21．解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，

∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），

∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴AG∥DH，

∴△CDH∽△CAG，

∴，

即，

∴AG＝14米，

∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），

∴旗杆AB的高度为17.5米．

22．解：（1）如图所示，点E即为所求．

（2）∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，

∴BE＝CE，

∵DE＝2，

∴BC＝4，

∵△ACE∽△BCD，

∴，即，

解得CD．

23．解：（1）设正方形边长EH为xcm，

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝90°，

∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AKE＝∠ADB＝90°，

∵EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC，

∴，

∴，

∴x＝60，

答：这个正方形的边长为60cm；

（2）设正方形边长MN为acm，

∵AD为△ABC的高，

∴∠ADB＝90°，

∵MN∥BC，

∴∠APM＝∠ADB＝90°，

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC，

∴，

∴，

∴a＝24，

∴6a2＝6×242＝3456，

答：正方体的表面积为3456cm2．

24．解：（1）点E是否是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．

理由：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，

∴∠AED+∠ADE＝135°，∠AED+∠CEB＝135°，

∴∠ADE＝∠CEB，

∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）∵∠A＝∠CED，

∴当∠DCE＝∠ADE或∠DCE＝∠AED时，△DCE与△AED相似，

此时点E是四边形ABCD的边AB上的完全相似点．