数学九年级上册6 利用相似三角形测高同步测试题

6　利用相似三角形测高

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．在同一时刻下，在阳光下测量学生的身高、影长即可求出旗杆的高度．(　×　)

2．测量物体高度的数学原理是利用三角形相似对应边成比例进行计算．(　√　)

3．如图，△ABC∽△EDC，则＝.(　×　)

知识点1　利用阳光下的影子或标杆测量高度

1．(2021·成都期中)高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为(　B　)

A．10米    B．16米    C．26米    D．36米

【解析】设建筑物的高是x米．则＝，

解得：x＝16.

故该建筑物的高为16米．

2．(2021·无锡期中)如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30 cm，光源到屏幕的距离为90 cm，且幻灯片中的图形的高度为7 cm，则屏幕上图形的高度为(　A　)

A．21 cm    B．14 cm    C．6 cm    D．24 cm

【解析】如图所示，

∵DE∥BC，

∴△AED∽△ACB，∴＝，

设屏幕上的图形高是x  cm，则＝，

解得：x＝21.

即屏幕上图形的高度为21 cm.

3．(生活情境题)(2021·沈阳期中)如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F、旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面的距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为(　C　)

A．8.4米    B．9.6米    C．11.2米    D．12.4米

【解析】作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：

∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，

∴FG∥EH，

∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，

∴AH＝BD，AG＝BC，

∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，

∴FG＝3.2－1.6＝1.6，BD＝6，

∵FG∥EH，∴＝，＝

解得：EH＝9.6，

∴ED＝9.6＋1.6＝11.2(米).

即旗杆的高ED是11.2米．

4．如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，则火焰AC的长度为__8__cm__．

【解析】连接AC，BD，

∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAO＝∠DBO＝90°，

∵∠COA＝∠DOB，∴△AOC∽△BOD，∴＝，

∵BD＝2 cm，OA＝60 cm，OB＝15 cm，

∴＝，

解得：AC＝8 cm，

即火焰AC的长度为8 cm.

5．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5 m，测得AB＝3 m，BC＝7 m，则建筑物CD的高是__5__m__．

【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC，

∴EB∥DC，

∴△ABE∽△ACD，

∴＝，

∵BE＝1.5 m，AB＝3 m，BC＝7 m，

∴AC＝AB＋BC＝10 m，

∴＝，

解得，DC＝5，

即建筑物CD的高是5 m．

知识点2　利用镜子的反射测量高度

6．(2021·重庆质检)如图，小明为了测量大楼MN的高度，在离N点30米处的A点放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度是(　A　)

A．32米    B．米    C．36米    D．米

【解析】∵BC⊥CA，MN⊥AN，

∴∠C＝∠MNA＝90°，

∵∠BAC＝∠MAN，∴△BCA∽△MNA.

∴＝，

即＝，

∴MN＝32米，

即大楼MN的高度为32米．

7．(2021·天津质检)如图，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部10 m的地面上，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4 m时，正好在镜中看见树的顶端，若小明目高为1.6 m，则树的高度是__4__m__．

【解析】∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，

∴△ABC∽△DBE，

∴BC∶BE＝AC∶DE，

即4∶10＝1.6∶DE，

解得DE＝4 m．

8．(教材P103方法3变式)“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．

【解析】设NB的长为x米，则MB＝x＋1.1＋2.8－1.5＝(x＋2.4)米．

由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，

∴△CND∽△ANB，∴＝.

同理，△EMF∽△AMB，

∴＝.

∵EF＝CD，∴＝，

即＝.

解得x＝6.6，

∵＝，∴＝.

解得AB＝9.6.

答：大树AB的高度为9.6米．

关键能力·综合练

1．(2021·绍兴期中)如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10 cm，＝＝，则容器的内径是(　C　)

A．5 cm    B．10 cm    C．15 cm    D．20 cm

【解析】连接AD，BC，

∵＝＝，∠AOD＝∠BOC，

∴△AOD∽△BOC，

∴＝＝，

∵A，D两个端点之间的距离为10 cm，

∴BC＝15 cm.

2．(2021·洛阳质检)相邻两根电线杆都用钢索固定在地面上，如图，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电线杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面(　A　)

A．2.4米

B．8米

C．3米

D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面的距离

【解析】作PE⊥BC于E.

∵CD∥AB，

∴△APB∽△CPD，

∴＝＝＝＝，

∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，

∴＝，∴＝，

解得PE＝2.4.

3．(传统文化题)《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为(　A　)

A．360步    B．270步    C．180步    D．90步

【解析】设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，

∵AE∥CD，∴∠BEA＝∠EDC，

∴Rt△BEA∽Rt△EDC，

∴＝，即＝，

∴x＝360，

即正方形城池的边长为360步．

4．(2021·银川期中)如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20 m，则AB的长度为__40__m__．

【解析】∵CD＝AC，CE＝BC，

∴＝＝，

又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，

∴＝＝，

∵DE＝20 m，∴AB＝40 m．

5．(2021·济南期中)如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10 cm，已知AC与BC的比为6∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压__60__cm.

【解析】如图，AM，BN都与水平线的垂直，M，N是垂足，则AM∥BN，

∵AM∥BN，

∴△ACM∽△BCN，

∴＝，

∵AC与BC之比为6∶1，

∴＝＝6，即AM＝6BN，

∴当BN≥10 cm时，AM≥60 cm，

故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压60 cm.

6．(2021·东营质检)如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形小硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，则旗杆的高度为__11.5__米．

【解析】由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，

∴△DEF∽△DCA，

则＝，即＝，

解得：AC＝10，

故AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5米，

即旗杆的高度为11.5米．

7．(素养提升题)在家里的小华从离窗台A水平距离2 m的M点望去，通过窗台A处刚好俯瞰到远处医院箱式板房顶部远端E点，小华又向窗户方向前进0.8 m到Q点，恰好通过窗台A处看到板房顶部近处D点，已知AB，CD，EF，MN都垂直于地面BC，N，F在直线BC上，MQ，DE都平行于地面BC，BC长

300 m，请你帮助小华计算DE的长度．

【解析】延长ED交AB于H，延长MQ交BA的延长线于T.

由题意MT＝2 m，MQ＝0.8 m，

∴QT＝MT－MQ＝2－0.8＝1.2(m)，

∵四边形BCDH是矩形，

∴DH＝BC＝300 m，

∵QT∥DH，∴＝＝＝，

∵MT∥DE，∴＝，

∴＝，∴EH＝500 m，

∴DE＝500－300＝200(m).

模型1　利用阳光下的影子：(如图1)

物1高∶物2高＝影1长∶影2长

模型2　利用标杆测量高度：(如图2)

△AEM∽△ACN：＝

模型3　利用镜子的反射：(如图3)

△ABE∽△CDE：＝

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