初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转巩固练习

23.1 图形的旋转（附解析）

一、单选题(共10个小题)

1．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（        ）

A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等

C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点

2．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到的图形是（        ）  

A． B． C． D．

3．下列现象不是旋转的是（        ）

A．传送带传送货物； B．飞速转动的电风扇；

C．钟摆的摆动； D．自行车车轮的运动

4．国旗上的五角星是旋转对称图形，它需要旋转（       ）后，才能与自身重合．

A．36° B．45° C．60° D．72°

5．下列图形中，是旋转对称图形的有（        ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，在正方形网格中，线段AB绕点O旋转一定的角度后与线段CD重合（C、D均为格点，A的对应点是点C），若点A的坐标为（－1，5），点B的坐标为（3，3），则旋转中心O点的坐标为（        ）

A．（1，1） B．（4，4） C．（2，1） D．（1，1）或（4，4）

7．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若ADBC，则∠DBE为（        ）

A．80° B．50° C．55° D．100°

8．如图，在△ABC中，，将绕点顺时针旋转，得到△ADE，连接，若，，则线段的长为（        ）

A． B． C． D．

9．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　   　）

A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C

10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2021次得到正方形，那么点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题(共10个小题)

11．如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为______．

12．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，若PB=3，则PP′的长是______．

13．如图，在△ABC中，，△ABC绕点A按顺时针方向旋转25°得到，若，则等于________．

14．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将△AOBC绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．

15．如图，将含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，且A点坐标为（，1），若将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A1的坐标为_____________．

16．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转_________度，可与其自身重合．

17．如图在四边形中，，．若cm，cm，则对角线的最大值为______cm.

18．如图，边长为4的等边中，D为中点，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动过程中，线段长度的最小值是___________．

19．正五边形ABCDE内有一个正三角形PQR，QR与AB重合，将△PQR在五边形内沿着它的边AB、BC、CD、DE、EA、AB、…连续地翻转n次，使点P、Q、R同时回到原来的起始位置，那么 n 的最小值为_________．

20．如图，△ABC 的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝2，将ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为___________．

三、解答题(共3个小题)

21．如图，在平面直角坐标系中，的两条直角边、分别在轴、轴的负半轴上，且，，将绕点按顺时针方向旋转90°，再把所得的图形沿轴正方向平移2个单位，得．

(1)写出点A、C的坐标；

(2)求点A和点C之间的距离．

22．将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠C＝30°．

(1)固定三角板C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与C、分别交于点D、E，AC与交于点F．

①当旋转角等于45°时，求∠BC的度数；

②当AB⊥时，试说明AD=CD．

(2)将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，当AB⊥C时，试猜想D与CD的数量关系，并说明理由．

23．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△AC，连接E．

(1)当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°时，求证：DE＝E；

(2)当DE＝E时，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由．

(3)在（2）的结论下，当∠BAC＝90°，BD与DE满足怎样的数量关系时，△EC是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必证明）

23.1 图形的旋转解析

1．

【答案】B

【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意；

B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意；

C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意；

D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意．

故选：B．

2．

【答案】C

【详解】根据旋转的定义可得：旋转后AD与AB重合，故C选项符合题意.故选C.

3．

【答案】A

【详解】解：A选项中的现象属于平移，故A正确；

B、C、D选项中的现象都属于旋转；故都不正确；

故选：A．

4．

【答案】D

【详解】360°÷5=72°，

根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72°能与自身重合．

故选：D．

5．

【答案】C

【详解】解：左边数第一个旋转180°后与初始位置重合，是旋转对称图形；

左边数第二个旋转72°后与初始位置重合，是旋转对称图形；

左边数第三个旋转120°后与初始位置重合，是旋转对称图形；

左边数第四个不是旋转对称图形．

故选：C．

6．

【答案】A

【详解】解：作AC、BD的垂直平分线交于点E，

点E即为旋转中心，E（1，1），

故选：A．

7．

【答案】B

【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，

∴AB＝BD，∠ABD＝80°，∠DBE＝∠ABC，

∴∠BAD＝50°，

∵ADBC，

∴∠ABC＝∠BAD＝50°，

∴∠DBE＝∠ABC＝50°，

故选：B．

8．

【答案】D

【详解】解：将△ABC绕点顺时针旋转，得到，，

，，，

∴△DAB为等腰直角三角形，

在△ABC中，，，，

，

，

故选：．

9．

【答案】A

【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；

若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；

若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．故选A．

10．

【答案】D

【详解】解：∵，

∴依此方式绕点旋转，每旋转次，正方形就会回到开始的位置，

∵，∴绕点旋转次后，正方形的位置如图所示：

根据旋转的方式可知，，且，，

∴是等腰直角三角形，

设，则，

解得，（舍去），

∴，

∵点在第四象限，

∴点的坐标为，故D正确．

故选：．

11．

【答案】4.8

【详解】解：由旋转的性质可得：AD=AB，

∵∠B=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB，

∵AB=5，BC=9.8，

∴CD=BC-BD=9.8-5=4.8．

故答案为：4.8．

12．

【答案】

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∵将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′，

∴，，

∴，

故答案为：．

13．

【答案】

【详解】解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到，

∴，

∵，

∴，

∵△ABC中，，

∴，

∴，

故答案为：．

14．

【答案】(−,3)

【详解】解：如图，过点B和作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，

∵∠AOB=∠B=30°，

∴AB=OA=2，∠BAD=60°，

∴AD=1，BD=，

∴OD=OA+AD=3，

∴B(3,)，

∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点，

∴C=BD=，OC=OD=3，

∴坐标为：(−，3)．

故答案为：(−，3)．

15．

【答案】

【详解】解：如图，过A1作A1C⊥x轴于C，

∵A点坐标为（，1），

∴ ，

∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，

∴∠AOA1=75°，OA=OA1=2，

∵∠AOB=30°，

∴∠A1OC=45°，

A1C⊥x轴，

∴

∴OC=A1C，

A1C⊥x轴，

∴ ，

∴ ，

∴A1的坐标为（，）．

故答案为（，）．

16．

【答案】120

【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC，

正三角形ABC，O为其中心，

， ，

，

，

，

同理可证：，

，

，

∴正三角形ABC绕其中心O至少旋转，可与其自身重合．

故答案为：120．

17．

【答案】；

【详解】将△ACD绕点A逆时针旋转90°，使DC与BC相重合，得到△ECB，连接AE．

∵△ECB是△ACD旋转所得：∴AC=EC，∠ACE=90°，BE=AD=3．

∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE．

 ∵AE≤AB+BE=AB+AD=4+3=7，

∴AC的最大值为．

故答案为．

18．

【答案】1

【详解】解：如图，连接MD，

∵旋转角为60°，

∴∠MBH+∠HBN＝60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，

∴∠HBN＝∠DBM．

∵CH是等边△ABC的高所在的直线，

∴，

∴HB＝BD．

又∵MB旋转到BN，

∴BM＝BN，

∴△MBD≌△NBH(SAS)，

∴MD＝NH，

根据垂线段最短可知：当MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，

此时∵∠BCH＝×60°＝30°，，

∴，

∴HN＝1，

故答案为：1．

19．

【答案】15

【详解】

如图，将五边形的五条边放在同一直线上，五边形的边每5次一循环，而将三角形自身旋转一圈需要翻折3次，要使点P、Q、R同时回到原来的起始位置只需要找出3和5的最小公倍数即可．

3和5的最小公倍数为15；

故答案为：15．

20．

【答案】

【详解】解：如图，连接OC，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，

相当于把绕O顺时针旋转

∴点旋转4次进行循环，

∵

∴将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，C与E重合，

过C作于G，作于H，设

∵OA＝OB＝1，BC＝2，∠ABC＝90°，

∴

∴

解得： （负根舍去）

∴C（2，3），

由旋转可得：关于原点O成中心对称，

∴

∴第2022次旋转结束时，点C的坐标为，

故答案为：．

21．

【答案】(1)A（-4，0）；C（2，4）;(2)

【详解】（1）解：∵点A在x轴上，且OA=4

∴A点坐标为：（-4，0）

∵是由旋转，再平移得到的

∴

∴OD=OB=2,CD=OA=4

∴C点坐标为：（2，4）

（2）解：如图，连接AC，在中，

AD=OA+OD=6，CD=4

∴

22．

【答案】(1)①135°；②见解析;(2)D=CD，理由见解析

【详解】（1）①由旋转的性质得，∠AC＝45°

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠AC＝90°﹣45°＝45°

∴∠BC＝∠BCD+∠C＝45°+90＝135°

②∵AB⊥

∴∠ED＝90°

∵∠C＝30°

∴∠DE＝90°﹣∠＝90°﹣30°＝60°

∴∠BDC＝∠DE＝60°

∵∠A＝30°，∠ACB＝90°

∴∠B＝60°

∴∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝60°

∴∠AC＝30°

∵∠A＝30°

∴∠AC＝∠A

∴为等腰三角形

∴AD=CD

（2）结论：D=CD，理由如下：

∵AB⊥C

∴∠ADC＝90°

∵∠A＝30°

∴CD＝AC

由旋转的性质得，C＝AC

∴CD＝C=D．

23．

【答案】(1)见解析;(2)∠DAE＝∠BAC，理由见解析;(3)DE＝BD

【详解】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△AC，

∴AD＝A，∠CA＝∠BAD，

∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，

∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，

∴∠DAE＝∠AE，

在△ADE和△AE中，

∵，

∴△ADE≌△AE（SAS），

∴DE＝E；

（2）解：∠DAE＝∠BAC．

理由如下：在△ADE和△AE中，

，

∴△ADE≌△AD′E（SSS），

∴∠DAE＝∠AE，

∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠BAC；

（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°，

∴∠CE＝45°＋45°＝90°，

∵△EC是等腰直角三角形，

∴E＝C，

由（2）DE＝E，

∵△ABD绕点A旋转得到△AC，

∴BD＝，

∴DE＝BD．