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    22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件 2021-2022学年人教版数学 九年级上册
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    初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课前预习ppt课件

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    这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课前预习ppt课件,共49页。PPT课件主要包含了填一填,解依题意有,由①得m-1,因此m1,解得k2,巩固练习,注意自变量的范围,探究新知,因此C≥8cm等内容,欢迎下载使用。

    (1) 你们喜欢打篮球吗?
    (2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?
    1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象,概括出图象的特点,知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标,能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
    画出二次函数y=x2的图象.
    1. 列表:在y = x2 中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值:
    新知一 二次函数y=ax2的图象的画法
    2.描点:根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y)
    3.连线:如图,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y = x2 的图象.
    当取更多个点时,函数y=x2的图象如下:
    二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
    这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.
    对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
    画出函数y=-x2的图象.
    根据你以往学习函数图象性质的经验,说说二次函数y=x2的图象有哪些性质,并与同伴交流.
    1.y=x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点( 0 ,0 );5.图象有最低点.
    新知二 二次函数y=ax2的图象性质
    说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,并与同伴交流.
    1.y=-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点( 0 ,0 );5.图象有最高点.
    1. 顶点都在原点(0,0);
    3. 当a>0时,开口向上; 当a<0时,开口向下.
    2. 图像关于y轴对称;
    二次函数y=ax2的图象性质
    观察下列图象,抛物线y=ax2与y=-ax2(a>0)的关系是什么?
    二次项系数互为相反数,开口相反,大小相同,它们关于x轴对称.
    1.观察图形,y随x的变化如何变化?
    新知三 二次函数y=ax2的性质
    对于抛物线 y = ax 2 (a>0) 当x>0时,y随x取值的增大而增大; 当x<0时,y随x取值的增大而减小.
    二次函数y=ax2的性质
    2.观察图形,y随x的变化如何变化?
    对于抛物线 y = ax 2 (a<0) 当x>0时,y随x取值的增大而减小; 当x<0时,y随x取值的增大而增大.
    解:分别填表,再画出它们的图象,如图:
    当a>0时,a越大,开口越小.
    当a<0时,a越小(即a的绝对值越大),开口越小.
    对于抛物线 y = ax 2 ,|a|越大,抛物线的开口越小.
    a的绝对值越大,开口越小
    关于y轴对称,对称轴是直线x=0
    顶点坐标是原点(0,0)
    当x=0时,y最小值=0
    当x=0时,y最大值=0
    在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
    在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
    (3)函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是抛物线的最 点;
    (2)函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 顶点是抛物线的最 点;
    (1)函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;
    (4)函数y= -0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 .
    例 已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
    m+1>0 , ①
    m2+m=2 , ②
    解②,得m1=-2, m2=1.
    此时,二次函数为 y=2x2.
    二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
    物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系(g代表重力加速度,为定值)
    质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系(m为定值)
    物体做匀加速运动时,行驶路程与时间的关系(a代表加速度,为定值)
    新知四 二次函数y = ax2的实际应用
    例 已知正方形的周长为C cm,面积为S cm2,(1)求S与C之间的二次函数关系式; 即:S= (c>0)(2)画出它的图象;(3)根据图象,求出当S=1cm2时,正方形的周长;(4)根据图象,求出C取何值时,S ≥4cm2.
    解:(1)∵正方形的周长为Ccm,∴正方形的边长为 cm,∴S与C之间的关系式为S = ;(2)作图如右:(3)当S = 1cm2时,C2 =16,即C =4cm(4)若S ≥ 4cm2,即 ≥4,解得C ≥ 8
    ,或c≤-8(舍去).
    (1)若点(-2,y1)与(3,y2)在此二次函数的图象上, 则 y1_____ y2;(填“>”“=”或“<”);(2)如图,此二次函数的图象经过点(0,0),长方形ABCD的顶点A、B在x轴上,C、D恰好在二次函数的图象上,B点的横坐标为2,求图中阴影部分的面积之和.
    已知二次函数y=2x2.
    (2)解:∵二次函数y=2x2的图象经过点C,∴当x=2时,y=2×22=8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形,且y轴为它们的对称轴,∴OA=OB,∴在长方形ABCD内,左边阴影部分面积等于右边空白部分面积,∴S阴影部分面积之和=2×8=16.
    二次函数y=ax2的图象关于y轴对称,因此左右两部分折叠可以重合,在二次函数比较大小中,我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降),根据图象中函数值高低去比较;对于求不规则的图形面积,采用等面积割补法,将不规则图形转化为规则图形以方便求解.
    1.函数y=2x2的图象的开口 , 对称轴 ,顶点是 ; 在对称轴的左侧,y随x的增大而 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
    2.函数y=-3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
    3.如右图,观察函数y=( k-1)x2的图象,则k的取值范围是 .
    4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点:
    二次函数y=ax2的图象及性质
    以对称轴为中心对称取点
    1.已知二次函数y=x2,则其图象经过下列点中的( )A.(-2,4) B.(-2,-4)C.(2,-4) D.(4,2)
    2.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下,则m的取值范围是_________.3.如图是一个二次函数的图象,则它的解析式为____________,函数图象的最低点为__________.
    4.某同学在画某二次函数y=ax2的图象时,列出了如下的表格:(1)根据上面的表格可知这个二次函数的关系式是_________;(2)将表格中的空格补全;(3)画出这个二次函数的图象;(4)请说出这个二次函数的顶点和对称轴.
    (2)-1 2.5 25 4 (3)图象略(4)顶点为(0,0),对称轴是y轴
    5.对于函数y=4x2,下列说法正确的是( )A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而减小C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大
    9.已知关于x的二次函数y=mxm2-2.(1)求m的值;(2)当m为何值时,二次函数有最小值?求出这个最小值,并指出x取何值时,y随x的增大而减小;(3)当m为何值时,二次函数的图象有最高点?求出这个最高点,并指出x取何值时,y随x的增大而增大.
    解:(1)m=±2 (2)m=2;y最小=0;x<0(3)m=-2;最高点(0,0);x<0
    10.已知在同一平面直角坐标系中,函数y=ax(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象有可能是( )
    11.已知点(a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,且a<-1,则(  )A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
    12.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=2x2与y=-2x2的图象,则阴影部分的面积是________.
    13.如图是下列二次函数的图象:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.比较a,b,c,d的大小,用“>”连接为________________.
    14.已知y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,且当x>0时,y随x的增大而减小.(1)求m的值;(2)画出该函数的图象. 解:(1)∵y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,∴m2+m=2且m+1≠0.则m=-2或m=1.又∵x>0时,y随x的增大而减小,∴m+1<0,m<-1,故m=-2 (2)画图略
    16.如图,直线AB经过x轴上一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于B,C两点,点B的坐标为(1,1).(1)求直线AB和抛物线y=ax2的解析式;(2)若抛物线上存在第一象限内的点D,使得S△AOD=S△BOC,求点D的坐标.
     解:(1)直线AB的解析式为y=-x+2,抛物线的解析式为y=x2
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