人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质示范课ppt课件

这是一份人教版九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质示范课ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了yx2，图象开口向上，解列表如下，y−x2，由①得m－1，∴m1，y1＞y2＞y3，能力提升，∴OA＝OB等内容，欢迎下载使用。

例1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝x2是一条抛物线；
4.顶点（ 0 ，0 ）；
3.图象关于y轴对称；
问题：观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？
从二次函数y=x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
描点、连线，如图所示：
（2）当a＞0时，二次函数y = ax2的图象有什么特点？
对于抛物线 y = ax2 （a＞0） 抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
问题：观察图象，y随x的变化如何变化？
从二次函数y=-x2的图象可以看出：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=−ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数， 开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
3.函数y= x2的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
2.函数y=−3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；
1.函数y=4x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
4.函数y= −x2的图象的开口 ，对称轴是____，顶点是 .
例3 已知二次函数y=x2．（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
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（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，−4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（−2，4）， 点A关于原点O的对称点D的坐标为（−2，−4）；
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（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=−x2的图象上吗？
当x=−2时，y=x2=4，所以点C在二次函数y=x2的图象上；当x=2时，y=−x2=−4，所以点B在二次函数y=−x2的图象上；当x=−2时，y=−x2=−4，所以点D在二次函数y=−x2的图象上．
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例4 已知 y =(m+1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
解②得：m1=－2，m2=1
此时，二次函数的解析式为 y=2x2.
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例5 已知二次函数y＝ax2.(1)若a=2,点(−2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)
(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
提示：将x=-2,x=3分别代入y=2x2,得出y1，y2的值，再比较大小
提示：根据a＞0，x＞0时，y随x的增大而_____得出结论
提示：画出草图，在图象上标出y1，y2，y3，直观得出结论
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二次函数 y = ax2 中比较函数值的大小的方法：
① 直接代入法：将x的值分别代入函数解析式中，求出y值再比较大小，多用于a值确定的情况，如例5(1)；
②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x之间的大小关系，得出其对应y值的大小关系；多用于自变量x在对称轴同一侧的情况，如例5(2)；
③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断y值的大小.多用于a值不确定且x值不在对称轴同侧的情况，如例5(3).
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1.函数y=5x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 .
2.函数y=−3x2的图象的开口 ，对称轴为 ，顶点是 ；在对称轴的左侧， y随x的增大而 ，在对称轴的右侧， y随x的增大而 .
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3.如右图，观察函数y=(k-1)x2的图象，则k的取值范围是 .
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
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5.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(−1，2). （1）则a的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 . （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点 . 抛物线在x轴的 方（除顶点外）. （4）若A(x1 , y1)，B(x2 , y2)在这条抛物线上，且x16.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
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7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得 解得所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(−1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
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如图，二次函数y＝2x2的图象经过点(0，0)，长方形 ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. 即BC=8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图 形，且y轴为它们的对称轴，
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∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.
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二次函数y=ax2的图象及性质
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