2021学年第3章 圆的基本性质综合与测试练习

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第七讲 圆的轴对称性同步练习基础巩固1．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5 cm，水面宽AB为8 cm，则水的最大深度CD为（　　）A．4 cm B．3 cm  C．2 cm  D．1 cm答案：C解析：∵OD⊥AB，且AB=8 cm，∴AC=BC=4 cm，∵OA=5 cm，∴OC=3 cm，∴CD=5-3=2 cm.故选C.2．如图，将半径为4 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（　　）                        A．4 cm B． cm C．（2+）cm D． cm答案：B解析：如图，作点O关于直线AB对称点D，连接OD交AB于点C，连接OA.∵点O，D关于直线AB对称，∴AB垂直平分AB，∵点O为圆心，∴AC=BC，OC=CD.∵OD=r=4 cm，∴OC=CD=2 cm，∵OA=r=4 cm，∴AC=2cm，∴AB=4cm，故选B.3．“两龙”高速公路是目前我省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道单心圆的半径OA是（　　）A．5 B． C． D．7答案：B解析：设半径OA=x，则OC=x，∵CD=7米，∴OD=（7-x）米，∵OD⊥AB，∴AD=AB=5米，∵OA²=OD²+AD²，∴x²=（7-x）²+5²，解得x=.故选B.4．如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（　　）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C.解析：在圆O中，∵直径AB=10，∴OA=OC=OB=5；①过点E作CD⊥AB，垂足为点E，此时为过点E的弦中最短，∵CD⊥AB，∴CE=CD，∵OE=4，OC=5，∴CE=3，∴CD=6;②由圆内最长的弦为直径，如图过点E的直径AB为最长为10，故共有1+2+2+2+1=8条，选C.5．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（　　）A．5 B．7 C．9 D．11答案：C解析：当OM⊥AB时OM最短，最短为OM==8；当点M与点A或点B重合时，OM最长等于半径为10，故8≤OM≤10.故选C.6．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD=30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB=3，则BC=　   　．                     答案：3.解析：∵OB⊥AD，∴∠AOB=90°，∵∠CAD=30°，且OB=3，∴AB=2OB=6，∴AO=，∵AD为直径，∴AD=2OA=6，∠ACD=90°，∵∠CAD=30°，∴CD=AD=3，∴AC=，∴BC=AC-AB=9-6=3，故答案为3.7．已知圆的两条平行弦分别长6 dm和8 dm，若这圆的半径是5 dm，则两条平行弦之间的距离为　   　．答案：7 dm或1 dm.解析：如图所示，弦AB=6 dm，CD=8 dm，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，则AE=BE=4 dm，CF=DF=3 dm，∵OA=0C=5 dm，∴OE=3 dm，OF=4 dm.①如图1所示，当AB，CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=7dm；②如图2所示，当AB，CD在圆心同侧时，EF=OF-OE=1dm.综上所述：EF=7dm或1 dm.8．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；（2）以原点O为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．【解答】解：（1）所作图形如图所示，C1（-1，-4）．（2）所作图形如图所示，C2（1，4）．中档题9．如图所示，阴影部分的面积S是h的函数（0≤h≤H），则该函数的图象是（　　）A． B． C． D．答案：A.解析：当h=H时，阴影部分面积S=0，故B，D错误；当0≤h≤H时，阴影部分面积S随h增大而增大，故C错误.本题选A.10．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）                 A．2 B．4 C．4 D．8答案：4解析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，E两点，连接OA，OB，DA，DB，EA，EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB×CD+AB×CE=AB×（CD×CE）=AB×DE=×2×4=4.11．如图，⊙O的直径AB=10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP=2，MP=2，那么弦心距OQ为　   　．             答案：.解：∵直径AB=10，AP=2，∴OA=OM=5，OP=3，在Rt△OMQ中，OM2=OQ2+（MP+PQ）2，即52=OQ2+（2+PQ）2①，在Rt△OPQ中，OP2=OQ2+PQ2，即32=OQ2+PQ2②，①②联立可得OQ=，PQ=.故答案为：．12．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD=AN； （2）若AB=4，ON=1，求⊙O的半径．                解：（1）证明：∵AB⊥CD，∴∠C+∠B=90°，∵AM⊥BC，∴∠C+∠CNM=90°，∴∠B=∠CNM，∵∠CNM=∠AND，∵∠B，∠D同对弧AC，∴∠B=∠D，∴∠AND=∠D，∴AD=AN.（2）连接OA，设OE=x，∵ON=1，∴EN=x+1，∵直径CD⊥AB，且AB=4，∴AE==2.∵AD=AN，∴ED=DN=x+1，∴OE=2x+1=OA，在Rt△AOE中，∵OA²+AE²+OE²，∴（2x+1）²=x²+（2）²，解得x=-（舍去），x=1，∴圆O的半径OA=2x+1=3.13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x-8，∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x-8）2+122，解得x=13，∴圆O的半径为13.（2）∵OM=OB，∴∠M=∠B，∴∠DOE=2∠M，又∠M=∠D，∴∠D=30°，在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，∴OE=4.14．如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．（1）求这座拱桥所在圆的半径．（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．        解：（1）连接OA，根据题意得CD=4米，AB=12米，则AD=AB=6（米）.设这座拱桥所在圆的半径为x米，则OA=OC=x米，OD=OC-CD=（x-4）米，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，则x2=（x-4）2+62，解得x=6.5，故这座拱桥所在圆的半径为6.5米．（2）货船不能顺利通过这座拱桥．理由：连接OM，设MN=5米，∵OC⊥MN，∴MH=MN=2.5（米），在Rt△OMH中，OH=（米），∵OD=OC-CD=6.5-4=2.5（米），OH-OD=6-2.5=3.5（米）＜3.6米，∴货船不能顺利通过这座拱桥．15．中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学．1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6 m时，水面宽34.64 m，已知桥拱跨度是37.4 m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（运算时取37.4=14，34.64=20）．            解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=14m，CD=34.6=20m，GE=6 m，在Rt△OCE中，OE=OG-6，CE=10，∵OC²=CE²+OE²，∴OC²=（10）²+（OC-6）²，解得OC=28，∴OC=28 m.在Rt△OAF中，AF=7，∴OF=，∴拱高GF=28-21=7 m.拓展提高题16．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b．（1）求弦CD的长；（2）如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值．                       解：（1）连接OC，OC=，OP=-a=，∴PC²=OC²-OP²=，∴CD=2CP=2.（2）∵CD≤AB，∴2≤a+b=10，∴ab≤25，故ab的最大值为25，此时a=b=5.