初中浙教版第3章 圆的基本性质综合与测试随堂练习题

这是一份初中浙教版第3章 圆的基本性质综合与测试随堂练习题，共17页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
第七講 圓的軸對稱
考點1：有關概念的考察
分析：在概念題型中就注意概念的條件！比如對稱軸一定要是直線，所有說直徑是圓的對稱軸是錯誤的，還有平分弦的直徑必定垂直弦，也是錯誤的，因為直徑和直徑會互相平分，但不一定垂直，也就是說一定要加上（不是直徑的弦）.
例題1：下列說法正確的是（ ）
A. 直徑是圓的對稱軸 B.經過圓心的直線是圓的對稱軸
C.與圓相交的直線是圓的對稱軸 D.與半徑垂直的直線是圓的對稱軸
答案：B
解析：直徑所在直線為圓的對稱軸或經過圓心的直線是圓的對稱軸，故A，C，D錯誤，B正確；選B.

例題2：下列命題中，正確的命題是（　　）
A．平分一條弧的直徑，垂直平分這條弧所對的弦
B．平分弦的直徑垂直於弦，並平分弦所對的弧
C．在⊙O中，AB，CD是弦，若弧AC=弧BD，則AB∥CD
D．圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓的每一條直徑
答案：A
解析：A正確；B平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並平分弦所對的弧，故錯誤；
C不能證出，故錯誤；D對稱軸為圓的每一條直徑所在的直線，故錯誤.選A.
考點2：垂徑定理和垂徑定理的推論引申出的計算題
分析：一般地，當題目中出現了告訴弦長，或者要求弦長的題，我們都可以用九個字可以解決：“做垂直，連半徑，用勾股”.作垂直就是通過圓心對已知弦或所求的弦長作垂直.然後連接半徑組成直角三角形用畢氏定理.基本都能解出來.
類型1：利用等面積來求
例題1：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交於點D，則AD的長為（　　）

A． B． C． D．
答案：A
解析：過點C作CF⊥AD於點F.∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵CF⊥AD，
∴，∴CF=，∴AF==DF，∴AD=，故選A.
例2．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．
（1）求證：BC=BD；
（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長．

解：（1）證明：在圓O中，∵直徑AB⊥CD，∴，∴BC=BD.
（2）解：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵BC=BD=15，AD=20，∴AB=25，
∵直徑AB⊥CD，
∴CE=DE，，∴DE=12，∴CD=24.
綜上所述：AB=25，CD=24.
類型2：平行
例題1：如圖，AB為⊙O的一固定直徑，自上半圓上一點C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分線交⊙O於點P，當點C在上半圓上（不包括A，B兩點）移動時，則對點P的判斷正確的是（　　）

A.到CD的距離保持不變 B.與點C的距離保持不變
C.平分 D.位置不變
答案：C
解析：如圖，連接OP，∵CP平分∠OCD，∴∠OCP=∠DCP，
∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC，∴∠OPC=∠DCP，
∴CD∥OP，∵CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴點P平分.故選C.
例題2：如圖，AB是半圓O的直徑，AC為弦，OD⊥AC於D，過點O作OE∥AC交半圓O於點E，過點E作EF⊥AB於F．若AC=2，則OF的長為（　　）

A． B． C．1 D．2
答案：C
解析：在半圓O中，∵OD⊥AC，∴AD=CD，∠ADO=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠AOD＋∠EOF=90°，∵EF⊥AB，∴∠EFO=90°=∠ODA，∴∠EOF＋∠OEF=90°，∴∠AOD=∠OEF，∵OA=OE=r，∴△AOD≌△OEF（AAS），∴OF=AD，∵AD=CD=，且AC=2，∴OF=1.故選C.
例題3：如圖，矩形紙片ABCD一邊BC過圓心O，且AB=4 cm，BE=3 cm，AF=5 cm，求圓的半徑．

解：如圖，連接OF，過點F作FH⊥BC於點H.
∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠B=90°，
∵FH⊥BC，
∴∠BHF=90°=∠A=∠B，∴四邊形ABHF為矩形，∴AB=FH=4，AF=BH=5，
∵BE=3，∴EH=2，
∵OF=OE=R，∴OH=R-2，
∵OF²=FH²+OH²，∴R²=4²+（R-2）²，解得R=5，即圓的半徑為5.
例題3：如圖所示，△PQR為⊙O的內接三角形，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，BC//QR，則∠AOQ=( )
A.60° B.65° C.72° D.75°

答案：D
解：連接OD，AR，∵△PQR是⊙O的內接正三角形，∴∠PRQ=60°，∴∠POQ=2×∠PRQ=120°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，∴△AOD為等腰直角三角形，∴∠AOD=90°，∵BC∥RQ，AD∥BC，
∴AD∥QR，∴∠ARQ=∠DAR，∴弧AQ=弧DR，
∵△PQR是等邊三角形，∴PQ=PR，∴弧PQ=弧PR，
∴弧AP=弧PD，∴∠AOP=∠AOD=45°，所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．故選D．
類型3：特殊角度
例題1：已知⊙O的半徑是10 cm，是120°，那麼弦AB的弦心距是（　　）
A．5 cm B． C． D．
答案：A
解析：過點O作OC⊥AB，∵弧AB=120°，∠AOB=120°，∵OA=OB，∴∠A=∠B=30°，∵OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴OA=2OC，∵OA=10，∴OC=5.故選A.
.

例題2：如圖所示，在圓O內有折線OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，則BC的長為 .

答案：20
解：延長AO交BC於D，作OE⊥BC於E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°，∴△ADB為等邊三角形，
∴BD=AD=AB=12，∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=2，∴BE=10，∴BC=2BE=20.

例題3：在平面直角坐標系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數y=x的圖像被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是　 　．


答案：2+
【解答】解：過P點作PE⊥AB於E，過P點作PC⊥x軸於C，交AB於D，連接PA．
∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．
∵點D在直線y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，
∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．
∵⊙P的圓心是（2，a），∴點D的橫坐標為2，∴OC=2，∴DC=OC=2，
∴a=PD+DC=2+．故答案為：2+．
例題5：如圖，⊙O的半徑是4，點P是弦AB延長線上的一點，連接OP，若OP=6，∠APO=30°，則弦AB的長為（　　）

A． B． C．5 D．10
答案：B
解析：作OC⊥AB於C，連接OA，如圖，則AC=BC，∵OP=6，∠APO=30°，∴OC=3，
在Rt△OAC中，∵OA=4，OC=3，∴AC=，∴AB=2AC=2．故選B．
例題6：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB於點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為________

答案：2.
解析：過點O作OH⊥CD，垂足為點H，連接OC.∵AP=2，BP=6，∴直徑AB=8，∴OA=OB=OC=4，∴OP=4-2=2，∵OH⊥CD，∴CH=DH=CD，∠OHP=90°，∵∠OPH=∠APC=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵∠OHC=90°，
∴OC²=OH²+CH²，∴4²=1²+CH²，解得CH=，∴CD=2CH=2.


類型4：中位線
例題1：如圖，在半徑為4的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D，E．若四邊形AOBC的面積為10，則△DOE的面積是　 　．

答案：.
解析：如圖，連接OC，AB.∵∠AOB=90°，OA=OB=4，∴AB=4，S=8，∵S=10，
∴S=10-8=2，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD=CD，AE=CE，∴S=S，S=S，DEAB，
∴S==5，△CDE∽△CBA，∴，∴S=，
∴S=S-S=5-=.
例題2：如圖，AB是半圓O的直徑，E是的中點，OE交弦BC於點D，已知BC=8 cm，DE=2 cm，則AD的長為　 　cm．

答案：.
解析：連接AC，∵E是弧BC的中點，∴OE垂直平分BC，∵BC=8 cm，∴BD=CD=4 cm，設OB=OE=OA=r，∵DE=2 cm，∴OD=（r-2）cm，在Rt△BOD中，∵BO²=OD²+BD²，∴r²=（r-2）²+4²，解得r=5，∴OD=3 cm，∵OB=OA，BD=CD，∴OD為△BAC的中位線，∴ODAC，∴AC=6 cm，∵AB為直徑，∴∠C=90°，∴AD=.
類型5：三線合一
例題1：如圖，已知CD是⊙O的弦，點A，B在CD所在的直線上，且OA=OB．求證：AC=BD．


證明：過點O作OE⊥CD於點E，在圓O中，∵OE⊥CD，∴CE=DE，∵OA=OB，∴AE=BE，∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD.
例題2：如圖，在平面直角坐標系中，點O為座標原點，點P在第一象限，⊙P與x軸交於O，A兩點，點A的座標為（6，0），⊙P的半徑為，則點P的座標為　 　．


答案：（3，2）
解析：連接OP，過點P作PD⊥x軸，垂足為點D.在圓P中，∵PD⊥OA，且OA=6，∴AD=OD=3，∵OP=，∴PD=2，∵點P在第一象限，∴P（3，2）.
類型6：利用平分弧或弦得出垂直解決問題及其他
例題1：如圖所示，D，E分別是弧AB.弧AC的中點，DE交AB於M，交AC於N．求證：AM=AN．

證明：連接OD，OE分別交AB，AC於點F，G.
∵D，E分別為弧AB.弧AC的中點，∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠DFM=∠EGN=90°，
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∴∠DMF=∠ENG，
∵∠DMF=∠AMN，∠ENG=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN.
例題2：如圖，在⊙O中，兩弦AB與CD的中點分別是P，Q，且，連接PQ，求證：∠APQ＝∠CQP.

證明：連接OP，OQ.∵弧AB=弧CD，∴AB=CD，∵P，Q分別是弦AB，CD的中點，∴OP⊥AB，OQ⊥CD，
∴∠OPA=90°=∠OQC，OP=OQ，∴∠OPQ=∠OQP，∴∠OPA－∠OPQ=∠OQC－∠OQP，即∠APQ=∠CAP.
例題3：如圖，兩正方形彼此相鄰且內接於半圓，若小正方形的面積為16 cm2，則該半圓的半徑為 ．


答案：4cm.
解析：連接OA，OB，OE.∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=BC=CD，∠ADO=∠BCO=90°，∵OA=OB，
∴Rt△ODA≌Rt△OCB（HL），∴OD=OC，設OD=OC=x，則BC=2x，
∵正方形CFEG的面積為16 cm²，
∴CF=EF=4 cm，∴OF=（x+4）cm，
∵OE²=OF²+EF²，OB²=OC²+BC²，且OE=OB，∴OF²+EF²=OC²+BC²，
即（x+4）²+4²=x²+（2x）²，解得x=-2（舍去），x=4，∴OF=8 cm，∴OE=8²+4²=4cm.
例題4：如圖，過▱ABCD中的三個頂點A，B，D作⊙O，且圓心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB於點E，⊙O的半徑為5，求▱ABCD的面積．


解：連接OA.在圓O中，∵OD⊥AB，且AB=8，∴AE=BE=4，∵OA=5，∴OE==3，∴DE=OD-OD=2，
∴S=AB×DE=8×2=16.
考點3：垂徑定理有關的油箱、過橋等應用問題
分析：只要把應用問題中要求的量翻譯成我們幾何中需要求的量即可，然後再利用“九字方針”
例題1：工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑，假設鋼珠的直徑是10 mm，測得鋼珠頂端離零件表面的距離為8 mm，如圖所示，則這個小孔的直徑AB是
mm．


答案：8
解析：由題意可知OC=8-5=3 mm，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB，∠OCA=90°，
∵OA=5 mm，OC=3 mm，∴AC=4 mm，
∴AB=8 mm.
例題2：某地有一座圓弧形拱橋，圓心為O，橋下水面寬度為7.2 m，過O作OC⊥AB於D，交圓弧於C，CD=2.4 m（如圖所示）．現有一艘寬3 m、船艙頂部為正方形並高出水面AB 2m的貨船要經過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？


解：由題意，得MN=3 m，DE=2 m，AB=7.2 m，連接OB，ON，∵OC⊥AB交AB於點D，∴∠ODB=90°，AD=BD=3.6 m，設OB=x=OC，∵CD=2.4 m，∴OD=（x-2.4）m，∵OB²=OD²+BD²，∴x²=（x-2.4）²+3.6²，解得x=3.9，∴OB=ON=3.9 m，OD=1.5 m.
∵OC⊥MN交MN於點E，且MN=3 m，∴ME=NE=1.5 m，∴OE=2.4 m＞2m，
∴貨船能順利通過這座拱橋.
例題3：如圖，在直徑為52 cm的圓柱形油槽內有一些油，截面如圖所示，油的最大深度為16 cm；如果往油槽內在注入一些油，每分鐘油面上升1 cm，問經過多少時間後，油面寬度AB和原來一樣寬？

解：∵OC=52÷2=26 cm，且CD=16 cm，∴OD=10 cm.
∵油面寬度一樣，∴油面上升的高度為2OD=20 cm，
∴t=20÷1=20（分鐘）.
答：經過20分鐘後，油面寬度AB和原來一樣寬.
例題4：“五一”節，小雯和同學一起到遊樂場玩大型摩天輪，摩天輪的半徑為20 m，勻速轉動一周需要12 min，小雯所坐最底部的車廂（離地面0.5 m）．
（1）經過2 min後小雯到達點Q，如圖所示，此時他離地面的高度是多少？
（2）在摩天輪滾動的過程中，小雯將有多長時間連續保持在離地面不低於30.5 m的空中？


解：（1）過點Q作QB⊥OA，由題意，得∠BOQ=360°×=60°，∵QB⊥OA，∴∠OBQ=90°，∴∠OQB=30°，∴OB=OQ，∵OQ=20 m，∴OB=15 m，∵OA=OT+AT=20+0.5=20.5 m，∴BA=OA-OB=20.5-10=10.5 m，
∴此時他離地面的高度為10.5 m.
（2）如圖所示，由題意，得MA=30.5 m，過M作GD⊥TH，∵OA=20.5 m，∴OM=10 m，∵OG=20 m，∴OM=OG，∵GD⊥TH，∴∠OMG=90°，∴∠OGM=30°，∴∠MOG=60°，∴∠DOG=120°，∴弧GD=圓O，∴t=12×=4（分鐘），∴小雯由4分鐘事件保持在離地面不低於30.5米的高空上.
考點4：和垂徑定理有關的分類討論
分析：主要是考察多種情況，因為圓上一點可以做出兩條長度相等的弦，直徑除外.
例題1：（1）圓O的半徑是5，弦AB=6，CD=8，且AB//CD，求弦AC長度.
（2）已知圓的兩弦AB，CD的長是方程的兩根，且AB//CD，又知兩弦之間的距離是3，則該圓的半徑長為____________.




（2）答案:15.
例題2：(1)已知圓的兩弦AB，AC的長分別為，，且圓的半徑為4，則∠BAC= .
(2) 已知圓的兩弦AB，AC的長分別為，，且圓的半徑為4，取AB的中點E，AC的中點F，則∠EOF= .
解（1）連接OA，過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，∵AB=4，AC=，∴AE=AB=2，AF=AC=2，
∵OA=4，∴OE==OA，OF==AF，∴∠OAE=30°，∠OAF=45°.
①當AB，AC分別在圓心O的兩側時，如圖1，∠BAC=45°+30°=75°；
②當AB，AC在圓心的同側時，如圖2，∠BAC=45°-30°=15°.


圖1 圖2
（2）由（1）可知，∠AOE=90°-30°=60°，∠AOF=90°-45°=45°.
①當AB，AC在圓心兩側時，如圖1所示，∠EOF=∠AOF+∠AOE=105°；
②當AB，AC在圓心同側時，如圖2所示，∠EOF=∠AOE-∠AOF=15°.
例題5：如圖所示，若⊙O 的半徑為 13 cm，點 P 是弦 AB 上一動點，且到圓心的最短距離為 5 cm，則弦 AB 的長為_____，使 OP 的長為整數的點 P 共有_____個．


答案：24 cm；9.
解析：①如圖所示，作OP⊥AB，連接OB，∵OB⊥AB，∴AP=BP=AB，∵OB=13 cm，OP=5 cm，∴BP=12 cm，∴AB=24 cm.
②當OP⊥AB時最短，最短為5 cm，當點P與點A或點B重合時最長，最長為13 cm，∴5 cm≤OP≤13 cm，
∴能使OP的長為整數的有5 cm，6 cm，7 cm，8 cm，9 cm，10 cm，11 cm，12 cm，13 cm，共9個.