数学九年级上册第3章 圆的基本性质综合与测试同步练习题

这是一份数学九年级上册第3章 圆的基本性质综合与测试同步练习题，共30页。
第八讲 圆的有关角度
考点1：相关概念题
分析：熟悉知一推三、等弧等概念，主要几个易搞错的概念是：三点（不在同一直线上）确定一个圆，垂径定理上有十个概念.我们找出条件中的两个量，特别注意平分弦为已知条件一定强调（不是直径），等弧所对的圆周角相等.相等的弦所对的圆周角不相等，圆的对称轴是直径（所在的直线）.（同圆弧等圆中）相等的圆心角所对的弦相等.知一推三一定要强调在同圆或等圆中.
例题1：下列命题正确的有（　　）
（1）相等的圆心角所对的弧相等；
（2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（3）直径所对的圆周角是直角；
（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
答案：D.
解析：（1）缺少在同圆或等圆中；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（3）正确；（4）圆的对称轴为直径所在的直线；故本题选D.
例题2：下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；　②三角形的外心到这个三角形三条边距离相等；③一条弧所对的圆心角是这条弧所对的圆周角的两倍；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧相等．其中错误的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D.
解析：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；
②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；③正确；④圆的对称轴为直径所在的直线，故错误；⑤缺少在同圆或等圆中，故错误；
故错误的有①②④⑤，选D.
例题4：下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弦所对的弧相等
C．度数相等的弧是等弧
D．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
答案：D
解析：A，B，C均缺少在同圆或等圆中；故选D.
例题5：在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（　　）
A．弧AB＞2弧CD B．弧AB＜2弧CD
C．弧AB=2弧CD D．不能确定
答案：A
考点2：知弦相等推三
分析：已知弦相等，然后转化到弧相等，通过弧的加减，然后得出弦相等或弦心距相等等问题.
例题1：如图，AB， CD是⊙O的两条弦，且AB=CD ， 点M是的中点，求证：MB=MD.




证明：在圆O中，∵M是弧AC的中点，∴弧AM=弧CM，
∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，
∴弧AB+弧AM=弧CD+弧MC，即弧BM=弧DM，∴BM=DM.
例题2：如图所示，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC= _________．

答案：125°.
解析：由题意可知DE=FG=HP，过点O作OM⊥PH，ON⊥BC，OQ⊥QC，则OM=ON=OQ，∴BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠OBC+∠OCB=55°，∴∠BOC=180°-55°=125°.
考点3：知弧或圆心角推三
分析：我们要知道在同圆或等圆中，弧是可以加减得出相等的，要通过弧的加减，然后得出弦相等或弦心距相等.这类题型比较多.
例题1：如图，在⊙O中，∠AOB =∠COD．求证：， AC=BD.

证明：在圆O中，∵∠AOB=∠COD，∴弧AB=弧CD，
∴弧AB-弧BC=弧CD-弧CB，∴弧AC=弧BD，∴AC=BD.
例题3：如图，AB， CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连接BD ， DE.求证：BD=DE.




证明：连接OE，∵OE=OA，∴∠A=∠OEA，∵AE∥CD，∴∠A=∠AOC，∠OEA=∠DOE，∴∠AOC=∠DOE，
∵∠AOC=∠BOD，∴∠DOB=∠DOE，∴BD=DE.

例题4：如图，⊙O上有A，B，C，D四点，且满足弧AB=弧BC=弧CD，连接OB交AC于点M，连接OC交BD于点N，求证：△OMN是等腰三角形.


证明：∵弧AB=弧BC=弧CD，∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∵弧AB+弧BC=弧CD+弧BC，∴弧AC=弧BD，∴AC=BD，
∴OM=ON，∴△OMN为等腰三角形.
例题6：如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM，若AB=6，则CD=_______．

答案：6.
解析：连接OM，ON；在圆O中，∵M，N分别为AB，CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMA=90°=∠ONC.
∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMA-∠AMN=∠ONC-∠CNM，即∠OMN=∠ONM，∴OM=ON，∴AB=CD=6.
考点4：已知弦心距推三
分析：弦心距相等一般都会被隐藏在角平分线上，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，也就是说我们要通过圆心对角的两边做垂线，然后通过弦心距相等推导出其他三项成立.
例题1：如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B， A，PC交⊙O于点D， C两点，∠1=∠2，求证： PB=PD.

证明：过点O作OM⊥AB，ON⊥CD.
∵∠1=∠2，∴PO平分∠APC，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，
∴AB=CD，∴AM=CN.
在Rt△POM与Rt△PON中，∵，∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴PM=PN，
∴PM+AM=PN+CN，即PB=PD.
例题4：如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若AB=CD，OP平分∠APD，求证AC=BD.

证明：在圆O中，∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴弧AB-弧BC=弧CD-弧CB，即弧AC=弧BD，∴AC=BD.
考点5：综合
例题1：如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求BE，CF的长．

解：（1）证明：∵CE⊥AB，∴∠CBE＋∠BCE=90°，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠A＋∠ABC=90°，
∴∠A=∠BCE，
∵∠A，∠D同对弧BC，∴∠A=∠D，∴∠BCE=∠D.
∵C是弧BD的中点，∴弧CD=弧BC，
∴CD=CB，∴∠D=∠CBD，∴∠CBD=∠BCE，∴CF=BF.
（2）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
∵AC=8，BC=CD=6，∴AB=10，∵S=，
∴CE=，
设CF=BF=x，则EF=-x，
在Rt△BCE中，∵CE=，BC=6，∴BE==.
在Rt△BEF中，∵BF²=BE²+EF²，∴x²=（）²+（-x）²，解得x=，∴CF=.
综上所述，BE=，CF=.
例题4：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB．
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=2，∠AOE=30°，求OE的长．

解：（1）证明：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC，
∵AB∥OC，∴∠C=∠BAC，∴∠BAC=∠OAC，∴AC平分∠OAB.
（2）解：在圆O中，∵OE⊥AB，且AB=2，∴AE=AB=1，
∵∠AOE=30°，∴OA=2AE=2，
∴OE=.
例题7：△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE∥AB交⊙O于E，交AC于P．求证：AC=DE，PO平分∠APD．

证明：①∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，
∵DE∥BC，∴∠1=∠D，∴∠2=∠D，
∴弧CD=弧AE，∴弧AE+弧CE=弧CD+弧CE，即弧AC=弧DE，∴AC=DE.
②在圆O中，过点O作OM⊥AC，ON⊥DE，
∵AC=DE，且OM⊥AC，ON⊥DE，∴OM=ON，∴PO平分∠APD.
例题8：已知：如图，⊙O的两条半径OA⊥OB，C，D是的三等分点，OC，OD分别与AB相交于点E，F．求证：CD=AE=BF．

证明：连接AC，BD，∵OA⊥OB，且OA=OB，∴∠AOB=90°，∠OAB=∠OBA=45°.
∵C，D是弧AB的三等分点，∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD=30°，OA=OC=OD，∴△ACO≌△DCO，
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠OEF=∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠OCD，∴∠ACO=∠AEC，
故AC=AE，同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD，∴CD=AE=BF．
例题2：如图，在圆O中，弦AB⊥CD于E，弦AG⊥BC于F，CD与AG相交于点M．
（1）求证：=；
（2）如果AB=12，CM=4，求圆O的半径．

解：（1）证明：∵AB⊥CD，AG⊥BC，∴∠AEM=∠CFM=90°，
∵∠AME=∠CMF，∴∠MAE=∠MCF，
即∠BAG=∠BCD，∴弧BD=弧BG.
（2）解：连接OA，OB，OC，OG，CG，作OH⊥CG于H，OK⊥AB于K，如图2所示.
则CH=GH=CG，AK=BK=AB=6，
∵∠DCB=∠BAG，∠DCB+∠CMF=90°，∠BAG+∠ABF=90°，
∴∠CMF=∠ABF，
∵∠ABF=∠AGC，∴∠CMF=∠AGC，∴CG=CM=4，∴GH=2，
∵AG⊥BC，∴∠AFB=90°，
∴∠FAB+∠FBA=90°，
∴弧BG的度数+弧AC的度数=180°，
∴∠COG+∠AOB=180°，∴∠HOG+∠BOK=90°，
∵∠HGO+∠HOG=90°，
∴∠HGO=∠BOK，
在△HOG和△KBO中，∵，∴△HOG≌△KBO（AAS），
∴OK=HG=2，∴OB=，即⊙O的半径为2.
考点6：利用轴对称求线段之和最小值
分析：这类题型见怪不怪了，只不过现在要利用圆的轴对称性来解决问题，还是我们前面归纳过的几种题型之一.
例题1：如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径 MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是　　．

答案：.
解析：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，
如图所示．∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′．
∵点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，
∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．
∵OA=OB′=1，∴AB′=.
故答案为．
例题3：如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　　．

解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴弧AN=弧A’N，
∵∠AMN=20°，∴∠A′ON=40°，∠BON=20°，
∴∠A′OB=60°，∴△A′OB是等边三角形，∴A′B=MN=4，即PA+PB的最小值4．故答案为4．
考点7：圆心角和圆周角的关系
分析：在同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
例题1：如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=1600， 则∠BAD的度数是 ，∠BCD的度数是 .

答案：80°，100°.
解析：由同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一般可知：∠BAD=∠BOD=80°.
∵弧BAD+弧BD=360°，且弧BD=160°，∴弧BAD=200°，∴∠BCD=100°.
例题2：如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在弧AB上，则∠DPC = .

答案：45°.
解析：连接OD，OC.∵四边形ABCD为正方形，∴∠COD=90°，∵∠DPC所对弧CD，∴∠CPD=45°.
考点8：相等的弧所对的圆周角相等性质
分析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，经常会出现找出相等的角度，或通过找出相等的圆周角来解决问题.我们要找出相等的弧，然后通过相等的弧反射出相等的圆周角.
例题1：如图，AC是⊙O的直径，点B， D在⊙O上，那么图中等于∠BOC的角有（ ）
A. 1个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个

答案：C
解析：∵弧BC所对圆心角为∠BOC，圆周角为∠A，∠D.∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，故等于∠BOC的角有∠A，∠OBA，∠D，共3个.故选C.
例题2：如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个


答案：D
解析：∵在△ADO和△DOE中，∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠DAB=∠EDO，∠ADO=∠DEO，
∵AO=DO，∴∠DAB=∠ADO，∴∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∠AEB=90°.
∵AD=DE，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DAB=90°-∠ABD，∠BCE=90°-∠DBE，∴∠DAB=∠BCE，
∴∠DCA=∠DAB=∠ADO=∠ODE=∠DEO，则与∠ECB相等的角有5个．故答案为D．
例题3：如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（　　）
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对

答案：C
解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB，∠CBD=∠CAD，∠BDC=∠BAC，∠ABD=∠ACD.
由对顶角相等知：∠1=∠3，∠2=∠4.共有6对相等的角．故选C．
考点9：结合外角性质解决角度问题
分析：我们首先要看已知的或要求的角度是否是圆周角或圆心角，若不是它就和弧一点关系都没有了，那么我们要利用外角的性质来转化成圆周角的性质来解决问题.
例题1：如图，弦AB， CD相交于点E ， =600， =400，则∠AED= .

答案：50°.
解析：连接BD，∵弧AD=60°，弧BC=40°，∴∠B=30°，∠D=20°，∴∠AED=∠B+∠D=50°.
例题3：如图，PB交⊙O于点A ， B，PD交⊙O于点C ， D，已知=420 ， =380，则∠P＋∠Q的度数为 .

答案：40°.
解析：∵弧DQ=42°，弧BQ=38°，∴∠BAQ=19°，∠DCQ=21°.∵∠BAQ＋∠PAQ=180°，
∠DCQ＋∠PCQ=180°，∴∠BAQ+∠PAQ+∠PCQ+∠DCQ=360°，∵∠PAQ+∠PCQ+∠P+∠Q=360°，
∴∠P+∠Q=∠BAQ+∠DCQ=19°+21°=40°.
例题4：如图，∠A的两边交⊙O于点B ，C ， E ， D，若，则∠A的度数为 .

答案：45°.
解析：∵弧BD：弧BC：弧CE：弧DE=1:3:4:4，∴弧BD=360°×=30°，弧CE=360°×=120°，
∴∠C=×30°=15°，∠CDE=×120°=60°，∵∠CDE=∠C+∠A，∴∠A=60°-15°=45°.
例题5：如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K=20°，∠PMQ =40°，则∠MQP= .

答案：35°.
解析：连接OP，OQ，∵∠PMQ=40°，∴∠POQ=2∠PMQ=80°，∵OP=OQ，∴∠OPQ=∠OQP=50°，
∵∠POM=∠OPK+∠K，且∠K=20°，∴∠POM=70°，∴∠PMQ=∠POM=35°.
考点10：直径所对的圆周角
分析：当我们看到直径时，那么一定要条件反射出直径所对的圆周角是90°.
例题1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C为的一个三等分点，则BC : AC : AB= .

答案：：1 : 2.
解析：设AC=k，∵AB为直径，∴∠C=90°，∵点C为弧AB的一个三等分点，∴弧AC=60°，∴∠B=×60°=30°，∴AB=2AC=2k，∴BC=k，∴BC:AC:AB=：1 : 2.
例题3：如图，点A，B在⊙O上，点O是⊙O的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A的余角．
（1）图①中，点C在⊙O上；
（2）图②中，点C在⊙O内.

解：①如图①，∠DBC就是所求的角；         
②如图②，∠FBE就是所求的角．


例题4：如图，AB是半⊙O的直径，点C是半⊙O上的一点，且AC=4 cm，BC=3 cm．点P是AB上的动点，过点P分别作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则在点P移动过程中，DE的最小值为　 　．

答案：.
解析：连接CP，∵AB为直径，∴∠C=90°，
∵PD⊥AC，PE⊥BC，∴四边形PDCE为矩形，∴CP=DE，
故当CP⊥AB时，CP最小，即DE最小.
如图所示，即DE=CP’时最小.
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，
∵S=，∴CP’=，即DE最小值为.
例题5：如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于E，D，连接ED，BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．

解答：（1）相等：证明：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，∴BD=CD，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，∴弧DE=弧BD，∴∠DEB=∠DBE，∴BD=DE.
（2）∵BC=6，∴BD=BC=3，∵AB=5，∠ADB=90°，∴AD==4，
∵AB为直径，∴∠BEA=90°，即BE⊥AC，∴S=，
∵AC=AB=5，∴BE==.
考点11：已知弦长求角度问题
分析：这类题型要分类讨论，特别注意弦所对的圆周角有两个，他们互为补角的关系.
例题1：如图，在半径为2 cm 的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为 ( )
A. 600 B. 900 C. 1200 D. 1500


答案：C
例题2：已知AB是⊙O的直径，AC， AD是弦，且AB=2， AC=，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是 ( )
A. 45°或60° B. 60° C . 105° D. 15°或105°
答案：D.
例题3：已知3 cm长的一条弦所对的圆周角是135° ，那么圆的直径是 .
答案：3.
解析：如图所示，已知在圆O中，弦AB=3 cm，圆周角∠ACB=135°，
∵∠ACB=135°，∴弧ADB的度数为270°，
∴弧AB的度数为360°－270°=90°，∴∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∵OA=OB，∴2OA²=3²，解得OA=，故圆的直径为3.

例题4：如图，A， B， C为⊙O上三点，∠BAC=120°，∠ABC=45° ， M， N 分别为BC，AC的中点，则OM:ON的值为

答案：1：.
解析：连接OA，OB，OC，∵∠BAC=120°，∴弧BPC的度数为240°，∴弧BC的度数为120°，即∠BOC=120°，∵OB=OC=r，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵M为BC的中点，∴OM⊥BC，∴OM=OB=r.同理：ON=r，∴OM：ON=1：.
考点12：圆中折叠
分析：圆中的折叠，如图，折叠后图形没过圆心，那么我们一般都会利用线段AC=CD来解决问题，

若折叠后过圆心，那么被折叠的弧为120°，解决问题会更简单.
例题2：在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．


解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r.
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（r）2，解得r=.
（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°.
例题3：如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　．

答案：2
解析：作OD⊥AB于点D，连接OA.∵折叠，且OD⊥AB，AB=2，∴OD=OA=1，AD=AB.
在Rt△OAD中，∵AD==，∴AB=2.
例题4：把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（　　）

A．120° B．135° C．150° D．165°
答案：C.
考点13：圆与坐标
分析：在坐标系中，那无非就是通过求出线段长度，然后计算出坐标，或通过坐标然后来得出线段长度，求出提高所要求的结论.
例题1：如图，已知A，B两点的坐标分别为，(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．

答案：（1+，1+）、（-1，1-）
解析：∵OB=2，OA=2，且∠AOB=90°，∴直径AB=4，
∵∠AOP=45°，∴P点横纵坐标相等.设P（a，a），
取BC中点C，即圆心C（，1），连接CP=2，过点P作PE⊥OA，过点C作CF∥OA交PE于点F，则∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-，在Rt△PCF中，∵PC²=CF²+PF²，∴2²=（a-1）²+（a-）²，
∵a＞0，∴a=，
∴P（1+，1+）.
设点P’，P关于圆心C（，1）对称，∴P’（-1，1-），
故符合条件的点P的坐标为（1+，1+），（-1，1-）.

例题6：在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3），直线y=kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为　　　　　　．

答案：4.
例题3：如图，平面直角坐标系中，正△OAB的顶点A的坐标为（2，0），点B落在第一象限内，其外接⊙M与y轴交于点C，点P为弧CAO上一动点．
（1）求点C的坐标和圆M的直径；
（2）连接AP，CP，求四边形OAPC的最大面积；
（3）连接OP，若△COP为等腰三角形，求点P坐标．

解答：（1）解：如图1，连接AC.∵正△OAB，∴∠B=60°，∵∠B，∠ACB同对弧OA，∴∠ACB=60°，∵∠AOC=90°，∴AC为直径，∠OAC=30°，∵点A（2，0），∴OA=2，∴OC=2，AC=4，∴点C（0，2），圆M的直径AC=4.
（2）解：如图2，连接AC，PM.当PM⊥AC时，△PAC面积最大，
即四边形OAPC的面积最大，
∴四边形OAPC的最大面积为S=.
（3）①当CO=CP时，如图3①所示，过点M作MH⊥OC，∵OC=2，∴OH=CH=OC=1，∵MO=2，
∴MH==，∴M（，1），
∵CO=CP=2=MO=MP，∴四边形OMPC为菱形，∴MP∥OC，
∴P（，3）；
②当OP=OC时，如图3②所示，同理①：P（，-1）；
③当PO=PC时，如图3③所示，过点P作PH⊥OC，连接OM，∵PO=PC，∴PH垂直平分OC，∵点M在OC垂直平分线上，∴点P，M，H三点共线，∵M（，1），MP=OM=2，∴P（2+，1）.

综上所述：符合条件的点P的坐标为（，3），（，-1），（2+，1）.
考点14：圆与函数
分析：同学们永远要记住，函数在几何应用中，只是用来求点坐标的，所以我们利用函数求出点坐标，然后再利用圆的性质进行解题.
例题1：二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；
②当∠APB=120°时，a=；
③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；
④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥.
正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
答案：D.
解析：①∵点A（-m，0），B（1，0）在抛物线y=ax²+bx+c上，∴，由①－②，得am²-bm-a-b=0，即（m+1）（am-a-b）=0，
∵A，B不重合，∴m≠-1，即m+1≠0，∴m=.
∵点C（0，-3am+6a）在抛物线上，∴c=-3am+6a=-3a·+6a=3a-3b，代入②，得a+b+3a-3b=0，即b=2a，∴m=，故①正确；
②如图1，∵m=3，∴A（-3，0），∵B（1，0），∴AB=4，∴抛物线解析式可设为y=a（x+3）（x-1）=a（x+1）²-4a，∴P（-1，-4a），由二次函数对称性可知PA=PB，∵∠APB=120°，∴∠PAB=∠PBA=30°，设抛物线对称轴与x轴交于点G，则PG⊥AB，∴AG=BG=2，∵AP=2PG，且AP²=PG²+AG²，∴PG=，∵a＞0，∴4a=，解得a=，故②正确；

③如图1所示，在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于点H ，∵∠ABM=120°，∴∠MBH=60°，∵MH⊥x轴，∴∠BHM=90°，∴∠BMH=30°，∴BH=BM，∵BM=BA=4，∴BH=2，∴MH==，∴点M（3，），令x=3，则y=（3+3）（3-1）=，
∴点M在抛物线上，故③正确；
④如图2所示，∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°，∴当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的圆G上，要使点N存在，点P必须在圆上或圆外，∴PG≥2，即4a≥2，∴a≥，故④正确，故选D.
例题2：如图，以O为圆心，半径为2的圆与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A，B两点，则弧AB的长度为 ．

答案：.
解析：作AC⊥x轴，连接OA，设点A（a，b）（a＞0，b＞0），∵点A在反比例函数y=上，∴ab=.∵OA=2，∴a²+b²=4，解得a=1，b=，∴OA=2AC，∴∠AOC=30°，同理，B（1，），∠BOD=30°，
∴∠AOB=30°，∴弧AB的长度为.
例题3：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x，y轴分别交于点A，B．
（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；
（2）求△AOB的面积．

解答：（1）点P在线段AB上.理由如下：在圆P中，∵PO为半径，∴点P在圆P上，∵∠AOB=90°，∴AB为直径，∴点P在线段AB上.
（2）过点P作PP⊥x轴，PP⊥y轴，则PPOB，PPOA.设点P（a，b）（a＞0，b＞0），则PP=b，PP=a，S=OA×OB=×2a×2b=2ab，
∵点P在反比例函数y=上，∴ab=6，
∴S=2×6=12.
例题5：如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0），B（0，-8）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；
（3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x1，y1），E（x2，y2）两点，且x1＜x2，在抛物线上是否存在点P，使△PDE的面积是△ABC面积的？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：（1）设直线AB：y=kx+b.
∵A（6，0），B（0，-8），∴，解得k=，b=-8，
∴直线AB：y=x-8.
（2）∵点O在圆M上，且∠AOB=90°，∴AB为直径，∴M为AB的中点，
∵A（6，0），B（0.-8），∴M（3，-4），AB=10，∴抛物线对称轴为直线x=3，作对称轴交x轴于点F，交圆M于点C，∴MF=4，OF=3，
∵MC=AB=5，∴CF=MC-MF=1，∴点C（3，1），∴设抛物线解析式为y=a（x-3）²+1.
∵抛物线过点B（0，-8），
∴-8=a（0-3）²+1，解得a=-1，∴抛物线解析式为y=-（x-3）²+1=-x²+6x-8.
（3）存在.令-x²+6x-8=0，解得x=2，x=4，∴D（2，0），E（4，0）.
∵点P在抛物线上，∴设点P（x，-x²+6x-8），∴S=·DE·=×2×=.
∵S=S+S=×CM×（3+3）=×5×6=15，且S=S，∴=3.
①- x²+6x-8=3，整理，得x²-6x+11=0，∵△=（-6）²-4×1×11=-8＜0，∴无解；
②- x²+6x-8=-3，整理，得x²-6x+5=0，解得x=1，x=5，∴点P（1，-3）或（5，-3）.
考点15：圆周角与其他
分析：我们可以把以前我们学过的很多几何题都可以改成圆的题目，条件会少很多，所以要熟悉我们所学过的几何性质.逻辑推理要强.
例题1：如图，AB为半圆的直径，C，D分别为半圆和BC弧的中点，AD，BC相交于点E，求证：AE=2BD.

证明：延长AC，BD交于点F，∵C为半圆的中点，∴弧AC=弧BC，∴AC=BC，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵∠CAE，∠CBF同对弧CD，∴∠CAE=∠CBF，∴△ACE≌△CBF（ASA），∴AE=BF.
∵D为弧BC的中点，∴弧CD=弧BD，∴∠BAD=∠FAD，
∵∠ADB=90°=∠ADF，且AD为公共边，∴△ADB≌△ADF（ASA），
∴BD=DE=BF，∴AE=2BD.
例题2：已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．

解答：（1）证明：连接CD，∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，
∵AC=BC，∴AD=BD，即D为AB中点.
（2）连接OD，∵AD=BD，BO=CO，∴OD为△ABC的中位线，
∵AC=6，∴OD∥AC，OD=AC=3，
∵DE⊥AC，∴OD⊥AB，∴点O到DE的距离为OD=3.
例题3：如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，=，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
（2）判断△FAB的形状，并说明理由．

解答：（1）相等.理由如下：∵AB为直径，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ACB=∠BAD.
（2）△FAB为等腰三角形，∵弧AE=弧AB，∴∠ABE=∠ACB，∵∠ACB=∠BAD，∴∠ABE=∠BAD，即∠BAF=∠ABF，∴FA=FB，∴△ABF为等腰三角形.
例题5：已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．

解答：（1）证明：连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°=∠AEC，
∵ED=EC，∴弧BE=弧DE，∴∠BAE=∠DAE，即∠BAE=∠CAE.
∵AE为公共边，∴△ABE≌△ACE（ASA），∴AB=AC.
（2）连接BD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°=∠BDC，设CD=x，∵AB=AC=4，∴AD=4-x，∵AB²-AD²=BD²=BC²-CD²，∴4²-（4-x）²=（2）²-x²，解得x=，∴CD=.
例题6：已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．

解答：（1）证明：△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠BDF=60°，∴∠B=∠BDF=30°，∴FD=DB，即△DBF为等腰三角形.
（2） 过点A作AM⊥DF于点M.设AF=2a，∵△AEF为等边三角形，∴AF=EF=AE=2a，∵AM⊥EF，∴EM=FM=a，∴AM=a，∵AD=AF，∴AD=2a，∴DM==5a，∴DF=6a=BF，∴AB=8a.∵∠B=30°，∴AC=AB=4a，∴CE=AC-AE=2a=EF，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=60°=∠ECF+∠EFC，∴∠ECF=30°，∵∠ECF+∠CAF+∠AFC=180°，∴∠AFC=90°，∴CF⊥AB.