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初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程一课一练
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这是一份初中数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程一课一练，共7页。
1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符合问题的__实际意义___；⑥写出答案．
2．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___．
知识点1：倍数传播问题
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x，则依题意可列方程为__1＋x＋x2＝91___．
2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌 (2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有480000个有益菌
知识点2：握手问题
3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( B )
A.eq \f(1,2)x(x＋1)＝28 B.eq \f(1,2)x(x－1)＝28
C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28
4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手210次，设有x人参加这次聚会，则依题意可列出方程为__eq \f(x（x－1）,2)＝210___．
5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意得eq \f(1,2)x(x－1)＝78，解得x1＝13，x2＝－12(不合题意，舍去)，故有13家公司出席了这次交易会
知识点3：数字问题
6．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是__6和8___．
7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13－x)，由题意得10(13－x)＋x＋6＝x2，整理得x2＋9x－136＝0，解得x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这个两位数是58
8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( B )
A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132
C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×2
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( D )
A.32 B．126 C．135 D．144
11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．
12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17，求每行的座位数．
解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1＝25，x2＝－42(不合题 意，舍去)，则每行的座位数是25个
13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？
解：设每轮一个人要向x个人发微信，由题意得x(x＋1)＝56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染7个人 (2)64×7＝448(人)
15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，由题意得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁
16．(1)n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条；
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．
解：(2)设这个凸多边形是n边形，由题意得eq \f(n（n－3）,2)＝14，解得n1＝7，n2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形 (3)不存在．理由：假设存在n边形有21条对角线，由题意得eq \f(n（n－3）,2)＝21，解得n＝eq \f(3±\r(177),2)，因为多边形的边数为正整数，但eq \f(3±\r(177),2)不是正整数，故不合题意，所以不存在有21条对角线的凸多边形
价为60元
7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去，∴x＝20，则她购买了20件这种服装。
8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
9．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A )
A．(x＋3)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
10．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2___万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴可变成本平均每年增长的百分率是10%
11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)：
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
解：依据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50，则第二个月的单价应是70元
12．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__26.8___万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
解：设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)．当0＜x≤10，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x＞10时，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去，则需要售出6部汽车
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．
2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.
知识点1：一般图形的面积问题
1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C )
A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m
2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B )
A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64
C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64
3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．
4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.
解：设AB＝ x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形
知识点2：边框与通道问题
5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A )
A．(20－x)(32－x)＝540
B．(20－x)(32－x)＝100
C．(20＋x)(32－x)＝540
D．(20－x)(32＋x)＝540
,第5题图) ,第6题图)
6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．
7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．
解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm
8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B )
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
9．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A )
A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．2＋eq \r(5) D.eq \r(5)－2
,第9题图) ,第11题图)
10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．
11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．
12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．
解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段 (2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能
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时间
第1个月
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清仓时
单价
(元)
80
80－x
40
销售量
(件)
200
200＋10x
800－200－
(200＋10x)
1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符合问题的__实际意义___；⑥写出答案．
2．一个两位数，个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___．
知识点1：倍数传播问题
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x，则依题意可列方程为__1＋x＋x2＝91___．
2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌 (2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有480000个有益菌
知识点2：握手问题
3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( B )
A.eq \f(1,2)x(x＋1)＝28 B.eq \f(1,2)x(x－1)＝28
C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28
4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手210次，设有x人参加这次聚会，则依题意可列出方程为__eq \f(x（x－1）,2)＝210___．
5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意得eq \f(1,2)x(x－1)＝78，解得x1＝13，x2＝－12(不合题意，舍去)，故有13家公司出席了这次交易会
知识点3：数字问题
6．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是__6和8___．
7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小6，个位上的数与十位上的数的和是13，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(13－x)，由题意得10(13－x)＋x＋6＝x2，整理得x2＋9x－136＝0，解得x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则这个两位数是58
8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( B )
A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132
C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×2
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( D )
A.32 B．126 C．135 D．144
11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为x，则根据题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．
12．某剧场共有1050个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少17，求每行的座位数．
解：设每行的座位数为x个，由题意得x(x＋17)＝1050，解得x1＝25，x2＝－42(不合题 意，舍去)，则每行的座位数是25个
13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微信的发送，共有56人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？
解：设每轮一个人要向x个人发微信，由题意得x(x＋1)＝56，解得x1＝7，x2＝－8(不合题意，舍去)，则每轮一个人要向7个人发送微信
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则1＋x＋x(x＋1)＝64，解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染7个人 (2)64×7＝448(人)
15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x－3，由题意得10(x－3)＋x＝x2，解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，周瑜的年龄为25岁，非而立之年，不合题意，舍去；当x＝6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为36岁
16．(1)n边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条；
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．
解：(2)设这个凸多边形是n边形，由题意得eq \f(n（n－3）,2)＝14，解得n1＝7，n2＝－4(舍去)，则这个多边形是七边形 (3)不存在．理由：假设存在n边形有21条对角线，由题意得eq \f(n（n－3）,2)＝21，解得n＝eq \f(3±\r(177),2)，因为多边形的边数为正整数，但eq \f(3±\r(177),2)不是正整数，故不合题意，所以不存在有21条对角线的凸多边形
价为60元
7．小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
解：设购买了x件这种服装，根据题意得[80－2(x－10)]x＝1200，解得x1＝20，x2＝30.当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不符合题意，舍去，∴x＝20，则她购买了20件这种服装。
8．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( C )
A．50(1＋x2)＝196
B．50＋50(1＋x2)＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
9．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A )
A．(x＋3)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
10．(2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为__2.6(1＋x)2___万元；
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.
解：根据题意得4＋2.6(1＋x)2＝7.146，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴可变成本平均每年增长的百分率是10%
11．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)：
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
解：依据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9000，整理得x2－20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10，当x＝10时，80－x＝70＞50，则第二个月的单价应是70元
12．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__26.8___万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
解：设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)．当0＜x≤10，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x＞10时，根据题意，得x(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去，则需要售出6部汽车
第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列出一元二次方程．
2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则原来这个正方形的边长为__5___cm.
知识点1：一般图形的面积问题
1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃的长为( C )
A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m
2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B )
A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64
C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64
3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，7_cm___．
4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2.
解：设AB＝ x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故x1＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为20 m的矩形
知识点2：边框与通道问题
5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( A )
A．(20－x)(32－x)＝540
B．(20－x)(32－x)＝100
C．(20＋x)(32－x)＝540
D．(20－x)(32＋x)＝540
,第5题图) ,第6题图)
6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．
7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相框边的宽度．
解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x2－23x＋60＝0，解得x1＝3，x2＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm
8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( B )
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
9．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为( A )
A．2－eq \r(3) B．2＋eq \r(3)
C．2＋eq \r(5) D.eq \r(5)－2
,第9题图) ,第11题图)
10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为__1___米．
11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形ABOC的面积等于3，则点A的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．
12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正方形观光休息亭的边长为多少米？
解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得x2－75x＋350＝0，解得x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光休息亭的边长为5米
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．
解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题意得x2＋(10－x)2＝58，解得x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段 (2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得x2－10x＋26＝0，因为Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰的说法是对的
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝4，解得x1＝1，x2＝4.∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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29
30
31
时间
第1个月
第2个月
清仓时
单价
(元)
80
80－x
40
销售量
(件)
200
200＋10x
800－200－
(200＋10x)
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