人教版数学九年级上册专项培优练习二《二次函数动点问题》（2份打包，教师版+原卷版）

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人教版数学九年级上册专项培优练习二《二次函数动点问题》一              、选择题1.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A.C不重合)，点E在射线BC上，且PE＝PB.设AP＝x，△PBE的面积为y.则能够正确反映y与x之间的函数关系图象是(　 　)答案为：A.2.如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm.点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是(     ).A.10cm2            B.8cm2           C.16cm2           D.24cm2答案为：C.3.矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm.动点E从点C开始沿边CB向点B以2cm/s的速度运动至点B停止,动点F从点C同时出发沿边CD向点D以1cm/s的速度运动至点D停止.如图可得到矩形CFHE,设运动时间为x(单位：s)，此时矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为y(单位：cm2)，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是图中的(     )答案为：A4.如图,正方形ABCD的边长为4,点P、Q分别是CD、AD的中点,动点E从点A向点B运动,到点B时停止运动；同时,动点F从点P出发,沿P→D→Q运动,点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x,△AEF的面积为y,能大致刻画y与x的函数关系的图象是(      )答案为：A5.如图1,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,AB=2,E是DC边上一个动点,F是AB边上一点,∠AEF=30°.设DE=x,图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的(     )A.线段EC                      B.线段AE                    C.线段EF                       D.线段BF答案为：B6.如图所示,在抛物线y=－x2上有A,B两点,其横坐标分别为1,2,在y轴上有一动点C,则AC+BC的最小值为(　　)A.5　　     　B.3　　　    C.　　　    D.2答案为：B.二              、填空题7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合).如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过      s，四边形APQC的面积最小.答案为：3.8.如图，抛物线y=﹣x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________.答案为：(1＋，2)或(1﹣，2).9.如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(﹣2，0)和(﹣1，0)之间(包括这两个点)，定点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点，则：(1)abc　　　　　 0(填“<”或“>”；     (2)a的取值范围是　　　　　  .答案为：＜，≤a≤-；10.如图，二次函数y=﹣x2﹣x+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D(m，n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是　　　　.  答案为：8.三              、解答题11.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A.B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y cm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由. 解：(1)由题意可知，AP＝2x，BQ＝4x，则y＝BC×AB﹣BQ×BP＝×24×12﹣×4x×(12﹣2x)，即y＝4x2﹣24x＋144.(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC，∴0<x<6.(3)不能.理由：当y＝172时，4x2﹣24x＋144＝172.解得x1＝7，x2＝﹣1.又∵0<x<6，∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.12.已知抛物线y=ax2＋x＋2经过点(－1，0).(1)求a的值，并写出这条抛物线的顶点坐标.(2)若点P(t，t)在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标.解：(1)把点(－1，0)的坐标代入y=ax2＋x＋2中，得a=－1.∴此抛物线的函数表达式为y=－x2＋x＋2=－(x－0.5)2＋，其顶点坐标是(0.5，).(2)把点P(t，t)的坐标代入y=－x2＋x＋2中，得t=－t2＋t＋2，解得t1=，t2=－.∴此抛物线上的不动点有两个，即点P1(，)，P2(－，－).        13.如图,已知抛物线的顶点为A(1,4)、抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式.(2)当PA＋PB的值最小时,求点P的坐标. 解：(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)∴设y＝a(x﹣1)2＋4由于抛物线过点B(0,3)∴3＝a(0﹣1)2＋4解得a＝﹣1∴解析式为y＝﹣(x﹣1)2＋4即y＝﹣x2＋2x＋3(2)作点B关于x轴的对称点E(0,﹣3),连接AE交x轴于点P.设AE解析式y＝kx＋b,则解得∴yAE＝7x﹣3当y＝0时,x＝∴点P坐标为(,0)14.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，﹣3)，动点P在抛物线上．(1)b ＝     ，c ＝       ；(2)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．解：(1)﹣2，﹣3；(2)连结OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF.根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由(1)可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴ D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴DF＝OC＝.∴点P的纵坐标是﹣.则x2﹣2x﹣3＝﹣， 解得x＝.∴当EF最短时，点P的坐标是：(，﹣)或(，﹣)15.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4，把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=﹣1或x=3，∴C(﹣1，0)，D(3，0)；∴CD=4，∴S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；(3)由(2)知，S△BCD=CD×|yB|=×4×3=6；CD=4，∵S△PCD=S△BCD，∴S△PCD=CD×|yP|=×4×|yP|=3，∴|yP|=，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴yP＞0，∴yP=，∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；∴=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=1±，∴P(1＋，)，或P(1﹣，).16.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；(3)点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出F点坐标；如果不存在，请说明理由. 解：(1)A(﹣1，0)B(3，0)C(2，﹣3)设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，解得，k＝﹣1,b＝﹣1，∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，由抛物线的对称性可知，点A与点B关于对称轴x＝1对称，∴连接AC与x＝1交于点P，点即为所求，当x＝1时，y＝﹣2，则点P的坐标为(1，﹣2)；(3)存在4个这样的点F，F点坐标是：(﹣3，0)或(1，0)或(4＋，0)或(4﹣，0)17.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一个动点，记△PAC的面积为S.①当点P与抛物线顶点D重合时，求△PAC的面积S；②若点P位于第二象限，试求△PAC面积S的最大值及此时点P的坐标；(3)在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)将A.B.C点的坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)①如图1，y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，即D点坐标为(﹣1，4)，AC的解析式为y＝x＋3，当x＝﹣1时，y＝2，即N点坐标为(﹣1，2)，ND＝4﹣2＝2.S△ADC＝ND•OA＝×2×3＝3.②如图2，由上题可知直线AC的解析式是：y＝x＋3设P点的坐标为(x，﹣x2﹣2x＋3)，则点N的坐标为(x，x＋3)∴PN＝PE﹣NE＝(﹣x2﹣2x＋3)﹣(x＋3)＝﹣x2﹣3x∵S△APC＝S△ANP＋S△CNP∴S＝PN•OA＝×3(﹣x2﹣3x)＝﹣(x＋)2＋3∴当x＝﹣时，S有最大值3，此时点P的坐标(﹣，)；(3)如图3由△ADM是等腰直角三角形，得AM＝DM，∠AMD＝90°，由∠MAO＋∠AMO＝90°，∠AMO＋∠DMN＝90°，∴∠MAO＝∠DMN.在△MAO和△DMN中，，∴△MAO≌△DMN(AAS)，∴OM＝DN＝1，∴M(0，1).18.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．  解：(1)设此抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=x2＋x﹣4；(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：(m，m2＋m﹣4)，∴S=S△AOM＋S△OBM﹣S△AOB=×4×(﹣m2﹣m＋4)＋×4×(﹣m)﹣×4×4=﹣m2﹣4m=﹣(m＋2)2＋4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4＋8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．(3)设P(x，x2＋x﹣4)．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q(x，﹣x)．由PQ=OB，得|﹣x﹣(x2＋x﹣4)|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为(4，﹣4)．由此可得Q(﹣4，4)或(﹣2＋2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2＋2)或(4，﹣4)．