数学北师大版7 相似三角形的性质课时练习

这是一份数学北师大版7 相似三角形的性质课时练习，共38页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.7相似三角形的性质

一、单选题
1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【解析】
解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
2．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．
【解析】
由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为，
则另一个三角形的第三个内角为，
因此，另一个三角形的最小内角为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
3．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的性质判断即可．
【解析】
解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，
∴，A正确；
∴，B错误；
∴，C错误；
∴OA：OC＝3：2，D错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
4．已知与相似，且，那么下列结论中，一定成立的是（ ）
A． B． C．相似比为 D．相似比为
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．
【解析】
解：∵B可以与E对应，也可以与F对应，∴∠B=∠E或∠B=∠F，A不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴或 ，B不一定成立；
同上，AB可以与DE对应，也可以与DF对应，∴相似比可能是，也可能是，C不一定成立；
∵∠A=∠D ，即∠A与∠D是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC与EF是对应比，
∴相似比为，∴D一定成立，
故选D ．　　　
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的．　
5．直角梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=2，BC=3，AB=7，点P是线段AB上一个动点，要使以A、P、D为顶点的三角形与△BPC相似，P的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
要使两个三角形相似，则可能是△PAD∽△PBC，也可能是△ADP∽△BPC，所以应分两种情况讨论，进而求解．
【解析】
解：(1)①当△PAD∽△PBC时，
AP：PB=AD：BC，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴AP=；
②当△ADP∽△BPC时，
AP：BC=AD：BP，
∵AB=AP+PB=7，AD=2，BC=3，
∴PA=1或PA=6；

综合①②P点距离A点有三个位置：PA=；PA=1或PA=6；
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定及性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．
6．已知△ABC和△ADC均为直角三角形，点B、D位于AC的两侧，∠ACB=∠ACD=90°，BC=a，AC=b，AB=c，要使△ADC和△ABC相似，CD可以等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由△ADC和△ABC相似，可得到，从而完成求解．
【解析】
∵△ADC和△ABC相似，且∠ACB=∠ACD=90°
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形和相似三角形的知识，求解的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
7．如图，等边中，为边中点，于，交于点，则与的面积之比为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
作AC边上的高BG，垂足为G，在等边三角形中，利用三线合一定理，结合DE∥BD，可求出AE与AC的关系，从而得出CE与AC的关系，那么再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求．
【解析】
解：从B点作AC边上的高BG，交AC于G，

∵DE⊥AC于E
∴DE∥BG
又∵D为AB边中点
∴AE=GE
∵△ABC为等边三角形，且BG为高
∴AG=GC
∴4AE=AC，即CE=AC
∵EF∥AB
∴△EFC∽△ABC
又∵CE=AC
∴△EFC与△ABC的面积之比=（AC）2：AC2=9：16．
故选：B．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
8．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连结DE，下列结论中，正确的个数有（ ）
①；②；③；④．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定．
【解析】
解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，即，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴=，
故②错误；
③∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
△DOE∽△COB
∴
∴，
故③正确；
④过点A作AF⊥BC于F，

∵△ABC的中线BE与CD交于点O．
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO=2OE，△ABC的高=3△BOC的高，
且△ABC与△BOC同底（BC）
∴S△ABC=3S△BOC，
由②和③知，
S△COE=S△COB，S△ADC=S△BOC，
∴．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．
9．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长是（　　）

A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质和全等三角形的性质可求出结论．
【解析】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴

∴
∴，
∴，
又∵G为CD的中点
∴
∴，
∴
在和中，

∴
∴
∴
故答案为C
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键．
10．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（ ）个．
①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】
根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论.
【解析】
解：因为，，所以 =90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确；
由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确；
因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确；
因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确；
若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误；
因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确；
5个正确，
故答案为：D .
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.


二、填空题
11．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______．
【答案】4:3
【分析】
根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可．
【解析】
解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．
故答案为：4:3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型，熟知相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
12．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．
【答案】5:2 25:4
【分析】
根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．
【解析】
相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．
两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．
故答案为5：2；25：4．
【点睛】
本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．
13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．
【答案】8
【分析】
首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解析】
解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则
，
∴；
∴三角形的最短边为8．
故答案为：8．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．
14．在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，又，则S△ADE：S四边形BCED=_____．
【答案】4:5
【分析】
由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则，再根据已知条件，得出，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．
【解析】
如图：

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：DB＝2：1，
∴，
∴，
∵S△ADE＋S四边形DBCE＝S△ABC，
∴S△ADE：S四边形BCED=4:5.
故答案为：4:5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
15．如图，在ABC中，点D是边BC的中点，直线DF交边AC于点F，交AB的延长线于点E，如果CF∶CA=a∶b，那么BE∶AE的值为______．（用含a、b的式子表示）

【答案】a:(b-a)
【分析】
做辅助线构造全等三角形得出BG=CF，再由△BGE∽△AFE得即可．
【解析】
解：如图：

过点B作BG∥AC交EF于点G
∴∠1=∠C
∵点D是边BC的中点
∴BD=CD
在△BDG和△CDF中

∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
又∵BG∥AC
∴△BGE∽△AFE
∴ =
即BE:AE=a:(b-a)
故答案为：a:(b-a) ．
【点睛】
本题主要考查了做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形即相似的性质求线段的比；解题关键是做出正确辅助线，熟练掌握全等三角形及相似三角形的判定和性质．
16．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．

【答案】
【分析】
由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，
∴△AOE∽△COD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查平行四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握平行四边形的性质、三角形相似的判定和性质是解题关键．
17．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN＝3：1，则S△AMN：S△ABC＝_____．

【答案】1:9
【分析】
根据三角形相似的相关知识即可解答.
【解析】
解：∵MN∥BC，且S△MBC：S△CMN＝3：1
可得MN：BC=1：3
所以S△AMN：S△ABC= MN2：BC2=1:9.
即答案为1:9.
【点睛】
本题考查了三角形相似时，面积比=边长比的平方，熟悉掌握是解题关键.
18．如图， Rt△ABC中， 分别是AC和BC 上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为________．

【答案】
【分析】
作AB的中点F，连接FG、FH，利用中位线可求得FG、FH的长度，并且可证得，最后根据勾股定理即可求解．
【解析】

解：作AB的中点F，连接FG、FH，
∵G点是AE的中点，
∴，且
∴
同理：，且
∵
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查中位线的性质和勾股定理，正确利用中位线的性质是解题关键．
19．如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为______．

【答案】
【分析】
根据Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=10，折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，，再根据，可得可以证的，则可求得B′F的长．
【解析】
在中，，，，
．
根据折叠的性质，知，，，，
．
，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
20．如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接．过点E作交的延长线于点F．若，，则正方形的面积为______．

【答案】16
【分析】

由∠EHC=∠BHF，∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH=∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM=EN，由角角边可证明△ENC≌△EMF，得CN=FM；因，可求MB的长度，从而求得CN和BC的长，可求出正方形ABCD的面积．
【解析】

解：过点E作EN⊥BC，EM⊥AB，分别交BC、AB于N、M两点，
且EF与BC相交于点H．
∵EF⊥CE，∠ABC=90°，∠ABC+∠HBF=180°，
∴∠CEH=∠FBH=90°，
又∵∠EHC=∠BHF，
∴△ECH∽△BFH（AA），
∴∠ECH=∠BFH，
∵EN⊥BC，EM⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴四边形ENBM是正方形，
∴EM=EN，∠ENC=∠EMF=90°，
在△ENC和△EMF中
∴△ENC≌△EMF（AAS）
∴CN=FM，
又∵在正方形ENBM中，
∴MB=BN=1,
∵BF=2
∴MF=CN=1+2=3
∴BC=4
∴正方形ABCD的面积为16
故答案为：16．

【点睛】

本题考查了正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，线段的和差等综合知识，重点是掌握三角形相似和全等的判定的方法，难点是作辅助线构建三角形全等．

三、解答题
21．已知：是的内角平分线，求证：．

【答案】见解析
【分析】
过点C作CE∥AB∠AD的延长线于E，先根据AB∥CE，，∠BAD=∠E，再根据角平分线的性质可以得到∠E=∠CAD，进而得到AC=CE，即可证明.
【解析】
解：如图所示，过点C作CE∥AB∠AD的延长线于E，
∵AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD，∠BAD=∠E，
∴，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠CAD，
∴AC=CE，
∴.

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22．如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．

（1）求证：；
（2）如果是的中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据两角对应相等两个三角形相似即可得证．
（2）根据点E是AC的中点，设AE=x，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值．
【解析】
解：（1），
；
（2）由（1）知

∵点是的中点，设，

，

解得，(不合题意舍去)．
.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．
（1）求证：△DFC∽△CBE；
（2）若AD＝4，CD＝6，DE＝3，求DF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DF．
【分析】
（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到∠DCE＝∠BEC，结合题目已知∠DFE＝∠A，及等角的补角相等，可得∠DFC＝∠B，进而证明△DFC∽△CBE；
（2）根据平行四边形的性质，及平行线定理，解得∠EDC＝90°，由勾股定理计算CE的长，最后根据相似三角形对应边成比例的性质解题即可．
【解析】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，CD//AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD//AB，BC＝AD＝4，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
在Rt△DEC中，CE3，
∵△DFC∽△CBE，
∴DF：BC＝DC：CE，即DF：4＝6：3，
∴DF．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．已知：如图，是等边三角形，点、分别在，上，且，、相交于点，求证：

（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后可得，最后问题可求证．
【解析】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）由（1）可得，
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，．
（1）求证：∠BAD=∠CAE；
（2）若∠BAD=21°，求∠EBC的度数：
（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．

【答案】（1）见解析；（2）21°；（3）见解析
【分析】
（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE，结合图形，证明即可；
（2）根据相似三角形的性质与三角形外角的性质即可得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】
（1）证明：∵．
∴∽；
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD=∠CAE；
（2）解：∵∽，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ADE=∠ABE+∠BAD，
∴∠EBC=∠BAD=21°；
（3）证明：连接CE，
∵∽，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF，
即∠BAD=∠CAE，
∵
∴．
∴∽．

【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可．
【解析】
证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
为的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴，
∴，
∴，
即2DF•EG=AF•DG．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
27．已知：如图，四边形是菱形，点分别在边上，连接交对角线于两点，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：

【答案】（1）见解析：（2）见解析.
【分析】
（1）先根据菱形的性质和角的和差可证，再根据相似三角形的性质得到， 结合，即可证明：
（2）先根据菱形的性质得到，再根据相似三角形的性质可得，再结合，可得，即， 从而可得结论．
【解析】
证明：（1）∵四边形是菱形：
∴：
∴：
∵：
又∵：
∴：
∴：
∴，即：
．
（2）∵四边形是菱形：
∴，

∴
∵：
∴，
∴，

为公共角，


∴，即.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键.
28．如图1，在菱形ABCD中，E、F分别在AB、CD上，DE平分∠AEF．
（1）求证：EF=DF；
（2）如图2，连接BD交EF于点N，若AE=CF，求证：点N在AC上；
（3）在（2）的条件下，∠ANE+∠BDE=45°，在DE上取一点M，连接AM，AD=DM，AM=，求EM的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）先根据角平分线的性质得：，再通过菱形的性质得，得，即可得，EF=DF；
（2）通过菱形的性质得到，，进而可得，，，即可判定，得到N是BD中点，根据菱形的性质可得出点N平分AC与BD，则N是AC中点，得点N在AC上；
（3）如图，做辅助线，垂足为点H，先证得，再证是等腰直角三角形，，设，则，，再证，利用相似的性质得到，利用勾股定理和边与边的关系，可得，，在中，利用勾股定理得，即即可求出,即可求解．
【解析】
解：（1）∵DE平分∠AEF
∴
∵四形ABCD为菱形
∴
∴
∴
∴EF=DF
（2）∵四形ABCD为菱形
∴，
∴，
∵AE=CF
∴即
∴
∴BN=ND,
∴N是BD中点
又∵在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O
∴点N平分AC与BD
∴N是AC中点
∴点N在AC上
（3）如图，做辅助线，垂足为点H

∵,
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴即
设，则，
∵，
∴
∵
∴
∴，即，则
∴
∵AD=DM
∴、
∵在中，利用勾股定理得
∴
∵，
∴
∴
∴在中，利用勾股定理得，即
解得
∴
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．