北师大版九年级上册7 相似三角形的性质当堂达标检测题

7　相似三角形的性质

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．相似三角形两条高的比、两条角平分线的比、两条中线的比都等于相似比．(　×　)

2．相似三角形的两个角相等，两条边成比例．(　×　)

3．相似三角形面积的比等于周长的比的平方．(　√　)

4．相似三角形面积的比等于两条边的比的平方．(　×　)

5．三角形面积的比等于周长的比的平方．(　×　)

知识点1　相似三角形对应线段的比等于相似比

1．如果两个相似三角形对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应边之比是(　A　)

A．2∶3    B．4∶9    C．16∶81    D．∶

【解析】∵相似三角形对应角平分线的比是2∶3，

∴它们的相似比为2∶3.

2．(概念应用题)(2021·惠州质检)若△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，则△ABC与△DEF的周长的比为(　A　)

A．2∶1    B．4∶1    C．1∶2    D．1∶4

【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，

∴△ABC与△DEF的周长的比为2∶1.

3．(2021·成都期中)两相似三角形的周长之比为1∶3，那么它们对应边上的高之比是(　A　)

A．1∶3    B．1∶9    C．2∶1    D．9∶1

【解析】∵两相似三角形的周长之比为1∶3，

∴两相似三角形的相似比为1∶3，

∴它们对应边上的高之比等于相似比为1∶3.

4．(2021·百色期中)已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3 cm，A′B′＝5 cm，则相似比为____．

【解析】由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝.

5．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20  cm和25  cm，且BC＝5  cm，DF＝4  cm，求EF和AC的长．

【解析】∵相似三角形周长的比等于相似比，

∴＝.∴EF＝BC＝×5＝(cm).

同理，＝.∴AC＝DF＝×4＝(cm).

∴EF的长是  cm，AC的长是  cm.

6．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．

【解析】∵AD＝4，CD＝2AD，∴CD＝8，

∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，即＝＝，解得，AB＝9，BC＝12，∴BD＝AB－AD＝5.

知识点2　相似三角形面积的比等于相似比的平方

7．(2021·郑州质检)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4∶25，则△ABC与△DEF周长之比为(　B　)

A．4∶25    B．2∶5    C．5∶2    D．25∶4

【解析】∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4∶25，

∴它们的相似比为2∶5，

∴△ABC与△DEF的周长比为2∶5.

8．(2021·扬州期中)已知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，则△ADE与△ABC的面积比是__1∶4__．

【解析】∵△ADE与△ABC的相似比为1∶2，

∴△ADE与△ABC的面积比是1∶4.

9．(2021·上海期中)已知两相似三角形的对应中线的比是2∶3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是__12__．

【解析】∵两相似三角形的对应中线的比是2∶3，

∴两相似三角形的相似比是2∶3，

∴两相似三角形的面积比是4∶9，

∵较大的三角形的面积为27，

∴较小的三角形的面积为27×＝12.

10.(2021·济南质检)如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，

求：(1)AO的长；

(2)S△BOD.

【解析】(1)∵△OBD∽△OAC，

∴＝＝，

∵BO＝6，∴AO＝10；

(2)∵△OBD∽△OAC，＝，∴＝，∵S△AOC＝50，∴S△BOD＝18.

关键能力·综合练

1．(概念应用题)(2021·东莞质检)如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2.△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2.则下列说法正确的是(　C　)

A．＝     B．＝

C．＝      D．＝

【解析】∵△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，

∴＝＝，＝＝，

∴选项C正确，选项D错误，

∵无法确定，的值，故选项A，B错误．

2．(2021·清远质检)两个相似三角形的对应边分别是15 cm和23 cm，它们的周长相差40 cm，则这两个三角形的周长分别是(　C　)

A．45 cm，85 cm      B．60 cm，100 cm

C．75 cm，115 cm      D．85 cm，125 cm

【解析】根据题意两个三角形的相似比是15∶23，周长比就是15∶23，

大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5 cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75 cm，5×23＝115 cm.

3．(2021·开封质检)两相似三角形的相似比为2∶3，它们的面积之差为15，则面积之和是(　A　)

A．39    B．75    C．76    D．40

【解析】∵这两个相似三角形的相似比为2∶3，

∴它们的面积比为4∶9，

设两个三角形的面积分别为4x，9x，

∵它们的面积之差为15，

∴9x－4x＝15，解得：x＝3，

∴它们的面积之和是：9x＋4x＝13x＝39.

4．(2021·潍坊期中)若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝8，AD＝3，则EC的长是____．

【解析】设EC＝x，

∵AC＝8，∴AE＝8－x，

∵△ABC∽△ADE，∴＝，

∴＝，解得：x＝.

5．(2021·上海期中)已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么△DEF的周长是__60__．

【解析】设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：

解得：x＝24，y＝15；

∴△ABC和△DEF的相似比为1∶3，

周长比也是1∶3；

∵△ABC的周长＝5＋7＋8＝20，

∴△DEF的周长为60.

6．(2021·青岛质检)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．

【解析】∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，

∴△ACD∽△BCA.

∴＝＝＝.

∴＝.

∵△ABD的面积为15，

∴S△ACD＝5.

7．(2021·平顶山期中)两个相似三角形的一对对应边的长分别是35  cm和

14  cm，它们的周长相差60  cm，求这两个三角形的周长．

【解析】∵两个相似三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比，

∴可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x.

∵周长相差60  cm，∴5x－2x＝60，解得x＝20.

∴这两个三角形的周长分别为100  cm，40  cm.

8．(素养提升题)(2021·菏泽质检)如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.

(1)求证：EF∥BC；

(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．

【解析】(1)∵DC＝AC，CF平分∠ACB，

∴AF＝DF.

又∵点E是AB的中点，

∴EF是△ABD的中位线．

∴EF∥BD，即EF∥BC.

(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.

∴＝.

又∵点E是AB的中点，∴＝.

∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.

∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.

易错点　对应关系不明确导致漏解

【案例】(2020·大庆中考)已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n且这两个直角三角形不相似，则m＋n的值为(　A　)

A．10＋或5＋2     B．15

C．10＋         D．15＋3

【解析】当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；

当三边分别为3，4，和6，8，2此时两三角形相似，不合题意舍去；

当3，4为直角边时，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为＝2，

故m＋n＝5＋2；

当6，8为直角边时，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为＝，

故m＋n＝10＋.

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