专题03 有理数的运算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

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专题03 有理数的运算（压轴题专项讲练）

【典例1】阅读下面的文字，完成解答过程．
（1）11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，则12007×2008=　 ．
（2）根据上述方法计算：11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=　 　（其中n，k均为正整数），并计算11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008．
【思路点拨】
（1）根据题中给出的列子可直接得出结论；
（2）分别计算出11×3，13×5，15×7的值，再进行计算即可；
（3）根据（1）、（2）的结论找出规律，并进行计算即可．
【解答过程】
解：（1）∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，
∴12007×2008=12007−12008．
故答案为：12007−12008；
（2）∵11×3=13=12（1−13），13×5=115=12（13−15），15×7=135=12（15−17），
∴11×3+13×5+15×7+⋯+12005×2007
=12（1−13+13−15+15−17+⋯+12005−12007）
=12（1−12007）
=10032007．
（3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论：1n(n+k)=1k（1n−1n+k）．
11×4+14×7+17×10+⋯+12005×2008=13（1−14+14−17+17−110+⋯+12005−12008）=6692008．
故答案为：1k（1n−1n+k）．
【典例2】已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是 　 　．
【思路点拨】
根据题意，可以先求出a、b、c、d的取值范围，然后即可得到a+2b+3c+4d的最大值．
【解答过程】
解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，
∴d4＜90，则d＝2或3，
c3＜90，则c＝1，2，3或4，
b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，
a＜90，则a＝1，2，3，…，89，
∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，
∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，
∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，
∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，
∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，
故答案为：81．


1．计算：1−12+14−18+116−132+164−1128=　 ．
【思路点拨】
本题可用加法结合律、乘法分配律、通分来解决
【解答过程】
解：原式＝（1−12）+14(1−12)+116(1−12)+164(1−12)
＝（1−12）（1+14+116+164）
=12×（1+2164）
=85128 ．
故答案为：85128 ．
2．计算：14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180+1220+1264=　 ．
【思路点拨】
首先把原式化为12（12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110+1132）；然后把括号里面的每个加数分成两个数的差的形式，应用加法结合律，求出算式的值是多少即可．
【解答过程】
解：14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180+1220+1264
=12（12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110+1132）
=12（1−12+12−13+⋯+111−112）
=12（1−112）
=12×1112
=1124．
故答案为：1124．
3．（2020秋•西城区校级月考）35+67+56+712+920+1130+1342=　 ．
【思路点拨】
首先把每个加数分成两个数的和（或差）的形式，然后应用加法交换律、加法结合律，求出算式的值是多少即可．
【解答过程】
解：35+67+56+712+920+1130+1342
＝（1−25）+（1−17）+（12+13）+（13+14）+（14+15）+（15+16）+（16+17）
＝（1−25+15+15）+（1−17+17）+（12+14+14）+（13+13+16+16）
＝1+1+1+1
＝4．
故答案为：4．
4．112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190−10109110+111132=　 ．
【思路点拨】
将原式的分数进行适当的变形，利用互为相反数的和为0，进行计算即可．
【解答过程】
解：原式＝（1+12）﹣（3−16）+（3+112）﹣（5−120）+（5+130）﹣（7−142）+（7+156）﹣（9−172）+（9+190）﹣（11−1110）+（11+1132）
＝1+12−3+16+3+112−5+120+5+130−7+142+7+156−9+172+9+190−11+1110+11+1132
＝（1﹣3+3﹣5+5﹣7+7﹣9+9﹣11+11）+（12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110+1132）
＝1+（1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17+17−18+18−19+19−110+110−111+111−112）
＝1+（1−112）
＝1+1112
=2312．
故答案为：2312．
5．（2021•宁波模拟）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有　 个数字是奇数．
【思路点拨】
通过计算两个数的乘积，可以看出乘积中的数字的奇数的个数．
【解答过程】
解：∵1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000﹣1）
＝1111111110000000000﹣1111111111
＝11111111108888888889，
∴乘积有10个数字是奇数．
故答案为：10．
6．（2021春•包河区期末）若M＝101×2020×2029，N＝2028×2021×101，则M﹣N＝　 　．
【思路点拨】
根据乘法分配律进行计算．
【解答过程】
解：M﹣N＝101×2020×2029﹣2028×2021×101
＝101×（2020×2029﹣2028×2021）
＝101×[2020（2028+1）﹣2028×2021]
＝101×（2020×2028+2020﹣2028×2021）
＝101×[2028（2020﹣2021）+2020]
＝101×（﹣2028+2020）
＝101×（﹣8）
＝﹣808．
故答案为：﹣808．
7．（2020•双流区校级自主招生）计算：（﹣32）÷6×16+191919919191−19199191= ．
【思路点拨】
根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答过程】
解：（﹣32）÷6×16+191919919191−19199191
＝（﹣9）×16×16+19×1010191×10101−19×10191×101
=−14+1991−1991
=−14，
故答案为：−14．
8．（2020秋•汉阳区期中）同学们喜欢玩的幻方游戏，老师创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8分别填入如图所示的圆圈内，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则a+b的值是 ．


【思路点拨】
由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．
【解答过程】
解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，
﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，

则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，
6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，
a+c+4+d＝2，a+d＝1，
∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，
当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，
∴a+b的值为﹣6或﹣3．
故答案为：﹣6或﹣3．
9．如果4个不同的正整数m，n，p，q满足（7﹣m）（7﹣n）（7﹣p）（7﹣q）＝9，则m+n+p+q＝ ．
【思路点拨】
由已知可知7﹣m，7﹣n，7﹣p，7﹣q为四个不同的正整数，将9分成4个不同整数相乘的形式，即可求解．
【解答过程】
解：∵m，n，p，q是4个不同的正整数，
∴7﹣m，7﹣n，7﹣p，7﹣q为四个不同的正整数．
∵9＝1×3×（﹣1）×（﹣3），
∴7﹣m，7﹣n，7﹣p，7﹣q为1，3，﹣1，﹣3．
∴（7﹣m）+（7﹣n）+（7﹣p）+（7﹣q）＝1+3+（﹣1）+（﹣3）＝0．
∴m+n+p+q＝28．
故答案为：28．
10．（2021春•铜仁市期末）求1+2+22+23+…+22016的值，可令S＝1+2+22+23+…+22016，则2S＝2+22+23+…+22016+22017，因此2S﹣S＝22017﹣1，S＝22017﹣1．参照以上推理，计算4+42+43+…+42018+42019的值为 ．
【思路点拨】
设S＝4+42+43+…+42018+42019，然后可以得到4S，再作差变形，即可求得所求式子的值．
【解答过程】
解：设S＝4+42+43+…+42018+42019，
则4S＝42+43+…+42019+42020，
∴4S﹣S＝42020﹣4，
∴3S＝42020﹣4，
∴S=42020−43，
即4+42+43+…+42018+42019的值为42020−43．
故答案为：42020−43．
11．（2020秋•宿城区校级月考）请阅读下面的材料：计算：(−130)÷(23−110+16−25)．
解法一：原式=(−130)÷23−(−130)÷110+(−130)÷16−130÷(−25)=−120+13−15+112=16；
解法二：原式=(−130)÷[(23+16)−(110+25)]=(−130)÷(56−12)=−130×3=−110；
解法三：原式的倒数为(23−110+16−25)÷(−130)=(23−110+16−25)×(−30)=−20+3−5+12 =−10，故原式=−110．
（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的．
（2）请你用你认为简捷的解法计算：(−142)÷(16−314+23−27)．
【思路点拨】
（1）根据有理数的混合运算的相应的法则进行分析即可；
（2）根据有理数的混合运算的法则对式子进行运算即可．
【解答过程】
解：（1）错误的解法是：解法一，
理由：有理数的除法没有类似乘法的分配律的运算法则；
故答案为：一；
（2）(−142)÷(16−314+23−27)，
原数的倒数为：（16−314+23−27）÷（−142）
＝（16−314+23−27）×（﹣42）
＝﹣7+9﹣28+12
＝﹣14，
故原式=−114．
12．（2020秋•南山区期末）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设s＝1+2+3+…+100，①
则s＝100+99+98+…+1，②
①+②，得2s＝101+101+101+…+101．
（两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和）
所以2s＝100×101，s=12×100×101＝5050③
所以1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝ ．
（3）计算：101+102+103+…+2020．
【思路点拨】
（1）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值．
【解答过程】
解：（1）s＝1+2+3+…+200①，
则s＝200+199+198+…+1②，
①+②，得2s＝201+201+201+…+201，
所以2s＝200×201，s=12×200×201＝20100，
所以1+2+3+…+200＝20100；
（2）猜想：1+2+3+…+n=12n（n+1）；
故答案为：12n（n+1）；
（3）s＝101+102+103+…+2020①，
则s＝2020+2019+2018+…+101②，
①+②，得2s＝2121+2121+2121+…+2121，
所以2s＝（2020﹣100）×2121，s=12×1920×2121＝2036160，
所以101+102+103+…+2020＝2036160．
13．（2021春•浦东新区期中）阅读理解题
在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：

你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ，e＝ ，f＝ ．
【思路点拨】
根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．
【解答过程】
解：（1）由题意得，
第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，
积如果是一位数前面补0，
第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，
积如果是一位数前面补0，
第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，
如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，
第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，
∵64×87＝5568，
6×8＝48，
4×7＝28，
6×7+4×8＝42+32＝74，
∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，
故答案为4，8，2，8，7，4．
14．如图，在八边形的八个顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，7，8，能否使任意四个相邻顶点处的四数之和：
（1）大于16；
（2）大于18．
若能，请填出一种情形；若不能，请说明理由．

【思路点拨】
（1）能，根据题意画出图形，如图所示；
（2）不能，如图，设按要求所填的8个数顺次为a、b、c、d、e、f、g、h，根据题意判断即可．
【解答过程】
解：（1）能，如图所示：（答案不唯一）．

（2）不能，如图，

设按要求所填的8个数顺次为a、b、c、d、e、f、g、h，
假设它们任意相邻四个数和大于18，即大于或等于19，
∴a+b+c+d≥19，b+c+d+e≥19，c+d+e+f≥19，d+e+f+g≥19，e+f+g+h≥19，f+g+h+a≥19，g+h+a+b≥19，h+a+b+c≥19，
则每个不等式左边相加一定大于或等于152，即4（a+b+c+d+e+f+g+h）≥152，
整理得a+b+c+d+e+f+g+h≥38，
∵1+2+3+4+5+6+7+8＝36，
∴与a+b+c+d+e+f≥38矛盾，
则不能使每四个相邻的数之和都大于18．
15．（2021•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；
（2）请求出所有的“7喜数”之和．
【思路点拨】
（1）根据“n喜数”的意义，判断即可得出结论；
（2）先设出“7喜数”的个位数字a和十位数字b，进而得出b＝2a，即可得出数值，然后求和即可．
【解答过程】
解：（1）44不是一个“n喜数”，因为44≠n（4+4），
72是一个“8喜数”，因为72＝8×（2+7），
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，（a，b为1到9的自然数），
由定义可知：10b+a＝7（a+b），
化简得：b＝2a，
因为a，b为1到9的自然数，
∴a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6；a＝4，b＝8．四种情况，
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84，
∴它们的和＝21+42+63+84＝210．
16．（2020秋•诸暨市期中）已知□，★，△分别代表1∼9中的三个自然数．
（1）若□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，那么□+★+△＝ ；
（2）如果用★△表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数△★，若★△与△★的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是多少？这两个两位数和是多少？
【思路点拨】
（1）根据□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，可求出□+★+△＝15；
（2）设原来的两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可表示为10b+a，交换后可表示为10a+b，若★△与△★的和为某一个自然数的平方，因此有11（a+b）是完全平方式，再根据a、b的值为正整数，因此，可得出这个两位数．
【解答过程】
解：（1）∵□+□+□＝15，★+★+★＝12，△+△+△＝18，
∴3（□+★+△）＝15+18+12，
∴□+★+△＝45÷3＝15，
故答案为：15；
（2）设原来的两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可表示为10b+a，交换后可表示为10a+b，
由★△与△★的和为某一个自然数的平方可得，11（a+b）＝112，
∴a+b＝11，
又a、b为正整数，
∴这两个两位数为29和92，38或83，47或74，56或65，
答：这个自然数为11，这两个有理数为29或92，38或83，47或74，56或65．
17．（2020秋•立山区期中）计算：25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814，
观察上面的算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．
仿照上面的速算方法，
（1）填空：①54×11＝ ；②87×11＝ ；③95×（﹣11）＝ ．
（2）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11．
①若a+b＜10，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是 、 、　 　，
请通过计算加以验证．
②若a+b≥10，请直接写出计算结果中百位上的数字．
【思路点拨】
（1）根据题中的例题确定出所求即可；
（2）①若a+b＜10，确定出计算结果的百位、十位、个位上的数字，验证即可；
②若a+b≥10，直接写出计算结果中百位上的数字即可．
【解答过程】
解：（1）①54×11＝594；
②87×11＝957；
③95×（﹣11）＝﹣1045．
故答案为：①594；②957；③﹣1045；
（2）①若a+b＜10，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是a，a+b，b，
验证：这个两位数为10a+b，
根据题意得：（10a+b）×11
＝（10a+b）（10+1）
＝100a+10（a+b）+b，
则若a+b＜10，百位、十位、个位上的数字分别是a，a+b，b；
②若a+b≥10，百位上数字为a+1．
故答案为：a，a+b，b．
18．（2021春•綦江区期末）对于一个三位数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数n为“快乐数”．例如：n1＝934，∵9+3﹣4＝8，∴934是“快乐数”；n2＝701，
∵7+0﹣1＝6，∴701不是“快乐数”．
（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
（2）若将一个“快乐数”m的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数t（例如：若m＝642，则t＝664），若t也是一个“快乐数”，求满足条件的所有m的值．
【思路点拨】
（1）根据例子进行解答即可；
（2）设“快乐数”m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，得：a+b﹣c＝8，再由t也是“快乐数”得3c+a﹣b＝8，从而得到b＝2c，a＝8﹣c，结合1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c都为整数，可得到13≤c≤3，再进行分析即可．
【解答过程】
解：（1）884是“快乐数”，
理由：∵8+4﹣4＝8，
∴844是“快乐数”；
735不是“快乐数”，
理由：∵7+3﹣5＝5，
∴735不是“快乐数”；
（2）设“快乐数”m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，依题意可得：
a+b﹣c＝8，
t＝100×3c+10a+b，
∵t也是一个“快乐数”，
∴3c+a﹣b＝8，
∴a+b﹣c＝3c+a﹣b，整理得：b＝2c，
把b＝2c代入a+b﹣c＝8，得：a+2c﹣c＝8，整理得：a＝8﹣c，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a，b，c都为整数，
∴1≤3c≤9，得：13≤c≤3，
∴当c＝1时，a＝7，b＝2，则m＝721；
当c＝2时，a＝6，b＝4，则m＝642；
当c＝3时，a＝5，b＝6，则m＝563；
综上所述，满足条件的所有m的值为：721，642，563