专题01 数轴-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

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【典例1】在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝ ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝ ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝ ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【思路点拨】
（1）①根据距离定义可直接求得答案14．
②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB﹣AP进行求解．
③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB+BP作答．
（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．
（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解．
【解答过程】
解：（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．
②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．
③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，
此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x=−452；
当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x=252．
（3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T．
当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），
解得T=54s．
当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），
解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．
当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，
∴﹣12﹣6T＝﹣8T，
∴T＝6s．
因此，当T=54秒时，此时，M=−12，Q＝﹣10，P=−392．
当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48．
1．（2020秋•江岸区校级月考）在数轴上，点M表示的有理数为2.5，N点与M点相距3.5个单位长度，则N点所表示的有理数是（ ）
A．6B．﹣6C．﹣1D．﹣1或6
【思路点拨】
本题主要考查了数轴的应用，对于多解问题注意要分类讨论．分N点在M的左边和右边两种情形进行解答．
【解答过程】
解：当点N在M点的左边时，
∵2.5﹣3.5＝﹣1，
∴N点表示的数为﹣1．
当点N在M点的右边时，
∵2.5+3.5＝6，
∴N点表示的数为6．
综上，N点表示的数为﹣1或6．
故选：D．
2．（2020秋•晋安区期末）如图，直径为2个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（ ）
A．1B．2C．πD．2π
【思路点拨】
根据圆的周长作答即可．
【解答过程】
解：圆旋转一周，周长为2π，
∴点A所表示的数为0+2π＝2π．
故选：D．
3．（2020秋•苏州期中）如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜ab＜0，则其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．①③④
【思路点拨】
根据数轴，可得b＜0＜a＜c，|a|＜|b|，据此逐项判定即可．
【解答过程】
解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①错误；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②正确；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴③正确；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴﹣1＜ab＜0，
∴④正确．
∴正确的有②③④．
故选：C．
4．（2020秋•宣化区期中）在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是﹣7，4，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则C点表示的数是（ ）
A．﹣2B．﹣2.5C．﹣1D．1
【思路点拨】
根据A与B表示的数求出AB的长，再由折叠后AB的长，求出BC的长，即可确定出C表示的数．
【解答过程】
解：∵A，B表示的数为﹣7，4，
∴AB＝4﹣（﹣7）＝4+7＝11，
∵折叠后AB＝1，
∴BC=11−12=5，
∵点C在B的左侧，
∴C点表示的数为﹣1．
故选：C．
5．（2020秋•五华区校级期中）如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是（ ）
A．mB．nC．pD．q
【思路点拨】
根据题意可以得到字母q、p、n、m为一个循环，从而可以得到数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母．
【解答过程】
解：由题意可得，
﹣1与q对应，﹣2与p对应，﹣3与n对应，﹣4与m对应，
﹣2020÷4＝﹣505，
∴数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是m，
故选：A．
6．（2020秋•汉寿县期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2020次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（ ）
A．﹣1010B．﹣1009C．1009D．1010
【思路点拨】
一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达﹣1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2，第四次接着向左爬行了4个单位长度到达﹣2，依此类推得到一般性规律，即可得到结果．
【解答过程】
解：一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达﹣1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2，第四次接着向左爬行了4个单位长度到达﹣2，依此类推，第2020次到达﹣1010
则蚂蚁最后在数轴上﹣1010位置，
故选：A．
7．（2020秋•海淀区校级月考）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1cm，若在这个数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB，则盖住的整点的个数是 2020或2021 ．
【思路点拨】
对于多解问题要注意分类讨论．以线段AB的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论．
【解答过程】
解：∵数轴的单位长度是1cm，AB＝2020cm，
∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点．
∴线段AB共盖住了2021个整点．
若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点．
综上，线段AB盖住的整点的个数为2020或2021个．
故答案为：2020或2021．
8．（2020秋•成都期末）在数轴上，点P表示的数是a，点P′表示的数是11−a，我们称点P′是点P的“相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4，…，An．若点A1在数轴表示的数是12，则点A2020在数轴上表示的数是 ．
【思路点拨】
先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．
【解答过程】
解：∵点A1在数轴表示的数是12，
∴A2=11−12=2，
A3=11−2=−1，
A4=11−(−1)=12，
A5=11−12=2，
A6＝﹣1，
…，
2020÷3＝，
所有点A2020在数轴上表示的数是12，
故答案为：12．
9．（2020秋•青山区期末）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“934站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于−23，83处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“ 159或6 站台”．
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【思路点拨】
先根据两点间的距离公式得到AB的长度，再根据AP＝2PB求得AP的长度，再用−23加上该长度即为所求．
【解答过程】
解：AB=83−（−23）=103，
AP=103×22+1=209，
P：−23+209=149=159；
或AP=103×2=203，
P：−23+203=6．
故P站台用类似电影的方法可称为“159或6站台”．
故答案为：159或6．
10．（2020秋•泰兴市期中）数轴上的点M对应的数是4，一只蚂蚁从点M出发沿着数轴以每秒2个单位的速度爬行，当它到达数轴上的点N后，立即返回到原点，共用8秒．则点N对应的数是 10或﹣6 ．
【思路点拨】
先设点N表示的数为a，分两种情况：点N在点M左侧或右侧，求出从M点到N点单位长度的个数，再由M点表示的数是﹣4，从点N返回到原点即可得出N点表示的数．
【解答过程】
解：∵蚂蚁爬行的速度是每秒2个单位，
∴蚂蚁爬行路程是2×8＝16个单位长度，
①当点M在点N左侧时：
a﹣4+a＝16，
解得a＝10；
②当点M在点N右侧时：
﹣a+4﹣a＝16，
a＝﹣6；
故答案为：10或﹣6．
11．（2020秋•雁塔区校级期中）如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝18，有一根木棒MN，MN在数轴上移动，当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为3，且点M始终在点N的左侧，当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为 12或﹣6 ．
【思路点拨】
设MN＝x，然后分类计算即可：①当点N与点A重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3；②当点N与点B重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3．
【解答过程】
解：设MN＝x，
①当点N与点A重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3，
∵AB＝18，
∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3+9＝x+12，
∴点M所对应的数为x+12﹣x＝12；
②当点N与点B重合时，点M所对应的数为3，则点N对应的数为x+3，
∵AB＝18，
∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+3﹣9＝x﹣6，
∴点M所对应的数为x﹣6﹣x＝﹣6；
故答案为：12或﹣6．
12．（2020秋•盘龙区期末）如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为 23或4 ．
【思路点拨】
分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即可．
【解答过程】
解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．
点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，解得t＝4，符合题意．
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1．PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．
所以t+1＝3﹣2t，解得t=23，符合题意．
综上所述，t的值为23或4．
故答案为：23或4．
13．（2020秋•大洼区月考）探究题：
（1）若数轴上点A与B对应的数分别是1和5，则线段AB的中点C对应的数是 3 ．
（2）若数轴上点A与B对应的数分别是﹣1和5，则线段AB的中点C对应的数是 2 ．
（3）若数轴上点A与B对应的数分别是﹣1和﹣5，则线段AB的中点C对应的数是 ﹣3 ．
（4）若数轴上点A与B对应的数分别是a和b，则线段AB的中点C对应的数是 a+b2 ．
【思路点拨】
（1）已知A、B表示的数，求出AB．由C是AB的中点，从而求出AC，进而解决此题．
（2）与（1）同理．
（3）与（1）同理．
（4）与（1）同理．
【解答过程】
解：（1）如图1．
∵点A与B对应的数分别是1和5，
∴AB＝5﹣1＝4．
∵C为线段AB的中点，
∴AC=AB2=42=2．
∴C对应的数为1+2＝3．
故答案为：3．
（2）如图2．
∵点A与B对应的数分别是﹣1和5，
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6．
∵C为线段AB的中点，
∴AC=AB2=62=3
∴C对应的数为﹣1+3＝2．
故答案为：2．
（3）如图3．
∵点A与B对应的数分别是﹣1和﹣5，
∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4．
∵C为线段AB的中点，
∴AC=AB2=42=2．
∴C对应的数为﹣5+2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
（4）与（1）（2）（3）同理：
当a＜b，C对应的数为a+b−a2=a+b2；
当a＞b，C对应的数为b+a−b2=a+b2．
综上：C对应的数为a+b2．
故答案为：a+b2．
14．如图，数轴上点B表示的数是﹣2.5．解答下面的问题：
（1）点A表示的数为： 1 ；
（2）与点A的距离为4的点表示的数是： ﹣3或5 ；
（3）若将数轴折叠，使得点A与﹣3表示的点重合，则点B与数 0.5 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2018（M在N的左侧），且它们经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是： ﹣1010，1008 ．
【思路点拨】
（1）观察数轴，直接得出结论；
（2）观察数轴，直接得出结论；
（3）A点与﹣3表示的点相距4单位，其对称点为﹣1，由此得出与B点重合的点；
（4）对称点为﹣1，M点在对称点左侧，离对称点2018÷2＝1009个单位，N点在对称点右侧，离对称点1009个单位，由此求出M、N两点表示的数．
【解答过程】
解：（1）由图知点A表示的数为1，
故答案为：1；
（2）与点A的距离为4的点表示的数是：﹣3或5．
故答案为：﹣3或5；
（3）则A点表示的数与﹣3重合，则对称点表示的数是﹣1，则数B表示的点关于﹣1表示的点的对称点是0.5，即B点与表示数0.5的点重合．
故答案为：0.5；
（4）M、N两点经过（3）中折叠后相互重合知：M与N的中点表示的数为﹣1，
∵M、N的距离为2018，
∴M到中点﹣1的距离为1009，N到中点﹣1的距离为1009，
∵M在N的左侧，
∴M表示的数为﹣1﹣1009＝﹣1010，N表示的数为﹣1+1009＝1008．
故答案为：﹣1010，1008．
15．（2020秋•万州区校级月考）一条直线的流水线上依次有5个机器人，它们站立的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图A1：﹣4，A2：﹣3，A3：﹣1，A4：1，A5：3．
（1）怎样将点A3移动，使它先到达A2，再到达A5；
（2）将零件的供应点设在这五个点中的哪点，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？最短路程是多少？
【思路点拨】
（1）根据图形，找到各点的位置，继而可作出说明；
（2）当数轴上只有两个点时，供应站设在两点之间的任何地方都行，反正甲和乙所走的路程之和总是两点之间的距离；当有三个点时，供应站设在中间处最合适，因为这样所走的路程之和恰好为两端之间的距离，而放在别的地方，所走的路程之和大于两端之间的距离；由此可以得出一个规律，如果n为奇数，P应设在第n+12台机器人的位置，如果n为偶数，P可设在第n2台和第n2+1台机器人之间位置．从而得出答案．
【解答过程】
解：（1）先向左移2个单位，再向右移动6个单位；
（2）结合分析可得放在A3处总路程最短，此时总路程＝3+2+2+4＝11．
16．（2020秋•顺德区期中）数轴上的点A、B所表示的数如图所示，回答下列问题：
（1）将A在数轴上向左移动1个单位长度，再向右移动9个单位长度，得到点C，求出B、C两点间的距离是多少个单位长度？
（2）若点B在数轴上移动了m个单位长度到点D，且A、D两点间的距离是3，求m的值．
【思路点拨】
（1）由点A、点B在数轴上的位置得出点A、点B所表示的数，再根据点A移动的过程，得出点C所表示的数，进而求出B、C两点之间的距离；
（2）分两种情况进行解答，即点D在点A的左侧和右侧，求出点D所表示的数，再求出m的值．
【解答过程】
解：（1）由点A、点B在数轴上的位置可知，
点A所表示的数为﹣3，点B所表示的数为2，
∵点C是由点A向左移动1个单位长度，再向右移动9个单位长度得到的，
∴点C所表示的数为﹣3﹣1+9＝5，
∴BC＝|2﹣5|＝3，
答：B、C两点间的距离是3个单位长度；
（2）当点D在点A的右侧时，点D所表示的数为﹣3+3＝0，
当点D在点A的左侧时，点D所表示的数为﹣3﹣3＝﹣6，
所以点B移动到点D的距离为m＝|2﹣0|＝2，m＝|2﹣（﹣6）|＝8，
答：m的值为2或8．
17．（2020秋•清涧县期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 8 cm；
（2）图中点A所表示的数是 14 ，点B所表示的数是 22 ；
（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
【思路点拨】
（1）根据图象可知3倍的AB长为30﹣6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了．
（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．
（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，119﹣（﹣37）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【解答过程】
解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30﹣6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）；
故答案为8．
（2）6+8＝14，
14+8＝22．
所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣37）岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
所以奶奶现在的年龄为119﹣52＝67（岁）．
18．（2021春•朝阳区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．
（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数−52，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是 1，4 ；
（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，
①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；
②若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．
【思路点拨】
（1）根据所提供四个数字求解．
（2）分类讨论点P位置求解．
【解答过程】
解：（1）1，4．
（2）①设点P对应的数为x．
当点P在AB之间时，∵AB＝30+10＝40，
∴BP=14AB时，BP＝10，
即x＝30﹣10＝20．
当BP=34AB时，BP＝30，
即x＝30﹣30＝0．
当点P在点B右侧，AP＝3BP．
即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50．
当点P在点A左侧，BP＝3AP．
即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30．
综上，x＝20，0，50，﹣30．
②由①得点P是倍分点时，P表示的数为20，0，50，﹣30．
当A为倍分点，点P在AB之间时，AB＝3AP，40＝3（x+10），解得x=103．
P在点A左侧时，AP＝3AB，﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130．
AB＝3AP，40＝3（﹣10﹣x），解得x=−703．
点P在点B右侧，AP＝3AB，x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110．
当点B为倍分点时，同理可求x=1303，503，﹣90，150
综上，P点表示的数可为：20，0，50，﹣30，103，﹣130，−703，110，1303，503，﹣90，150．