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专题11 线段的计算-2021-2022学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列(苏科版)
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专题11 线段的计算(压轴题专项讲练)
【典例1】(1)如图,线段AB上有两个点C、D,请计算图中共有多少条线段?
(2)如果线段上有m个点(包括线段的两个端点),则该线段上共有多少条线段?
(3)拓展应用:8个班级参加学校组织的篮球比赛,比赛采用单循环制(即每两个班级之间都要进行一场比赛),那么一共要进行多少场比赛?
【思路点拨】
(1)从左向右依次固定一个端点A,C,D找出线段,最后求和即可;
(2)根据数线段的特点列出式子化简即可;
(3)将实际问题转化成(2)的模型,借助(2)的结论即可得出结论.
【解答过程】
解:(1)∵以点A为左端点向右的线段有:线段AB、AC、AD,
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB,
以点D为左端点的线段有线段DB,
∴共有3+2+1=6条线段;
(2)设线段上有m个点,该线段上共有线段x条,
则x=(m﹣1)+(m﹣2)+(m﹣3)+…+3+2+1,
∴倒序排列有x=1+2+3+…+(m﹣3)+(m﹣2)+(m﹣1),
∴2x=(m﹣1)个m=m(m﹣1),
∴x,
故该线段上共有条线段;
(3)把8个班级看作直线上的8个点,每两个班级之间的一场比赛看作为一条线段,
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数,
因此一共要进行28场比赛.
【典例2】如图,直线AB上有一点P,点M,N分别为线段PA,PB的中点,AB=14.
(1)若点P在线段AB上,且AP=8,求线段MN的长度;
(2)若点P在直线AB上运动,设AP=x,BP=y,请分别计算下面情况时MN的长度:
①当P在AB之间;
②当P在A左边;
⑧当P在B右边;
你发现了什么规律?
【思路点拨】
(1)根据线段中点的性质,可得MP,NP,根据线段的和,可得答案;
(2)①根据线段中点的性质,可得MP,NP,根据线段的和,可得答案;
②③分别画图,同理可得MN的长,从而得规律.
【解答过程】
解:(1)当P在线段AB上,如图1,
∵AP=8,点M是AP中点,
∴MPAP=4,
∵AP=8,AB=14,
∴BP=AB﹣AP=6,
又∵点N是PB中点,
∴PNPB=3,
∴MN=MP+PN=7;
(2)①点P在AB之间,
∵M是AP的中点,N是PB的中点,
∴MPAP,PNPB,
∴MN=PM+PNPAPBAB(x+y);
②点P在AB的延长线上,如图2,
∵M是AP的中点,N是PB的中点,
∴MPAP,PNPB,
∴MN=PM﹣PNPAPBAB(x+y);
③点P在BA的延长线上,如图3,
∵M是AP的中点,N是PB的中点,
∴MPAP,PNPB,
∴MN=PN﹣PMPBPAAB(x+y);
发现规律:当P在直线AB上时,MNAB.
1.(2021秋•和平区校级月考)一个正方体锯掉一个角后,剩下的几何体的顶点的个数是( )
A.7个或8个 B.8个或9个
C.7个或8个或9个或10个 D.7个或8个或9个
2.(2020秋•渝中区期末)如图,王伟同学根据图形写出了四个结论:
①图中共有3条直线;②图中共有7条射线;③图中共有6条线段;④图中射线BC与射线CD是同一条射线.其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.(2020秋•普宁市期末)由汕头开往广州东的D7511动车,运行途中须停靠的车站依次是:汕头→潮汕→普宁→汕尾→深圳坪山→东莞→广州东.那么要为D7511动车制作的车票一共有( )
A.6种 B.7种 C.21种 D.42种
4.(2020秋•南沙区期末)如图,某工厂有三个住宅区,A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人,且这三个区在一条大道上(A、B、C三点共线),已知AB=1500m,BC=1000m,为了方便职工上下班,该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( )
A.A住宅区 B.B住宅区
C.C住宅区 D.B、C住宅区中间D处
5.(2021春•松北区期末)如图,点G是AB的中点,点M是AC的中点,点N是BC的中点,则下列式子不成立的是( )
A.MN=GB B.
C. D.
6.(2020秋•奉化区校级期末)如图,AB=30,C为射线AB上一点,BC比AC的4倍少20,P,Q两点分别从A,B两点同时出发.分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动,运动时间为t秒,M为BP的中点,N为QM的中点,以下结论:①BC=2AC;②运动过程中,QM的长度保持不变;③AB=4NQ;④当BQ=PB时,t=12,其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2020秋•潍坊期中)如图所示,若图中共有m条线段,n条射线,则m+n= .
8.(2020秋•海港区校级月考)有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1,测得其底面半径为a,高为h,其内装蓝色液体若干.若如图2放置时,测得液面高为;若如图3放置时,测得液面高为.则该玻璃密封容器的容积(圆柱体容积=底面积×高)是 .(结果保留π)
9.(2021春•东平县期末)如图,已知AB和CD的公共部分BDABCD,线段AB,CD的中点E,F之间的距离是10cm,则AB的长是 .
10.(2021•青岛二模)一个由125个同样的小正方体组成的大正方体,从这个大正方体中抽出若干个正方体,把大正方体中相对的两面打通,结果如图,则图中剩下的小正方有 个.
11.(2020春•萧山区月考)请完成以下问题:
(1)如图1,在比较B→A→C与B→C这两条路径的长短时,写出你已学过的基本事实;
(2)如图2,试判断B→A→C与B→D→C这两条路径的长短,并说明理由.
12.(2020秋•宝鸡期末)如图,P是线段AB上一点,AB=12cm,M、N两点分别从P、B出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动(M在线段AP上,N在线段BP上),运动时间为ts.
(1)若M、N运动1s时,且PN=3AM,求AP的长;
(2)若M、N运动到任一时刻时,总有PN=3AM,AP的长度是否变化?若不变,请求出AP的长;若变化,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,Q是直线AB上一点,且AQ=PQ+BQ,求PQ的长.
13.(2020秋•甘井子区期末)已知,点D是射线AB上的点,线段AB=4a,BD=nAB(0<n<1),点C是线段AD的中点.
(1)如图1,若点D在线段AB上,当a=1,n时,求线段CD的长;
(2)如图2,若点D在线段AB的延长线上,当n时,求线段CD的长;(用含a的式子表示)
(3)若点D在射线AB上,请直接写出线段CD的长 .(用含a和n的式子表示)
14.(2021•建邺区校级开学)如图1,点C在线段AB上,图中共有3条线段:AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍,则称点C是线段AB的“二倍点”.
(1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”(填“是”或“不是”).
(2)【深入研究】
如图2,点A表示数﹣10,点B表示数20.若点M从点B的位置开始.以每秒3cm的速度向点A运动,当点M到达点A时停止运动.设运动的时间为t秒.
①点M在运动的过程中表示的数为 (用含t的代数式表示).
②求t为何值时,点M是线段AB的“二倍点”.
③同时点N从点A的位置开始.以每秒2cm的速度向点B运动,并与点M同时停止.请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值.
15.(2020秋•望城区期末)【新知理解】
如图①,点C在线段AB上,图中共有三条线段AB、AC和BC,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍,则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)线段的中点 这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”);
(2)若AB=12cm,点C是线段AB的巧点,则AC= cm;
【解决问题】
(3)如图②,已知AB=12cm.动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动:点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动,点P、Q同时出发,当其中一点到达终点时,运动停止,设移动的时间为t(s).当t为何值时,A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点?说明理由
16.(2020秋•奉化区校级期末)已知线段AB上有若干个不重合的点,求出该线段上任意两点所决定的线段长度(包括线段AB),并记所有这些线段的长度总和为αAB.例如:图1中,AB=12,C为AB的中点,则αAB=AB+AC+CB=12+6+6=24.
(1)如图2,线段AB上有C、D两点,其中AB=12,AC:CD:DB=1:2:3,求αAB;
(2)如图3,线段AB上有C、D、E三点,其中C为AB的中点,E为DB的中点,且CE=4,αAB=64,求AB的长度;
(3)线段AB上有C、D两点,线段上任意两点所决定的线段长度是整数,若αAB=38,且CD的长度为奇数,直接写出AB的长度.
17.(2021•温江区校级开学)已知线段AB=m(m为常数),点C为直线AB上一点,点P、Q分别在线段BC、AC上,且满足CQ=2AQ,CP=2BP.
(1)如图,若m=6,当点C恰好在线段AB中点时,则PQ= ;
(2)若点C为直线AB上任一点,则PQ长度是否为常数?若是,请求出这个常数;若不是,请说明理由;
(3)若点C在点A左侧,同时点P在线段AB上(不与端点重合),请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系,并说明理由.
18.(2020秋•连云港期末)如图1,将一段长为60cm绳子AB拉直铺平后折叠(绳子无弹性,折叠处长度忽略不计),使绳子与自身一部分重叠.
(1)若将绳子AB沿M、N点折叠,点A、B分别落在A'、B'处.
①如图2,若A'、B'恰好重合于点O处,MN= cm;
②如图3,若点A'落在点B'的左侧,且A'B'=20cm,求MN的长度;
③若A'B'=ncm,求MN的长度.(用含n的代数式表示)
(2)如图4,若将绳子AB沿N点折叠后,点B落在B'处,在重合部分B'N上沿绳子垂直方向剪断,将绳子分为三段,若这三段的长度由短到长的比为3:4:5,直接写出AN所有可能的长度.
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