北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定习题
展开九上1.3正方形的性质与判定 同步练习
一、选择题
- 如图，正方形中，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
- 正方形的两条对角线将正方形分成的四个三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
- 如图，在正方形外侧作等边，则的度数为( )
A. B. C. D.
- 将正方形纸片按图方式依次对折得图的，点是边上一点，沿线段剪开展开后得到一个正方形，则点应满足( )
A. B. C. D.
- 如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于；下列结论：；；垂直平分；；，其中正确结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为( )
A. B. C. D.
- 如图，正方形纸片的边长为，、分别是、边上的点，连接，把正方形纸片沿折叠，使点落在上的一点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
- 如图，小明在作线段的垂直平分线时，进行了如下操作：
分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，；
作直线根据小明的作图步骤可知四边形的形状一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
二、填空题
- 如图，正方形中，点是边的中点，点是上一点．过点作，分别交、于点、若，，则的长为______．
- 如图，边长为的正方形先向右平移，再向上平移，得到正方形，则阴影部分的周长为______．
- 如图，在矩形中，有以下结论：
是等腰三角形；；；；当时，矩形会变成正方形．正确的结论是______． - 如图，点、分别是正方形的边、的中点，连结、、、，与相交于点，与相交于点若，则四边形的面积为______．
- 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，四边形是边长为的正方形，点为的中点，点为上的一个动点，连接，，当点满足的值最小时，直线的解析式为______．
- 如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为若，则的长为______．
三、解答题
- 如图，在平行四边形中，对角线，交于点为边中点，交延长线于点，交于点，且，连接，．
求证：四边形是矩形；
若四边形是正方形，且，请直接写出的长．
- 如图，点是正方形的对角线延长线上的点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点．
求证：；；
求证：．
- 如图，四边形是正方形，对角线、相交于点，，求证：四边形是正方形．
- 如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点．
与相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
求的长．
- 如图，在正方形中，点，分别在，上，且．
试探索线段，的大小关系，写出你的结论并说明理由；
连接，，分别取，，，的中点，，，，顺次连接，得到四边形：
请在图中补全图形；
四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．
- 如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点，交于点，，．
求证：≌；；
求正方形的面积；
求线段的长．
答案
1-5BCABC 6-8DBB
9. 10. 11. 12. 13. 14.
15.证明：，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是正方形，
，，
，
在中，，
，
或不合题意，舍去，
．
16.证明：如图，在上取一点，使，连接、，
，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
如图，连接，
由知：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
．
17.解：四边形是正方形，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
18.解：．
理由：，
．
四边形是正方形，
，，
，
．
在和中，
，
．
是等腰直角三角形，且，
．
，
，由勾股定理，得，
，
，
．
19.解：．
四边形是正方形，
，，
又，
≌．
．
画出图形如下图所示：
四边形是正方形．
理由如下：
，，，分别是，，，的中点，
，．
，
．
四边形是菱形．
≌，
．
，
．
．
又，，
．
四边形是正方形．
20.证明：在正方形中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
解：过点作的延长线于点，如图所示，
在等腰中，，
根据勾股定理，得，
又，，
根据勾股定理，得，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理，得，
正方形的面积为；
解：，，
∽，
：：，
即：：，
，
．
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