初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定练习

这是一份初中数学北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定练习，共17页。试卷主要包含了正方形具有而菱形不具有的性质是，下列对正方形的描述错误的是等内容，欢迎下载使用。

北师大版2021年九年级上册：1.3 正方形的性质与判定 同步练习卷
一．选择题
1．下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
3．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直
C．两组对角分别相等 D．四个角都是直角
4．下列对正方形的描述错误的是（　　）
A．正方形的四个角都是直角
B．正方形的对角线互相垂直
C．对角线相等的平行四边形是正方形
D．邻边相等的矩形是正方形
5．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
6．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（　　）

A．3 B． C． D．
7．如图，点E是边长为8的正方形ABCD的对角线BD上的动点，以AE为边向左侧作正方形AEFG，点P为AD的中点，连接PG，在点E运动过程中，线段PG的最小值是（　　）

A．2 B． C．2 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
9．既是矩形又是菱形的四边形是　 　．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使矩形ABCD是正方形．

11．如图，在正方形ABDC的外侧作等边三角形CDE，则∠AED的度数为 　 　．

12．如图，在正方形ABCD内有一点P，若AP＝4，BP＝7，DP＝9，则∠APB的度数为　 　．

13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，DF＝1，连AE，BF，P，Q分别为AE和BF的中点，则PQ＝　 　．

14．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点E是AD的中点，动点F从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动，设点F的运动时间为ts，当△CEF为等腰三角形时，t的值是 　 　．

三．解答题
15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，连接AE、AF，且BE＝DF．求证：AE＝AF．



16．如图，直线a过正方形ABCD的顶点A，过点B作BE⊥直线a，过点D作DF⊥直线a，垂足分别为E，F，求证DF＝AE．



17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当∠BAC＝　 　°时，四边形ADCE是一个正方形．



18．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且CA＝CB，延长BC至点E，使CE＝BC，联结DE．
（1）当AC⊥BD时，求证：BE＝2CD；
（2）当∠ACB＝90°时，求证：四边形ACED是正方形．



19．如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若四边形DECG的面积为9，求CE+CG的值．





20．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．






参考答案
一．选择题
1．解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；
四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
2．解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：C．
3．解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．
故选：D．
4．解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；
B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项C描述错误；
D、邻边相等的矩形是正方形，所以选项D描述正确；
故选：C．
5．解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
6．解：∵正方形ABCD的边BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵BE⊥CF于点G，
∴∠CBG+∠BCG＝∠BCG+∠DCF＝90°，
∴∠CBE＝∠DCF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（ASA），
∴CE＝DF，BE＝CF，
∵DF＝AD﹣AF＝4﹣1＝3，
∴CE＝3，
∴＝5，
∴BE＝5，
∵，
∴CG＝，
∴FG＝CF﹣CG＝．
故选：C．
7．解：连接DG，如图，
，
∵四边形ABCD、四边形AEFG均为正方形，
∴∠DAB＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AG＝AE，
∵∠GAD+∠DAE＝∠DAE+∠AE，
∴∠GAD＝∠BAE，
∵AB＝AD，AG＝AE，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴∠PDG＝∠ABE＝45°，
∴G点轨迹为线段DH，
当PG⊥DH时，PG最短，
在Rt△PDG中，∠PDG＝45°，P为AD中点，DP＝4，
设PD＝x，则DG＝x，由勾股定理得，
x2+x2＝42，
解得x＝，
故选：C．
8．解：延长EP交AD于Q，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，
∵PF⊥CD，
∴∠DPF＝45°，
∴DF＝PF，
∵PE⊥BC，
∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，
∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，
∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，
∴DF＝QP，
∴CE＝QP，
在△AQP和△FCE中，
，
∴△AQP≌△FCE（SAS），
∴AP＝EF，
若AP＝5，则EF＝5，故①正确；
若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，
∵△AQP≌△FCE，
∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠EFC＝∠BDC，
∴EF∥BD，故②正确；
当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
∵AB＝AD＝4，
∴BD＝，
∴AP＝BD＝，
∵EF＝AP，
∴EF的最小值为，故③错误，
故选：A．
二．填空题
9．解：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，
故答案为：正方形．
10．解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
11．解：∵四边形ABDC是正方形，
∴CA＝CD，∠ACD＝90°，
在正方形ABDC的外侧作等边三角形CDE，
∴CE＝CD＝CA，∠DCE＝∠CED＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE＝（180°﹣∠ACE）＝×（180°﹣150°）＝×30°＝15°，
∴∠AED＝∠CED﹣∠CEA＝60°﹣15°＝45°．
故答案为45°．
12．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴△BAP绕点A逆时针旋转90°可得△ADE，
连接PE，
由旋转的性质得，ED＝BP＝7，AE＝AP＝4，∠PBE＝90°，∠AED＝∠APB，
∴△APE为等腰直角三角形，
∴PE＝AP＝4，∠AEP＝45°，
在△PED中，∵PD＝9，ED＝7，PE＝4，
∴DE2+PE2＝DP2，
∴△PED为直角三角形，∠PED＝90°，
∴∠AED＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝135°，
故答案为：135°．

13．解：如图，连BP并延长交AD于G，连GF，

∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵P为AE的中点，
∴AP＝PE，
在△APG与△EPB中，
，
∴△APG≌△EPB（ASA），
∴BP＝PG，AG＝BE，
∵Q为BF的中点，
∴PQ＝GF，
∵E是BC的中点，
∴AG＝BE＝BC＝2，
∴DG＝2，
∴GF＝，
∴PQ＝GF＝．
故答案为：．
14．解：根据题意得，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE＝2，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，
①当CE＝CF时，即CF＝2，
在Rt△BCF中，BF＝＝＝2，
∴AF＝AB﹣BF＝2，
∴t＝2÷2＝1；
②当CE＝EF时，即EF＝2，
在Rt△AEF中，AF＝＝＝4，
∴t＝4÷2＝2；
③当EF＝CF时，设AF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BCF中，CF2＝BC2+BF2，
在Rt△AEF中，EF2＝AE2+AF2，
即42+（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝，
即AF＝，
∴t＝÷2＝．
故答案为：1或2或．
三．解答题
15．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵BE＝DF，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
16．证明：∵ABCD为正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAF+∠EAB＝90°，
又∵DF⊥a，BE⊥a，
∴∠DFA＝∠AEB＝90°，且∠FDA+∠DAF＝90°，
∴∠FDA＝∠EAB，
在△DFA与△AEB中，
，
∴△DFA≌△AEB（AAS），
∴DF＝AE．
17．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形，
故答案为：90．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵AC⊥BD，
∴BC＝CD，
∵BC＝CE，
∴BC＝CE＝CD，
即BE＝2CD；

（2）
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是正方形．
19．证明：（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∠CEN＝90°﹣∠ECN＝45°，
∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF；
（2）∵ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝AB＝BC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，S△ADE＝S△DCG，
∴AE+CE＝CE+CG＝AC，
∵四边形DECG的面积为9，
∴S△ADC＝9，即•AD•CD＝9，
∵AD＝CD，
∴AD＝CD＝3，
∴AC＝＝＝6，
即CE+CG＝6．
20．（1）证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AB＝AD，AE＝AG，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．
（2）解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD＝∠AEB，
∵∠AKG＝∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG＝90°
∴∠KEH+∠HKE＝90°，
∴∠EHK＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）解：连接DE，如图，
，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝＝12，
∴AO＝DO＝AC＝6，
∵AG＝AE＝AO＝DO＝6．AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK＝∠GAK＝90°，
∵DE＝AG＝6，∠DKE＝∠AKG，
∴△DKE≌△GAK（AAS），
∴EK＝AK＝3，
在Rt△DKE中，
DK＝＝＝3．