高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.3 数据的直观表示第1课时导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.3 数据的直观表示第1课时导学案，共18页。学案主要包含了柱形图与折线图，扇形图，茎叶图等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解统计图表的作用与意义.2.会利用合适的统计图表研究生活中的例子．
导语
美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是拜登，于2021年1月20日就任，年龄是79岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2021年的拜登，共46任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,71,79. 在初中我们用什么图形将各组中的数据形象地在直角坐标系中表示出来？
一、柱形图与折线图
问题1 观察以下两种统计图，你能说出各自的优点吗？
(1)柱形图(如图)．
(2)折线图(如图)．
提示 柱形图能直观的显示每组中的具体数据；
折线图能直观显示数据的变化趋势．
知识梳理
1．柱形图
(1)柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系．
(2)特点：柱形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的．
2．折线图
一般地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况，可将数据用折线图来表示．
注意点：
(1)当数据量很大时一般选用柱形图，它能更直观地反映数据分布的大致情况，并能清晰地表示出各个区间的具体数目，但是柱形图会损失数据的部分信息．
(2)折线图能够表现出数据的变化趋势，但不能直观反映数据的分布情况．
例1 (1)(多选)2021年4月份居民消费的各类商品及服务价格环比(与3月份相比)变动情况，如下：
则下列叙述正确的是( )
A．八大类消费价格环比呈现四涨四平
B．其他用品和服务环比涨幅最大
C．生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅相同
D．4月份居民消费平均价格环比持平
(2)(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中错误的是( )
A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油
D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油
答案 (1)ABC (2)ABD
解析 (1)在八大类消费价格中，食品烟酒、衣着、居住、交通和通信持平，另外四类分别上涨，A正确；其中其他用品和服务环比涨幅最大，为0.4%，B正确；生活用品及服务和医疗保健价格环比涨幅均为0.1%，C正确；居民消费平均价格环比涨幅为(0.1%＋0.3%＋0.1%＋0.4%)÷8＝0.112 5%，D错误．
(2)从图可知消耗1 L汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km，故A错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，消耗汽油最少，故B错误；若甲车以80 km/h的速度行驶，由图可知，“燃油效率”为10 km/L，所以行驶1 h，消耗8 L汽油，所以C正确；若某城市机动车最高限速80 km/h，从图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，D错误．
反思感悟 (1)柱形图中，各小矩形宽相等．
(2)注意横、纵轴的意义．
(3)由柱形图可以作出折线图：取各小矩形上边的中点，再用线段连接，取各小矩形下边的中点并标注上数字，要说明标注数字所对应的数据类型．
跟踪训练1 (1)某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了柱形图如图所示，那么参加羽毛球活动的人数的频率是________．
答案 0.1
解析 由图可知，参加羽毛球活动的人数为4，所以频率为eq \f(4,40)＝0.1.
(2)据报道，某咨询公司对1 500个家庭进行了关于奶粉市场的调查，如图是关于每月购买奶粉袋数的有关数据，则每月购买1袋奶粉的比率同每月购买2袋奶粉的比率合计为( )
A．79.9% B．70.9%
C．38.8% D．32.1%
答案 B
解析 根据折线图，每月购买1袋奶粉和每月购买2袋奶粉的比率分别为38.8%和32.1%，故所求值为38.8%＋32.1%＝70.9%.
二、扇形图
问题2 观察扇形图(如图)，你能说出它的优点吗？
提示 扇形图能直观地显示各部分所占总体的百分比．
知识梳理
扇形图
扇形图也称为饼图、饼形图，它可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况．扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比．
注意点：
扇形图可以直观地反映出各种情况所占的比例，但是看不出具体数据的多少．
例2 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示，现在用分层抽样的方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
答案 50 1 015
解析 由分层抽样可知，第一分厂应抽取100×50%＝50(件)，该产品的平均使用寿命为eq \f(50×1 020＋20×980＋30×1 030,100)＝1 015(小时)．
反思感悟 在扇形图中，部分数据在全部数据中的比例等于对应扇形的圆心角度数与360°之比，等于对应扇形的弧长与周长之比，也等于对应扇形面积与圆面积之比．
跟踪训练2 已知某地区人口总数为125万，具体分布如图，近期，卫计委拟针对18到60岁的人群开展新冠疫苗接种工作，抽样发现，他们中有80%的人符合接种的健康要求．截止3月底，已有30%符合健康要求的人接种了第一剂，据要求，这部分人需要在4月份接种第二剂，剩余70%符合健康要求的人需在4月份接种第一剂，5月份接种第二剂．则该地区4月份需要________万剂疫苗．
答案 70
解析 18到60岁的人数为125×(1－0.15－0.15)＝125×0.7＝87.5(万)，
其中符合接种的健康要求的人数为87.5×0.8＝70(万)，所以需要70万剂疫苗．
三、茎叶图
问题3 林业部门在植树前，为了保证树苗的质量，从同一种树的甲、乙两批树苗中各抽取了10株树苗进行检测，量出它们的高度如下(单位：cm)：
甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33；
乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.
你能用适当的统计图表示上面的数据吗？
提示 如图所示，中间的数字表示每株树苗高度的十位数，两边的数字分别表示个位数．
知识梳理
茎叶图
一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列．茎叶图也可以只表示一组数．“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数．茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上往下排列．将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征．
注意点：
(1)茎叶图的优点与不足
①优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
②不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便、直观、清晰．
(2)茎叶图的作用
①从茎叶图中还可以看出一组数的分布情况，从而可以得到一些额外的信息．如数据大部分集中在哪个区间，或极小分布在哪个区间．
②可以估计出数据在某区间的集中程度及数据的平均数所在的区间．
③还可以估计出数据相对分散或集中的程度及数据平均数、方差的相对大小．
④对于样本数据较少，但较为集中的一组数据；若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶；若样本数据是小数，则将整数部分作茎，小数部分作叶．
例3 某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
解 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示．
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，叶主要集中在8,9,10的茎上；甲同学的得分情况也是大致对称，叶主要集中在7,8,9的茎上．所以乙同学的成绩总体情况比甲同学好．
反思感悟 茎叶图的画法步骤
(1)将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分．
(2)将最小的茎和最大的茎之间的数按从小到大的顺序从上到下列出，茎相同者共用一个茎，再画上竖线作为分界线．
(3)将各个数据的叶写在其茎右(左)侧．
跟踪训练3 (1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)，设甲、乙两组数据的平均数分别为eq \x\t(x)甲，eq \x\t(x)乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )
A.eq \x\t(x)甲m乙
B.eq \x\t(x)甲C.eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，m甲>m乙
D.eq \x\t(x)甲>eq \x\t(x)乙，m甲(2)(多选)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图．则下列结论正确的是( )
A．甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数
B．甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数
C．从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定
D．从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定
答案 (1)B (2)BC
解析 (1)由茎叶图知，甲的平均数为(5＋6＋8＋10＋10＋14＋18＋18＋22＋25＋27＋30＋30＋38＋41＋43)÷16＝21.562 5，
乙的平均数为(10＋12＋18＋20＋22＋23＋23＋27＋31＋32＋34＋34＋38＋42＋43＋48)÷16＝28.562 5，
所以eq \x\t(x)甲甲的中位数为(18＋22)÷2＝20，乙的中位数为(27＋31)÷2＝29，
所以m甲(2)对于A，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；
对于B，甲得分的平均数为eq \f(1,5)×(25＋28＋29＋31＋32)＝29，乙得分的平均数为eq \f(1,5)×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，正确；
对于C，甲得分的方差为eq \f(1,5)×[(25－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(32－29)2]＝eq \f(1,5)×(16＋1＋0＋4＋9)＝6，
乙得分的方差为eq \f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝eq \f(1,5)×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，所以乙比甲更稳定，C正确，D错误．
1．知识清单：
(1)柱形图、折线图、扇形图、茎叶图的识别．
(2)四种统计图表的比较．
2．方法归纳：数据分析，图表识别．
3．常见误区：
(1)统计图表的选择．
(2)对茎叶图的绘制规则认识不够致错．
1．下面哪种统计图没有数据信息的缺失，所有的原始数据都可以从该图中得到( )
A．柱形图 B．茎叶图
C．扇形图 D．折线图
答案 B
解析 由茎叶图的特点知，茎叶图满足上述条件．
2．关于如图所示的统计图中(单位：万元)，下列说法正确的是( )
A．第一季度总产值4.5万元
B．第二季度平均产值6万元
C．第二季度比第一季度增加5.8万元
D．第二季度比第一季度增长33.5%
答案 C
解析 对于A，第一季度总产值为3＋4＋4.5＝11.5(万元)，错误；
对于B，第二季度平均产值为eq \f(4.5＋6＋6.8,3)≈5.77(万元)，错误；
对于C，第二季度比第一季度增加(4.5＋6＋6.8)－(3＋4＋4.5)＝5.8(万元)，正确；
对于D，第二季度比第一季度增长eq \f(5.8,11.5)≈50.4%，错误．
3．(多选)某班班长统计了去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，并绘制了如下的折线统计图，下列说法正确的是( )
A．阅读数量最大的是8月份
B．阅读数量最小的是1月份
C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本
D．每月阅读数量超过40的有4个月
答案 AC
解析 由折线图可得，阅读数量最大的月份为8月份，阅读量为83本，故A正确；阅读数量最小的月份为6月份，阅读量为28本，故B错误；阅读数量最大的月份比最小的月份多55本，故C正确；每月阅读数量超过40的有2月、3月、4月、5月、7月、8月共有6个月，故D错误．
4．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的票数为( )
A．300 B．90 C．75 D．85
答案 C
解析 调查总人数为105÷35%＝300，
C选手的票数为300×30%＝90，
B选手的票数为300－105－90－30＝75.
5．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均分为________；若乙的平均分是89，则污损的数字是________．
答案 90 3
解析 甲的平均分为eq \f(88＋89＋90＋91＋92,5)＝90.
设污损处对应的数字为x，由题意可得，
89×5＝83＋83＋87＋x＋90＋99，∴x＝3.
故污损的数字是3.
1．某校有文科教师120名，理科教师225名，其男女比例如图，则该校女教师的人数为( )
A．96 B．126 C．144 D．174
答案 D
解析 由统计图可知，该校文科教师中女教师的人数为120×0.7＝84，该校理科教师中女教师的人数为225×0.4＝90，所以该校女教师的人数为84＋90＝174.
2．某位教师2020年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2021年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的柱形图，已知2021年的就医费用比2020年的就医费用增加了4 750元，则该教师2021年的旅行费用为( )
A．21 250元 B．28 000元
C．29 750元 D．85 000元
答案 C
解析 由题意可知，2020年的就医花费为80 000×10%＝8 000(元)，则2021年的就医花费为8 000＋4 750＝12 750(元)，2021年的旅行费用为eq \f(12 750,15%)×35%＝29 750(元)．
3．下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图．
根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )
A．甲户比乙户大 B．乙户比甲户大
C．甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大
答案 B
解析 柱形图反映具体数值，则由图甲可知，甲户教育支出占全年总支出的百分比为1 200÷(1 200＋2 000＋1 200＋1 600)＝20%；从扇形图乙可知，乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大．
4.“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以任意免费领取一张“福”字或一副春联．茎叶图的统计数据是在不同时段内领取“福”字和春联的人数，则它们的中位数依次为( )
A．25,27 B．26,25 C．26,27 D．27,25
答案 B
解析 左侧一组数据从小到大排列为14,16,21,22,25,27,30,32,33,38，所以中位数是eq \f(1,2)×(25＋27)＝26；右侧一组数据从小到大排列为12,18,22,24,25,27,31,32,33，所以中位数是25.
5．(多选)给出如图所示的三幅统计图及四个命题，其中命题正确的是( )
A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况
B．2050年非洲人口大约将达到15亿
C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D．从1957年到2050年各洲中北美洲的人口增长速度最慢
答案 AC
解析 从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从条形统计图中可得到2050年非洲人口数大约将达到18亿，故B错误；从扇形统计图中能明显得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由上述三幅图并不能得出从1957年到2050年哪个洲的人口增长速度最慢，故D错误．
6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的75%分位数分别是________，________.
答案 57 53
解析 甲组数据为28,31,39,42,45,55,57,58,66，共9个，9×75%＝6.75，所以甲组数据的75%分位数是57；乙组数据为29,34,35,42,46,48,53,55,67，共9个，9×75%＝6.75，所以乙组数据的75%分位数是53.
7．如图是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线图，在这7天中，日温差最大的一天是________．
答案 5月5日
解析 由图知5月1日～5月7日的温差分别为12 ℃，12 ℃，11 ℃，10.5 ℃，12.5 ℃，10 ℃，10 ℃，故5月5日的日温差最大．
8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用分层抽样法，则50岁以上年龄段应抽取________人．
答案 8
解析 由图可知，50岁以上的职工所占的百分比为20%，按分层抽样法应抽取的人数为40×20%＝8.
9．如图是某手机店根据某手机销售的相关数据绘制的统计图的一部分．请根据图①、图②解答下列问题：
图① 图②
(1)来自该店财务部的数据报告表明，该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，请将图①中的统计图补充完整；
(2)该店1月份音乐手机的销售额为多少万元？
(3)小刚观察图②后，认为4月份音乐手机的销售额比3月份减少了，你同意他的看法吗？请说明理由．
解 (1)290－(85＋80＋65)＝60(万元)，补图如图．
(2)85×23%＝19.55(万元)，所以该店1月份音乐手机的销售额为19.55万元．
(3)不同意．理由如下：3月份音乐手机的销售额是60×18%＝10.8(万元)，4月份音乐手机的销售额是65×17%＝11.05(万元)．而10.8<11.05，因此4月份音乐手机的销售额比3月份的销售额增多了．
10．为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运动员甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
(1)画出茎叶图，由茎叶图分别求出甲、乙运动员的最大速度的中位数；
(2)计算甲、乙两运动员的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更合适．
解 (1)茎叶图如图所示．
所以甲的最大速度的中位数为eq \f(35＋31,2)＝33，乙的最大速度的中位数为eq \f(33＋34,2)＝33.5.
(2)甲的最大速度的平均数为eq \x\t(x)1＝eq \f(1,6)×(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，
乙的最大速度的平均数为eq \x\t(x)2＝eq \f(1,6)×(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33，
甲的最大速度的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,6)×(36＋9＋4＋4＋16＋25)＝eq \f(47,3)，
乙的最大速度的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,6)×(25＋16＋1＋9＋25)＝eq \f(38,3)，
甲、乙的最大速度的平均数相等，乙的方差更小，则乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更合适．
11.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示(如图所示)，据此计算该校被抽取的20名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为( )
A．3 B．6 C．7 D．5
答案 B
解析 由茎叶图可得，被抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6.
12．某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，则成绩高于11级分的人数约为( )
A．8 000 B．10 000 C．20 000 D．60 000
答案 B
解析 由题意结合条形图分析得成绩高于11级分的考生数的百分比大约为(2.3＋3.5＋0.9＋1.7)%＝8.4%，所以考生大约为8.4%×120 000＝10 080(人)，综合选项，最接近的人数约为10 000.
13．如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知以下说法正确的是( )
A．甲运动员的成绩好于乙运动员
B．乙运动员的成绩好于甲运动员
C．甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异
D．甲运动员的最低得分为0分
答案 A
解析 由茎叶图可以看出，甲运动员的得分大致对称，平均得分是32分，乙运动员的得分除一个52分外，也大致对称，平均得分是25.1分，因此，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好．甲运动员的最低得分为10分．故选A.
14．对某校高一年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下柱形图和扇形图．根据图中信息，这些学生成绩的平均数是________．
答案 2.95
解析 参加体能测试的人数是12÷30%＝40，成绩为3分的人数是40×42.5%＝17，成绩为2分的人数是40－3－17－12＝8，所以这些学生成绩的平均数是eq \f(3×1＋8×2＋17×3＋12×4,40)＝2.95.
15．在暑期社会实践活动和社区服务中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A，B，C三种型号，如图所示：
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列问题：
(1)从上述统计图可知，A，B，C型玩具各有__________、________、________套；
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，那么a的值为________，每人每小时组装C型玩具________套．
答案 (1)132 48 60 (2)4 6
解析 (1)A型有240×55%＝132(套)，B型有240×20%＝48(套)，C型有240×25%＝60(套)．
(2)由题图①可知每人组装A型玩具16套用2小时，所以组装C型玩具12套用2小时，则每小时组装6套，由2a－2＝6，得a＝4.
16．如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线图，试根据折线图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位： ℃)的柱形图和扇形图．
解 该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
柱形图如图所示．
扇形图如图所示．
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最低气温
－3
－2
0
－1
1
2
0
－1
2
2