新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】第三章　习题课　圆锥曲线中的综合问题

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习题课　圆锥曲线中的综合问题
第三章　圆锥曲线的方程
学习目标
1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.
2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题.
内容索引
范围与最值问题

一
(2)过点(1,0)的直线l与C交于M，N两点，P为线段MN的中点，A为C的左顶点，求直线PA的斜率k的取值范围.
当直线l的斜率为0时，AP的斜率k＝0.当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，
得(m2＋4)y2＋2my－3＝0.Δ>0显然成立.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，
而点A的坐标为(－2,0)，
①当m＝0时，k＝0.
圆锥曲线中最值与范围的求法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.
反思感悟
当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2,0)，B(2,0)，
当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4，
由Δ>0⇒(24m)2－4×(3m2＋4)×36>0⇒m2>4，设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2).
定点与定值问题

二
∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
①
②
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，设椭圆右焦点为F(c，0)∴直线方程为y＝x－c.
代入椭圆方程整理得
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.
解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.
反思感悟
设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点，并求此定点.
由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l的方程为x＝t(y－m)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意得y1≠0，
∵λ1＋λ2＝－3，
∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0. ①
消x得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0， ②
将③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1，由题意，得mt<0，∴mt＝－1，满足②，得l的方程为x＝ty＋1，故直线l过定点(1,0).
探索性问题

三
由题意知圆心在直线y＝－x上，设圆心坐标是(－p，p)(p>0)，则圆的方程为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
∴椭圆右焦点为F(4,0).假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
反思感悟
试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆 ＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0,1)的距离相等？若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可.
消y得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
∵AP⊥MN，
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1课堂小结
1.知识清单： (1)最值或范围问题. (2)定点与定值问题. (3)探索性问题.2.方法归纳：定义法、函数法、整体代换法.3.常见误区：直线与圆锥曲线联立后化简不正确.
随堂演练

1.一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y＋4＝0相切，则动圆必经过的定点为A.(0,4) B.(4,0)C.(2,0) D.(0,2)
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由抛物线x2＝16y，得到准线方程为y＝－4，焦点坐标为(0,4)，∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且动圆恒与直线y＝－4相切，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，如图所示，即动圆必经过定点F(0,4).
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圆(x－6)2＋y2＝1和圆(x＋6)2＋y2＝4的圆心为椭圆的两个焦点，则当M，N为如图所示位置时，|PM|＋|PN|的最小值为2a－(2＋1)＝17.
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3.直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝ ，则l的横截距A.为定值－3 B.为定值3C.为定值－1 D.不是定值
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴y1y2＝6，设直线l：x＝my＋b，代入抛物线方程可化为y2－2my－2b＝0，∴y1y2＝－2b，∴－2b＝6，∴b＝－3，∴l的横截距为－3.
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4.已知点P为直线l：x＝－2上任意一点，过点P作抛物线y2＝2px(p＞0)的两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝_____.
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不妨设P(－2,0)，过P的切线方程设为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程y2＝2px(p＞0)，得k2x2＋(4k2－2p)x＋4k2＝0，又k≠0，故x1x2＝4.
课时对点练

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1.AB为过椭圆 ＝1(a>b>0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为A.b2 B.ab C.ac D.bc
由椭圆的对称性知，A，B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·|yB|，故当|yB|＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc.
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∵Q是圆(x－6)2＋y2＝1上任意一点，
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4.抛物线y2＝4x上不同两点A，B(异于原点O)，若直线OA，OB斜率之和为1，则直线AB必经过定点A.(0,2) B.(0,4)C.(－4,0) D.(－2,0)
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设直线AB的方程为x＝ty＋b(b≠0)，并代入抛物线方程，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴b＝－4t，所以直线AB的方程为x＝ty－4t＝t(y－4)，过定点(0,4).
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联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5.
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如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，
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解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)·(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴设AB与x轴交于点C，则C(2,0).
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故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
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9.已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)求证：直线AB必过一定点；
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设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，
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∴直线过定点P(2,0).
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(2)求△AOB面积的最小值.
由于直线AB过定点P(2,0)，∴可设直线AB的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2).
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4，
∴当m＝0时，△AOB面积的最小值为4.
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10.已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
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把y＝kx＋2代入y＝2x2得2x2－kx－2＝0，
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∵直线l与抛物线C相切，
∴m＝k，即l∥AB.
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11.设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A.4 B.8 C.16 D.32
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不妨设D在第一象限，E在第四象限，
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∴|ED|＝2b，
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设点P(x0，y0)，由于点P是抛物线x2＝8y上任意一点，
由于点Q是圆x2＋(y－2)2＝1上任意一点，
则|PQ|的值要最大，即点P到圆心的距离加上圆的半径为|PQ|的最大值，
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设直线l的方程为x＝my＋n，代入椭圆方程，消去x可得(m2＋4)y2＋2mny＋n2－16＝0，
x1x2＝m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2n，由PA⊥PB，P(4,0)，
即(x1－4，y1)·(x2－4，y2)＝0，可得x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋16＝0，m2y1y2＋mn(y1＋y2)＋n2－4m(y1＋y2)－8n＋y1y2＋16＝0，
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化简整理可得5n2－32n＋48＝0，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴－y1＝2y2－3，∵A，B在椭圆上，
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当且仅当m＝5时取最大值.
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16.已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
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设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).
得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，
即直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值－9.
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四边形OAPB能为平行四边形.
∴k≠3，
设点P的横坐标为xP.
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四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM，
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经检验，满足Δ>0，∵k≠3，