新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】第三章　习题课　圆锥曲线的离心率

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习题课　圆锥曲线的离心率
第三章　圆锥曲线的方程
学习目标
1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.
2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题.
内容索引
定义法

一
因为PF2垂直于x轴，
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，
根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.
反思感悟
不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
几何法

二
√
如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得 的值.
反思感悟
设F1，F2是双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点.若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_____.
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小.在△PF1F2中，由余弦定理，
寻求齐次方程求离心率

三
由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
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又2|AB|＝3|BC|，
即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去).
利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解.
反思感悟
√
如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F，
化简得c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0，又e>1，
求离心率的取值范围

四
√
求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围.(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围.
反思感悟
设P(x，y)，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
课堂小结
1.知识清单： (1)圆锥曲线的离心率的求法. (2)圆锥曲线的离心率的范围问题.2.方法归纳：定义法、数形结合.3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错.
随堂演练

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由双曲线方程可知c2＝4，
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若双曲线焦点在x轴上，
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交点，若|QF2|＝2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是________.
∵PQ是∠F1PF2的角平分线，
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课时对点练

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依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2，
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由椭圆方程可得，A(0，b)，因为点A到直线l：y＝2x的距离是1，
记椭圆的右焦点为F1，连接MF1，NF1，由椭圆的对称性可得，|MF1|＝|NF|，再由椭圆的定义可得，2a＝|MF1|＋|MF|＝|NF|＋|MF|＝6，
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如图，连接PF1，OQ，由OQ为△F1PF2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝ |PF1|，由圆x2＋y2＝b2，可得|OQ|＝b，即有|PF1|＝2b，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，可得PF1⊥PF2，即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，整理得2a＝3b，
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设椭圆的焦距为2c(c>0)，
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离心率为____________.
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设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c，由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有|F1F2|＝|PF2|＝2c.
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两式相减得到4c＝2(a1－a2)，即a1－a2＝2c，
当且仅当c＝2a2时，等号成立，即最小值为6.
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分析知P不是双曲线的顶点.
所以点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
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即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，
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10.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围.
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由题意，得A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，
又b2＝a2－c2，所以a2－ac－c2<0，
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设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
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如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E，设Q(x0，y0)，根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1，
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∴|AF′|＋|AF|＝2a，根据对称关系知四边形AF′BF为矩形，∴|AB|＝|FF′|＝2c.由于AF⊥BF，∠ABF＝α，∴|AF|＝2csin α，|AF′|＝2ccos α，∴2csin α＋2ccos α＝2a，
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围是________.
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可得F为△ABC的重心，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，由重心坐标公式可得，x1＋x2＋0＝3c，y1＋y2＋b＝0，
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由题意可知CD⊥y轴.∵双曲线经过C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称.
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∵点C，E在双曲线上，
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