数学必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题课件ppt

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习题课　函数的零点与方程的解
第四章　指数函数与对数函数
学习目标
1.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围.
2.掌握一元二次方程的根的分布情况.
内容索引
根据零点情况求参数范围

一
若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0,1，x0，且x0∈(1,2)，则a的取值范围是A.(－2,0) B.(1,2) C.(2,3) D.(－3，－2)
√
所以f(x)＝x3＋ax2＋(－1－a)x＝x(x－1)(x＋a＋1)，所以x0＝－1－a，又x0∈(1,2)，所以1＜－1－a＜2，解得－3＜a＜－2.
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.
反思感悟
若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于A.－2 B.1 C.－2或1 D.0
√
所以k＝－2或k＝1.
一元二次方程的根的分布问题

二
已知关于x的方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0.(1)若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求实数m的取值范围；
设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，f(x)的大致图象如图所示，
∴f(2)<0，即4＋4(m－1)＋2m＋6<0，得m<－1，∴实数m的取值范围为(－∞，－1).
(2)若方程有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4，求实数m的取值范围；
f(x)的大致图象如图所示，
(3)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围.
方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，
②有一个正根，一个负根，此时如图2，可得f(0)<0，得m<－3.
∴m＝－3.综上所述，当方程至少有一个正根时，实数m的取值范围为(－∞，－1].
一元二次方程根的分布问题转化为二次函数的图象与x轴交点的情况，先将函数草图上下平移，确定根的个数，用判别式限制，再左右平移，确定对称轴有无超过区间，或是根据根的正负问题，用根与系数的关系进行限制.
反思感悟
已知函数f(x)＝2x－4x－m，x∈[－1,1].(1)当m＝－2时，求函数f(x)的零点；
当m＝－2时，f(x)＝2x－4x＋2，得2x－4x＋2＝0.∴2x＝2或2x＝－1(舍去)，解得x＝1.∴函数的零点为x＝1.
(2)若函数f(x)在[－1,1]上有零点，求实数m的取值范围.
f(x)＝2x－4x－m＝0⇔2x－4x＝m，令g(x)＝2x－4x，函数f(x)有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g(x)的值域内，
课堂小结
1.知识清单： (1)根据零点情况求参数的取值范围. (2)一元二次方程根的分布.2.方法归纳：判别式法、数形结合法.3.常见误区：不能把函数、方程问题相互灵活转化.
随堂演练

1.若函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，则a的取值范围为A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(－∞，1)
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函数f(x)＝x2－2x＋a在(0,2)上有两个零点，函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，
解得0√
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因为函数f(x)＝mx＋1的零点在区间(1,2)内，且此函数是连续函数，所以f(1)f(2)<0，即(m＋1)(2m＋1)<0，
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由题意可得f(1)f(2)＝(3－4－a)(9－2－a)<0，即(a＋1)(a－7)<0，解得－11
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4.若函数f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是__________.
(－12,0)
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∵f(x)＝3x2－5x＋a的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，
解得－12课时对点练

1.当|x|≤1时，函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是
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|x|≤1⇒－1≤x≤1.当a＝0时，f(x)＝1，函数值恒为正，不符合题意；当a≠0时，要想函数f(x)＝ax＋2a＋1的值有正也有负，
2.已知关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，则实数k的取值范围是A.k>6 B.46或k<－2
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∵关于x的方程x2－kx＋k＋3＝0的两个不相等的实数根都大于2，设两根为x1，x2，
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由函数的解析式可知a>2，因为指数函数y＝ax单调递增，在区间(2，a]上无零点，所以函数y＝loga(x－2)在区间(a，＋∞)上存在零点，由于y＝loga(x－2)单调递增，故当x＝a时，有loga(a－2)<0＝loga1，从而a－2<1⇒a<3，所以实数a的取值范围是(2,3).
4.方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n等于A.0 B.1 C.2 D.3
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设f(x)＝x＋log3x－3，则f(1)＝1＋log31－3＝－2<0，f(2)＝2＋log32－3＝log32－1<0，f(3)＝3＋log33－3＝1>0，又易知f(x)为增函数，所以方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.
5.若方程－x2＋ax＋4＝0的两实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是A.(0,3) B.[0,3]C.(－3,0) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
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因为方程－x2＋ax＋4＝0有两根，一个大于2，另一个小于－1，所以函数f(x)＝－x2＋ax＋4有两个零点，一个大于2，另一个小于－1，由二次函数的图象可知，
解得0√
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对于方程ax2－|x|＋a＝0，当a＝0时，只有一个解x＝0，因此要使方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的解，
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(－1,1)
令g(x)＝f(x)－k＝0，可得f(x)＝k，作出y＝f(x)的图象，如图，由图可知，当y＝k与y＝f(x)的图象有三个不同的交点时，－11
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(e，e2)
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画出f(x)的图象如图所示，∵正实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a1
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9.函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围.
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由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，01
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10.已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
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函数有两个零点，则方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，
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(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值.
由题意知0是方程－3x2＋2x－m＋1＝0的根，故有1－m＝0，解得m＝1.
11.若m∈R，“函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递减”是“函数y＝2x＋m－1有零点”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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∵函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递减，∴0＜m＜1，即m∈(0,1)；又∵函数y＝2x＋m－1有零点，∴函数y＝1－2x的图象与直线y＝m有交点.∵2x＞0，∴y＝1－2x＜1，∴函数y＝1－2x的值域为(－∞，1)，∴m∈(－∞，1).∵(0,1)(－∞，1)，∴“函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递减”是“函数y＝2x＋m－1有零点”的充分不必要条件.
12.已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d，若f(x)＝2 022－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是A.a>c>b>d B.a>b>c>dC.c>d>a>b D.c>a>b>d
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由题意设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝2 022－g(x)，且g(x)＝0的两个根是a，b.由题意知f(x)＝0的两根是c，d，也就是g(x)＝2 022的两根，画出g(x)(开口向上)以及y＝2 022的大致图象(图略)，则y＝2022与g(x)的图象交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b，则c，d在a，b外，又a>b，c>d，由图得c>a>b>d.
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由题意知，当(x2＋1)－(x＋2)≤1，即－1≤x≤2时，f(x)＝x2＋1；当(x2＋1)－(x＋2)>1，即x>2或x<－1时，f(x)＝x＋2.
∵函数y＝f(x)－c有两个零点，∴函数y＝f(x)的图象与函数y＝c的图象有两个交点.画出函数y＝f(x)的图象，如图所示.由图可知，当c∈(1,2]∪(4,5]时，函数y＝f(x)－c有两个零点.
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因为存在两个不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，故函数不是单调函数，又y＝x＋1与y＝2x的图象交于点(0,1)和(1,2)，画出图象如图所示，
由图可知，当01
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画出函数f(x)的大致图象如图所示.
设t＝f(x)，则由图象知，当t≥4时，t＝f(x)有两个根，当t<4时，t＝f(x)只有一个根.函数g(x)＝f2(x)＋3f(x)＋m(m∈R)有三个零点，等价为函数g(x)＝h(t)＝t2＋3t＋m有两个零点，其中t1<4，t2≥4，
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16.若在定义域内存在实数x0使f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数有“漂移点”x0.
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(2)求证：函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在漂移点；
令h(x)＝f(x＋1)－f(x)－f(1)＝(x＋1)2＋3x＋1－(x2＋3x)－4＝2×3x＋2x－3，所以h(0)＝－1，h(1)＝5.所以h(0)h(1)＜0，又h(x)在(0,1)上连续，所以h(x)＝0在(0,1)上至少有一个实根x0，即函数f(x)＝x2＋3x在(0,1)上存在漂移点.
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则实数a的取值集合是{a|0＜a＜1}.