新教材人教A版步步高学习笔记【学案+同步课件】习题课 同角三角函数的基本关系

习题课　同角三角函数的基本关系

学习目标　1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式．

一、弦切互化求值

例1　已知tan α＝－4，求下列各式的值．

(1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α；

(4).

解　(1)sin2α＝＝＝＝.

(2)cos2α－sin2α＝＝＝＝－.

(3)3sin αcos α＝＝＝＝－.

(4)＝＝＝.

反思感悟　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法

(1)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．

(2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值．

跟踪训练1　已知＝－1，求下列各式的值．

(1)tan α；(2)sin2α＋sin αcos α＋1.

解　(1)因为＝－1，所以＝－1，

解得tan α＝1.

(2)sin2α＋sin αcos α＋1

＝

＝

＝

＝＝2.

二、sin θ±cos θ型求值问题

例2　已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．

解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，

所以(sin θ＋cos θ)2＝，

即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，

所以sin θcos θ＝－，

所以sin θ>0，cos θ<0，

所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ

＝

＝＝.

反思感悟　已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有

(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；

(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；

(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；

(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.

上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．

跟踪训练2　若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________.

答案　－2

解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，

∴sin θcos θ＝－，

∴tan θ＋＝＋＝＝－2.

三、条件恒等式的证明

例3　已知＋＝1，求证：＋＝1.

证明　设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，

则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.

由＋＝1，得＋＝1，

即(m－n)2＝0，∴m＝n，

∴＋＝＋＝1－n＋n＝1.

反思感悟　含有条件的三角恒等式证明的常用方法

(1)直推法：从条件直推到结论．

(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明．

(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．

跟踪训练3　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.

证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.

所以＋1＝2，

整理得＝，

即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，

即sin2β＝2sin2α－1.

1．知识清单：

(1)弦切互化求值．

(2)sin θ±cos θ型求值问题．

(3)条件恒等式的证明．

2．方法归纳：整体代换法．

3．常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”．

1．若tan α＝2，则的值为(　　)

A．0  B.  C．1  D.

答案　B

解析　＝＝.

2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　)

A.  B．－  C．－  D.

答案　C

解析　由题意得(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，

又sin2α＋cos2α＝1，

∴1－2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝－.

3．已知＝，则等于(　　)

A.   B．－

C．2   D．－2

答案　B

解析　因为＝，

所以＝

＝

＝＝－.

4．若2sin α＋cos α＝0，则－＝________.

答案　－

解析　∵2sin α＋cos α＝0，

∴tan α＝－，

原式＝

＝

＝＝－2tan2α＝－.

1．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案　C

解析　∵sin φ＝－，

∴cos2φ＝1－sin2φ＝1－2＝，

又|φ|<，即－<φ<，∴cos φ>0，

∴cos φ＝，

∴tan φ＝＝＝－.

2．已知tan α＝，则等于(　　)

A．2  B．－2  C．3  D．－3

答案　C

解析　＝＝＝3.

3．已知sin α－cos α＝，则sin αcos α等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

答案　B

解析　∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－.

4．已知sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos4θ等于(　　)

A．1  B．2  C.  D.

答案　A

解析　因为sin θ＋sin2θ＝1，

所以sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ，

所以cos2θ＋cos4θ＝sin θ＋sin2θ＝1.

5．已知＝3，－＜α＜，则sin α－cos α等于(　　)

A．－   B．－

C.   D.

答案　D

解析　因为＝3，所以＝3，解得tan α＝2.

又因为－＜α＜，tan α＞0，所以0＜α＜.sin α＝，cos α＝，

所以sin α－cos α＝.

6．(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是(　　)

A．m2－2n－1＝0   B．mn＞0

C．m＋n＋1＞0   D．m2－4n＜0

答案　AC

解析　sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，

所以sin α＋cos α＝－m，sin αcos α＝n，

因为角α是锐角，所以m＜0，n＞0，则mn＜0，故B错误；

又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝m2，即1＋2n＝m2，

所以m2－2n－1＝0，故A正确；

而m＋n＋1＝m＋＋1＝＞0，故C正确，

因为方程有两个实根，所以m2－4n≥0，故D错误．

7．已知asin α＋bcos α＝c，acos α－bsin α＝d，则a2＋b2________c2＋d2(用“>”“＝”或“<”填空)．

答案　＝

解析　右边＝c2＋d2

＝(asin α＋bcos α)2＋(acos α－bsin α)2

＝a2(sin2α＋cos2α)＋b2(cos2α＋sin2α)

＝a2＋b2

＝左边．

8．已知sin αcos α＝，π＜α＜，则cos α－sin α＝ ________.

答案　－

解　因为π＜α＜，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，

因为sin αcos α＝，

所以(cos α－sin α)2＝1－2cos αsin α＝1－＝，

所以cos α－sin α＝－.

9．已知sin x－2cos x＝0.

(1)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值；

(2)求的值．

解　(1)由sin x－2cos x＝0，可得tan x＝2，

∴2sin2x－sin xcos x＋cos2x

＝

＝＝＝.

(2)联立

可得sin2x＝，cos2x＝，

又由(1)知tan x＝2，

∴＝＝＝.

10．已知sin θ＋cos θ＝，其中θ是△ABC的一个内角．

(1)求sin θcos θ的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由．

解　(1)由sin θ＋cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝，

即1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－.

(2)由(1)可知sin θcos θ＝－<0.

又θ是△ABC的一个内角，∴0<θ<π，

∴sin θ>0，cos θ<0，

∴<θ<π，

∴△ABC是钝角三角形．

11．若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ的值等于(　　)

A.  B.  C.  D．1或2

答案　D

解析　由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0，

所以tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.

12．已知sin α＋cos α＝，且α∈，则cos α－sin α等于(　　)

A.  B．－  C．±  D.

答案　B

解析　∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，

∴2sin αcos α＝，

∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，

∴cos α－sin α＝±，

又∵α∈，

∴0＜cos α＜sin α，即cos α－sin α＝－.

13．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A等于(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　A

解析　∵sin Acos A＝>0，又A为△ABC的内角，

∴sin A>0，cos A>0，

∴(sin A＋cos A)2＝1＋2sin Acos A＝，

∴sin A＋cos A＝.

14．若<α<π，sin αcos α＝－，则tan α＝________.

答案　－

解析　sin αcos α＝＝＝－，

整理得(2tan α＋1)(tan α＋2)＝0，

解得tan α＝－或tan α＝－2，

因为<α<π，所以tan α∈(－1,0)，故tan α＝－.

15．已知sin α，cos α是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，则实数a等于(　　)

A．3  B.  C．－  D．±

答案　D

解析　∵sin α，cos α是关于x的方程3x2＋ax－1＝0的两根，

∴sin α＋cos α＝－，sin αcos α＝－，

∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝.

∴a2＝3，

即a＝±.

16．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.

(1)求k的值；

(2)求sin θ－cos θ的值．

解　(1)由方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ，得sin θ＋cos θ＝－，

sin θ·cos θ＝.

由sin 2θ＋cos2θ＝1及(sin θ＋cos θ)2＝，

得1＋2sin θ·cos θ＝，

所以1＋2×＝，即9k2－8k－20＝0，

解得k＝2或k＝－.

当k＝2时，Δ<0，故舍去；当k＝－时，满足条件．

所以k＝－.

(2)由(1)得sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝－.

则(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ·cos θ＝1＋2×＝，

所以sin θ－cos θ＝±.