高中1.3 直线的方程课文ppt课件
展开第3课时 直线方程的一般式
第一章 1.3 直线的方程
学习目标
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程,可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下,在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示呢?
内容索引
直线的一般式方程
一
问题 直线y=2x+1可以化成二元一次方程吗?方程2x-y+3=0表示一条直线吗?
提示 y=2x+1可以化成2x-y+1=0的形式,可以化为二元一次方程.2x-y+3=0可以化为y=2x+3,可以表示直线.
知识梳理
1.关于x,y的二元一次方程 (其中A,B不全为0)表示的是一条直线,称它为直线方程的 .2.直线方程五种形式的比较
Ax+By+C=0
一般式
y-y1=k(x-x1)
不垂直于x轴的直线
y=kx+b
不垂直于x轴的直线
不垂直于x,y轴的直线
不垂直于x,y轴的直线,不过原点的直线
Ax+By+C=0
A,B不全为零
(1)直线的一般式方程的结构特征①方程是关于x,y的二元一次方程.②方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.③x的系数一般不为分数和负数.④虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.
注意点:
(2)当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,直线Ax+By+C=0有如下性质:①当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;②当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;③当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;④当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;⑤当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
注意点:
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程:
(2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
即2x+y-3=0.
(3)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1;
(4)经过点B(4,2),且平行于x轴.
y-2=0.
即x+3y+3=0.
求直线一般式方程的策略在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式),然后转化为一般式方程.
反思感悟
(1)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.①斜率是 ,且经过点A(8,-6)的直线方程为______________;②在x轴和y轴上的截距分别是 和-3的直线方程为______________;③经过点P1(3,-2),P2(5,-4)的直线方程为____________.
x+2y+4=0
2x-y-3=0
x+y-1=0
(2)将直线x- y=0绕坐标原点逆时针旋转90°,再向下平移1个单位长度,所得到直线的方程为_______________.
由截距、斜率的值求参数
二
设直线l的方程为(m2-m-6)x+(3m2+5m-2)y=3m+6(m∈R,m≠-2),根据下列条件分别求m的值.(1)l在x轴上的截距是-4;
延伸探究1.若本例中直线l的倾斜角为45°,试求m的值.
即3-m=3m-1,得m=1.
2.若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等,试求m的值.
3.当直线l垂直于y轴时,试求m的值.
得m=3.
反思感悟
求一般式表示的直线的斜率与横截距,可以将一般式化为斜截式,求横截距,令方程中y=0解出x即为所求.
若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1表示直线.当m=_____时,直线的倾斜角为45°;当m=________时,直线在x轴上的截距为1.
-1
因为已知直线的倾斜角为45°,所以此直线的斜率是1,
所以m=-1.因为已知直线在x轴上的截距为1,
一般式方程的应用
三
已知直线l:kx-2y-3+k=0.(1)若直线l不经过第二象限,求k的取值范围;
因为kx-2y-3+k=0,
解得0≤k≤3.
(2)设直线l与x轴的负半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,若△AOB的面积为4(O为坐标原点),求直线l的方程.
因为△AOB的面积为4,
即k2+10k+9=0,解得k=-9或k=-1.当k=-1时,直线方程是x+2y+4=0;
当k=-9时,直线方程是9x+2y+12=0,综上,所求直线方程是x+2y+4=0或9x+2y+12=0.
反思感悟
求直线的一般式方程的策略
(1)若方程(a2+5a+6)x+(a2+2a)y+1=0表示一条直线,则实数a满足的条件是__________.
a≠-2
解得a=-2.要使方程(a2+5a+6)x+(a2+2a)y+1=0表示一条直线,则a2+5a+6和a2+2a不能同时为零,所以a≠-2.
(2)已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则直线的方程是________________.
15x-3y-7=0
消去B,化简可得15x-3y-7=0.
直线方程的点法式
四
知识梳理
1.直线的法向量:与方向向量垂直的向量称为直线的法向量.2.直线方程的点法式:已知直线l经过点P(x0,y0),且它的一个法向量为n=(A,B),则方程A(x-x0)+B(y-y0)=0为直线方程的点法式.
直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向.
注意点:
已知点A(3,2)和点B(-1,-4),求线段AB的垂直平分线方程.
代入直线的点法式方程得,-4(x-1)-6(y+1)=0,即2x+3y+1=0.
反思感悟
利用直线方程的点法式求直线的方程的关键是确定所求直线的法向量n=(A,B),通常利用向量的数量积为0来求解.
直线l在y轴上的截距为2且方向向量为(2,-1),求直线l的方程.
由直线l的方向向量为(2,-1),得直线l的法向量为(1,2),又直线l过点(0,2),代入点法式方程为x+2(y-2)=0,即x+2y-4=0.
课堂小结
1.知识清单: (1)直线的一般式方程. (2)直线方程五种形式的互化.2.方法归纳:分类讨论法、化归转化.3.常见误区:忽视直线斜率不存在的情况;忽视两直线重合的情况.
随堂演练
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2.在平面直角坐标系中,直线x+ y-3=0的倾斜角是A.30° B.60° C.150° D.120°
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3.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R),则该直线过定点________.
(-2,1)
直线l:kx-y+1+2k=0,即k(x+2)+(-y+1)=0,∴当x+2=0,-y+1=0时,过定点,∴x=-2,y=1,∴该直线过定点(-2,1).
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4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是____.
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课时对点练
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1.在平面直角坐标系中,下列直线中倾斜角为钝角的是A.y=3x-1 B.x+2=0C. D.2x-y+1=0
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因为直线y=3x-1的斜率为3,且3>0,所以此直线的倾斜角为锐角;因为直线x+2=0与x轴垂直,所以此直线的倾斜角为直角;
所以此直线的倾斜角为钝角;因为直线2x-y+1=0可化为y=2x+1,则此直线的斜率为2,且2>0,所以此直线的倾斜角为锐角.
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2.过点(2,1),斜率k=-2的直线方程为A.x-1=-2(y-2) B.2x+y-1=0C.y-2=-2(x-1) D.2x+y-5=0
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根据直线方程的点斜式,可得y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.
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3.直线的一个方向向量为a=(1,-3),且经过点(0,2),则直线的方程为A.3x-y+2=0 B.3x+y-2=0C.3x+y+2=0 D.3x-y-2=0
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∵直线的方向向量为a=(1,-3),∴k=-3,∴直线的方程为y=-3x+2,即3x+y-2=0.
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4.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0,a≠b)在同一坐标系中的图象大致是
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将l1与l2的方程化为l1:y=ax+b,l2:y=bx+a.A中,由图知l1∥l2,而a≠b,故A错误;B中,由l1的图象可知,a<0,b>0,由l2的图象知b>0,a>0,两者矛盾,故B错误;C中,由l1的图象可知,a>0,b>0,由l2的图象可知,a>0,b>0,故C正确;D中,由l1的图象可知,a>0,b<0,由l2的图象可知a>0,b>0,两者矛盾,故D错误.
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6.(多选)下列说法中正确的是A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C =0(A,B不同时为0)表示B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
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A说法正确,因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与Ax+By+C=0比较,A=k,B=-1,C=b;当α=90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x-x1=0,与Ax+By+C=0比较,A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,所以此说法是正确的;B说法正确,当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),即Ax+By=0,显然有A·0+B·0=0,即直线过原点O(0,0);
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7.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为________.
把(3,0)代入已知方程,得(a+2)×3-2a=0,∴a=-6,∴直线方程为-4x+45y+12=0,
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9.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线.(1)求实数m需满足的条件;
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解得m=2.又方程表示直线时,m2-3m+2与m-2不同时为0,故m≠2.
(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
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由题意知,m≠2,
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10.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程.
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设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,∵点B在中线y-1=0上,∴设B点坐标为(x,1).又∵A点坐标为(1,3),D为AB的中点,
又∵点D在中线x-2y+1=0上,
∴B点坐标为(5,1).
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同理可求出C点的坐标是(-3,-1).故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0.
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11.已知直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,则直线l的方程为A.15x-10y-6=0 B.15x-10y+6=0C.6x-4y-3=0 D.6x-4y+3=0
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∵直线l的斜率与直线3x-2y=6的斜率相等,可设直线l的方程为3x-2y+c=0.再根据直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,
即15x-10y-6=0.
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12.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是
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13.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是_____________.
x+y-5=0
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由x-y+1=0,得A(-1,0),又P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,∴P为线段AB中垂线上的点,则B(5,0).直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角互补,则斜率互为相反数,故PB的斜率kPB=-1,则方程为y=-(x-5),即直线PB的方程为x+y-5=0.
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14.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).若l在两坐标轴上的截距相等,则l的方程为_______________________.
3x+y=0或x+y+2=0
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当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距均为0,∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0;
解得a=0或a=2(舍去),∴直线l的方程为x+y+2=0.综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
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15.已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为________________.
2x+3y+4=0
∵两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),∴2a1+3b1+4=0,2a2+3b2+4=0,因此过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线的方程为2x+3y+4=0.
16.已知直线l1:ax-2y-2a+4=0和直线l2:2x-(1-a2)y-2-2a2=0,当实数a的值在区间(0,2)内变化时,求直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值.
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将直线2x-(1-a2)y-2-2a2=0化为2x-y-2+a2(y-2)=0,
即直线l2恒过定点(2,2).如图,在平面直角坐标系中取点B(2,2),连接OB,过点B作出直线l1,l2的大致图象,l1与y轴交于点C,l2与x轴交于点A.则在△OAB中OA边上的高为2,在△OBC中OC边上的高为2,
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点A的坐标为(1+a2,0),点C的坐标为(0,2-a).所以S四边形OABC=S△OAB+S△OBC
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