2020-2021学年2.1 圆的标准方程教学演示课件ppt

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1.掌握圆的定义及圆的标准方程.
2.能准确判断点与圆的位置关系.
3.会求解简单的圆的标准方程的问题.
2021年9月20日，第十一届北京国际电影节的红毯仪式在北京怀柔雁栖湖国际会展中心举行，大约30部优秀电影的主创、演员一同现身红毯，为北影节增添一道道亮丽风景.北京雁栖湖国际会展中心的建筑主体是圆形大楼，建筑造型外观似天坛无盖，寓意天圆地方.《两小儿辩日》中，一儿曰：“日初出大如车盖，及日中则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”李白在《古朗月行》中写道：“小时不识月，呼作白玉盘.又疑瑶台镜，
飞在青云端.”这些例子都给了我们圆的形象，今天我们就在坐标系中一起去认识圆吧！北京怀柔雁栖湖国际会展中心
问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
提示　平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示　设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
(x－a)2+(y－b)2=r2
(1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆.(2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2,0)，半径为|b|，B错误；C正确；
(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x－y＝0对称D.关于直线x＋y＝0对称
易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称.
通过圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)确定其圆心为(a，b)，半径为r.注意：所给方程与圆的标准形式一致，r>0.
　　　圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为　 ，则a的值为A.－1或－3 B.－1或3C.1或－3 D.1或3
问题3　点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件是什么？
提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
　　(1)已知a，b是方程x2－x－　＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是A.点P在圆C内 B.点P在圆C外C.点P在圆C上 D.无法确定
(2)已知点P(2,1)和圆C：　　　　＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝___________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为______________.
解得a＝－2或a＝－6.
解得a<－6或a>－2.
判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
　　(1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为______________________.　
∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_______________________.
∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
　　　求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，解得b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：结合图形求圆的标准方程出现漏解情况.
1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为A.(－1,5)， B.(1，－5)，C.(－1,5)，3 D.(1，－5)，3
以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为A.(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C.(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝16
3.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.不确定
4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
解得b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二　(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
2.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，
4.已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在A.圆内 B.圆外C.圆上 D.圆上或圆外
由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)，
5.圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的方程为A.(x－2)2＋(y－1)2＝5B.(x＋1)2＋(y－2)2＝5C.(x－1)2＋(y＋2)2＝5D.(x＋2)2＋(y－1)2＝5
圆心(2，－1)关于原点的对称点为(－2,1)，∴圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于原点对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.
6.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是A.圆M的圆心为(4，－3)B.圆M的圆心为(－4,3)C.圆M的半径为5D.圆M被y轴截得的线段长为6
由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52，得圆心为(4，－3)，半径为5，则A，C正确；令x＝0，得y＝0或y＝－6，线段长为6，故D正确.
7.与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方程为________________.
圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，
所以r2＝18，又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x－1)2＋y2＝18.
(x－1)2＋y2＝18
8.方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________________.
由m2－m－2>0，得m>2或m<－1.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
9.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
∵点M(6,9)在圆N上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10.
(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
由已知，得圆心N(5,6).
∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
10.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程.
如图，由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|OA|＝4.
设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
11.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为A.x2＋(y－4)2＝20B.(x－4)2＋y2＝20C.x2＋(y－2)2＝20D.(x－2)2＋y2＝20
令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0).
以A为圆心，过B点的圆的方程为x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为(x－2)2＋y2＝20.
12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
13.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________.
(x－4)2＋y2＝1
设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
14.已知圆C(C为圆心，且C在第一象限)经过A(0,0)，B(2,0)，且△ABC为直角三角形，则圆C的方程为____________________.
(x－1)2＋(y－1)2＝2
依题意，圆C经过点A(0,0)，B(2,0)，可设C(1，m)且m>0，半径为r，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
15.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为A.4 　　　 B.5　　　 C.6 　　　D.7
化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号.
16.已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24.(1)求直线l的方程；
设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7).
∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
∴m＝±24.∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.