数学北师大版 (2019)1.3 直线的方程第一课时导学案

这是一份数学北师大版 (2019)1.3 直线的方程第一课时导学案，共8页。

要点一 直线的方程
一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是____________，并且以这个方程的解为坐标的点都________，那么这个方程称为直线l的方程．
要点二 直线方程的点斜式
1．定义：已知直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则把方程________________称为直线方程的点斜式．
2．说明：①当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，如图(1)
②当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0，如图(2)．
状元随笔 关于点斜式的几点说明
①直线的点斜式方程的前提条件是：
已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
②方程y －y0＝k(x －x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
③当k取任意实数时，方程y －y0＝k(x －x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
要点三 直线方程的斜截式
1．定义：直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程________称为直线方程的斜截式．
2．说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程．
状元随笔 斜截式方程和截距的几点说明：
①方程y＝kx ＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
②直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．同理，直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为此直线的横截距．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．
③直线方程的斜截式y＝kx ＋b，当k≠0时就是一次函数的标准形式．
④由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x －1的斜率为k＝2，纵截距为－1.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．( )
(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.( )
(3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．( )
(4)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2则k1·k2＝－1.( )
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是( )
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
4．已知直线l的一个方向向量为v＝(2，1)且过点P(2，－3)的直线l的方程为________．
题型一 直线方程的点斜式及其应用
例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点；
(4)已知A(8，－6)，B(2，2)，以向量为方向向量且过点P(2，－3)．
方法归纳
求直线的点斜式方程的方法步骤
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪训练1 (1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．
(2)已知△ABC的三个顶点A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，若点D，E分别是边AB，AC的中点，则线段DE所在直线的点斜式方程是__________________________________．
题型二 直线方程的斜截式及其应用
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
方法归纳
直线的斜截式方程的求解策略
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
跟踪训练2 (1)直线l过点M(1，－2)，倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为_____________________________________．
(2)斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m＝________时，直线过点(1，1)．
题型三 点斜式、斜截式的应用
例3 已知直线l经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
变式探究1 若将本例中“直线l经过点P(－2，3)”改为“直线l的斜率为－2”，其它条件不变，求直线l的方程．
变式探究2 若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为4”改为“且在两坐标轴上的截距相等”，求直线l的方程．
方法归纳
(1)直线方程的斜截式y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.
(2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．
易错辨析 忽视倾斜角的范围出错
例4 一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
解析：∵直线l与x轴的夹角为45°，
∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.
∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)
即y＝x－1或y＝－x＋3.
答案：y＝x－1或y＝－x＋3
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．过点(3，2)，斜率是的直线方程是( )
A．y＝x＋4 B．y＝x＋2
C．2x－3y＝0 D．3x－2y＝0
2．方程y－y0＝k(x－x0)( )
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
3．过点(1，1)，且在y轴上的截距为3的直线方程是( )
A．x＋2y－3＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0
4．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
5．已知直线l的倾斜角为30°.
(1)若直线l过点P(3，－4)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程．
第1课时 直线方程的点斜式
新知初探·课前预习
要点一
一个方程的解 在直线l上
要点二
1．y－y0＝k(x－x0)
要点三
1．y＝kx＋b
2．截距 直角
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D.
答案：D
3．解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.
答案：D
4．解析：由直线的方向向量与直线的斜率的关系可知直线l的斜率k＝，
由直线方程的点斜式得直线l的方程为y－(－3)＝(x－2)
即x－2y－8＝0.
答案：x－2y－8＝0
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
(4)由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为k＝＝－，
由直线方程的点斜式得直线的点斜式方程为：y＋3＝－(x－2)．
跟踪训练1 解析：(1)k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)因为A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，点D，E分别是边AB，AC的中点，所以D(3，1)，E(0，－3)，
直线DE的斜率为＝.
所以线段DE所在直线的点斜式方程是y＋3＝(x－0)或者y－1＝(x－3)．
答案：(1)x＋y－1＝0 (2)y＋3＝(x－0)或y－1＝(x－3)
例2 解析：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－，
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
跟踪训练2 解析：(1)∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率k＝tan 60°＝，
又因为直线l过点M(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即y＝x－－2，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－－2.
(2)由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．
答案：(1)y＝x－－2 (2)－1
例3 解析：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，
令y＝0，得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
＝4，
即(2k＋3)＝±8.
若(2k＋3)＝8，
则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．
若(2k＋3)＝－8，
则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解之，得k＝－或k＝－.
所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，
即y＝－x＋2或y＝－x－6.
变式探究1 解析：设直线方程为y＝－2x＋b，则
令x＝0得y＝b；
令y＝0得x＝；
由题意得，|b|·＝4，即|b|2＝16.
所以b＝±4.
所以直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－2x－4.
变式探究2 解析：依题意直线的斜率存在，设为k，
直线方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0得纵截距为y＝2k＋3.
令y＝0得横截距为x＝－－2，
依题意得，2k＋3＝－－2，
解得k＝－或k＝－1，
所以直线方程为y＝－x或y＝－x＋1.
[课堂十分钟]
1．解析：∵直线过点(3，2)且斜率为，由直线方程的点斜式得：y－2＝(x－3)．整理得：2x－3y＝0.故选C.
答案：C
2．解析：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线，故选D.
答案：D
3．解析：设斜率为k，由点斜式可得y－1＝k(x－1)，令x＝0，可得y＝1－k＝3，解得k＝－2.∴y－1＝－2(x－1)，化为2x＋y－3＝0.故选D.
答案：D
4．解析：由方程y＝k(x－2)知直线过点(2，0)且直线的斜率存在，故选C.
答案：C
5．解析：∵直线l的倾斜角为30°，∴直线l的斜率为tan 30°＝.
(1)∵直线l过点P(3，－4)，∴由点斜式方程，得直线l的方程为y＋4＝(x－3)，即y＝x－－4.
(2)∵直线l在y轴上的截距为3，∴由斜截式方程，得直线l的方程为y＝x＋3.易错原因
纠错心得
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形．
在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解．