北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程多媒体教学ppt课件

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1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？
问题1　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一.(1)已知l1的斜率不存在；(2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(1,2)；(3)已知l2的斜率为2；(4)已知l2的斜率为2且过点B(2,3).
提示　显然，满足(1)的直线有无数条，满足(2)的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足(3)的直线有无数条，满足(4)的直线是唯一的，
因此直线上的点都在方程y－3＝2(x－2)上，而满足方程y－3＝2(x－2)上的点也都在直线上.
问题2　过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程如何表示？
提示　y－y0＝k(x－x0).
1.直线的方程：一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程.2.点斜式方程我们把方程 称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它称为直线的 ，简称点斜式.
y－y0＝k(x－x0)
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.(3)过某点P，可设点斜式方程.注意讨论斜率不存在的情况.
　　已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；
如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
因为∠B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1，所以直线BC的方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.
求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.
　　　求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 　x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行；
与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x＝5.
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率
∵直线过点P(－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0.
问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.
1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b为直线l在y轴上的截距.2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式.
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距.(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线的斜截式方程.(5)若设斜截式方程，也要注意讨论斜率不存在的情况.
　　求满足下列条件的直线方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距为－1；
由题意得k＝2，b＝－1.由直线的斜截式方程得y＝2x－1.
(2)倾斜角为直线y＝　 x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；
所以其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°.
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
因为直线的倾斜角为60°，
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距为b＝3或b＝－3，
延伸探究　本例(2)中条件改为“斜率与直线y＝　 x＋1互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程.
因为在x轴上的截距为－2，
求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
　　　已知斜率为　 的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程.
∴b2＝16，∴b＝±4.
含参数的直线方程的几何特征
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限；
所以直线l必经过第一象限.
若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞).
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
对于含参数k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，则该直线恒过定点(x0，y0).
　　　(1)方程y＝k(x－1)(k∈R)表示A.过点(－1,0)的一切直线B.过点(1,0)的一切直线C.过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线D.过点(1,0)且除x轴外的一切直线
y＝k(x－1)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线.
1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合思想.3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1B.直线经过点(－1,2)，斜率为1C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D.直线经过点(－1，－2)，斜率为1
由点斜式方程的定义可得，选项C正确.
∴l在y轴上的截距为－9.
3.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为
4.若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1.已知直线l经过点A(－1,3)，B(0,5)两点，则直线l的方程为A.2x－y－5＝0 B.2x－y＋5＝0C.x－2y＋5＝0 D.x＋2y＋5＝0
由经过两点的直线的斜率公式，
所以该直线的点斜式方程为y－5＝2(x－0)，即2x－y＋5＝0.
5.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点A.(1,3) B.(－1，－3)C.(3,1) D.(－3，－1)
直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).
6.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为A.y＝x＋3 B.y＝x－1C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1
由题意可知直线的斜率为±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是__________________________.
因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
又因为在y轴上的截距为－6，
8.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝____.
方程y－m＝(m－1)(x＋1)可化为y＝(m－1)x＋2m－1，所以2m－1＝7，解得m＝4.
9.求倾斜角为直线y＝－　 x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(－4,1)；
所以所求直线的倾斜角为60°，
因为直线过点(－4,1)，
(2)在y轴上的截距为－10.
因为直线在y轴上的截距为－10，
11.已知直线l的一个方向向量为(cs 45°，－sin 45°)，且过点(1,2)，则直线l在y轴上的截距为A.3 　　　B.－3 　　　C.1　　　 D.－1
因为直线l的一个方向向量为(cs 45°，－sin 45°)，所以(1，－tan 45°)＝(1，tan 135°)也是直线l的一个方向向量.因为0°<135°<180°，所以直线l的倾斜角为135°，又直线过点(1,2)，所以直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3，在y轴上的截距为3.
12.在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是
对于选项A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，题中图象不符合题意；对于选项B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，题中图象不符合题意；
对于选项C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，题中图象符合题意；对于选项D，两直线均不过原点，不符合题意.
13.如果直线l过点(2,1)，且在y轴上的截距的取值范围为(－1,2)，那么直线l的斜率k的取值范围是__________.
15.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是__________.
由已知得，直线l恒过定点P(2,1)，如图所示.若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，
16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.(1)求证：直线l恒过一个定点；
由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1).